r(k 505 n+1 它们分别是均值m与相关函数B(k)的最简便的相合估计 显见, Gauss宽平稳序列一定是平稳的.对于具有谱密度的宽平稳 Gauss列,可以有更 强的结论: P( )=1,P R(k)=1 相当一般的具有谱密度的宽平稳序列(例如只要满足hf(4)d>-∞)都可以用 下面5.3段中的ARMA模型来近似这就是在实际领域中ARMA模型被广泛采用的原因 4.2渐近平稳序列与渐近宽平稳序列 定义11.18随机变量列5n(-∞<n<∞)称为渐近平稳序列,如果对于任意m,k,当 1→>时(54…,5+m)与(51…,5件km}的分布都依分布收敛到相同的分布而渐近平稳 序列正是指在时间充分发展后近似平稳的时间序列随机变量列n(-∞<n<∞)称为渐近宽平 稳序列如果对于任意n,k,存在常数m及函数R(k),使 lm o Es n=m, lim E(SI+)=R(k) m称为渐近均值,R(k)称为渐近相关函数而渐近宽平稳序列正是指在时间充分发展后近似宽 平稳的时间序列 例11.19具有不变分布的不可约 Markov链,在初始值服从不变分布时,是平稳序列 而当初始值任意时,是渐近平稳序列 在实际数据处理应用中,用宽平稳序列来拟合建模的常常只是渐近宽平稳序列.然而这在 应用中已经足够了,因为我们都可以认为当前的时刻已经是该时间序列已发展到达到了充分长 的阶段.也就是说,在实用中我们并不严格区分宽平稳序列与渐近宽平稳序列 4.3平稳增量序列 如果随机序列显著地出现一个随时间发展的趋势,则在模型拟合时,可以研究其增量 ηn=5n-ξn,对于此增量序列,考察其平稳性,宽平稳性渐近平稳性与渐近宽平稳性,并进一 步选择合适的模型,以便得到较为合适的模型参数拟合.宽平稳增量序列经济学家们常称为单位 根过程 [注]E(n5nk)=R(k),EEn=0的平稳列5n(m=1…,N)的样本可作如下的模拟 设R(k)满足:对于任意,任意n1,…,n1,(R(n1-n,)s都是一个非负定的矩阵取独 立同分布列{n}使En=0,Ew2=R(O),待定线性组合=CWk+…+Cnn1,其系数 (c1,…,Cn)可由方程组 R(k-1)=E∑cwk2c",)=ROcc+c2c1+…+cn+n) 解得.这是一个二次方程组,可以用模拟退火方法 5.ARMA模型(Auo- Regression moving average模型) 5.1 ARMA(, q) 定义11.20对于宽平稳序列ξn,若存在不相关的时间序列En(-∞<n<∞)(在实用 中还常常假定它们是独立同分布的这时n还是平稳序列,使EEn=0, Vars=a2,且290 1 0 ^ + + + = n m n x L x , 1 ( ) 0 ^ + + + = + n R k k n n k x x L x x . (11. 6) 它们分别是均值 m与相关函数B(k ) 的最简便的相合估计. 显见， Gauss 宽平稳序列一定是平稳的. 对于具有谱密度的宽平稳 Gauss 列, 可以有更 强的结论： ) 1 1 ( 0 ® = + + + m n P n x L x , ( )) 1 1 ( 0 ® = + + + + R k n P k n n k x x L x x . 相当一般的具有谱密度的宽平稳序 列 (例如, 只要满足 ò- > -¥ p p ln f (l)dl ) 都可以用 下面 5. 3 段中的 ARMA模型来近似, 这就是在实际领域中 ARMA 模型被广泛采用的原因. 4. 2 渐近平稳序列与渐近宽平稳序列 定义１１.１８ 随机变量列 (-¥ < n < ¥) n x 称为渐近平稳序列, 如果对于任意 m, k ,当 t ® ¥ 时( , , ) t +1 t+m x L x 与 ( , , } t +k +1 t+k+m x L x 的分布都依分布收敛到相同的分布. 而渐近平稳 序列正是指在时间充分发展后近似平稳的时间序列. 随机变量列 (-¥ < n < ¥) n x 称为渐近宽平 稳序列, 如果对于任意n, k ，存在常数 m 及函数 R(k ) ，使 lim E m,lim E( ) R(k ) t®¥ xt+n = t®¥ xt +n xt+n+k = ， m称为渐近均值, R(k ) 称为渐近相关函数. 而渐近宽平稳序列正是指在时间充分发展后近似宽 平稳的时间序列. 例１１.１９ 具有不变分布的不可约 Markov 链, 在初始值服从不变分布时, 是平稳序列; 而当初始值任意时, 是渐近平稳序列. 在实际数据处理应用中, 用宽平稳序列来拟合建模的常常只是渐近宽平稳序列．然而这在 应用中已经足够了, 因为 我们都可以认为当前的时刻已经是该时间序列已发展到达到了充分长 的阶段. 也就是说, 在实用中我们并不严格区分宽平稳序列与渐近宽平稳序列. 4. 3 平稳增量序列 如果随机序列显著地出现一个随时间发展的趋势, 则在模型拟合时, 可以研究其增量: -1 D n = n - n h x x , 对于此增量序列, 考察其平稳性, 宽平稳性, 渐近平稳性与渐近宽平稳性, 并进一 步选择合适的模型, 以便得到较为合适的模型参数拟合. 宽平稳增量序列经济学家们常称为单位 根过程 ［注］ ( ) = ( ), = 0 n n+k E n E x x R k x 的平稳列 (n 1, , N) x n = L 的样本可作如下的模拟. 设 R(k ) 满足： 对于任意l ，任意 l i j ij l n n R n n - £ , , ,( ( )) 1 L 都是一个非负定的矩阵. 取独 立同分布列{ } wn 使 0, (0) 2 Ewn = Ewn = R , 待定线性组合 1 1 . k = k + + nwk+n￾x c w L c , 其系数 ( , , ) 1 n c L c 可由方程组 ( 1) [( )( )] (0)[ ) 1 2 1 1 1 1 1 j j k k n k n N j i k i N i R k E c w c w R c c c c c c + - + = + - = - = å å = + +L+ 解得．这是一个二次方程组, 可以用模拟退火方法． 5. ARMA模型 (Auto-Regression Moving Average 模型) 5．１ ARMA (p, q) 定义１１.２０ 对于宽平稳序列 n x , 若存在不相关的时间序列 (-¥ < n < ¥) n e (在实用 中还常常假定它们是独立同分布的, 这时 n x 还是平稳序列), 使 2 Ee n = 0,Vare n = s , 且