Journal of Software软件学报 E=D,R)+(R-R答/+R-Rx2星/+DR)+R-RIx2我/ 2 (12) =证1代+购+1-了R 由公式(12)可以看到，Ecmm仅与最内环半径R1和最外环半径R。相关，因此，我们将整体的优化问题拆分为 R,R:和R(=2,…,d-1)(R1<R<R)的优化问题其中，对于R参数(=2，…，d-1)的优化问题，由于各环结构的能耗仅 与其半径R,相关，R对其他环的能耗并不造成影响，为使整体能耗∑E(R)最低，我们可以逐个单独地考虑使 每个环结构上能耗最小化的参数R;对于R1,R的参数优化问题，我们在满足R1≤R2,R≥R-1前提下考虑R1,R的 优化取值以使其整体相关能耗E取值最小 我们将E(R1),E(R),Ecenri综合相加计算E,有 E'=E(R)+E(R)+Ecemm (13) 将E(R1),E(R)根据公式(11)的计算结果以及E根据公式(12)的计算结果代入公式(13)，得到E,我们有 E=4g+1fR+「2m-1+241-24,-/-R+ 3L2 (14) 产龙-[2n-+2-24小/+号4+4+ n 根据公式(11)和公式(14)的表述，我们首先分析冗余复制数(21，n为整数)对性能的影响，为求得整体最低 能耗，将E(R)或E对n求偏导数得： aπf-(2n-1+2q)） E(R) n =0=Rf-0-242=0 (15) ●an n2 从公式(15)可以看出，如果1-2q>0,即当q<1/2时，E随n的增大而增大，此时，当=1时效果最优，如果1-2q<0, 即g>1/2,则E随n的增大而减小，此时，当→o时节能效果最优，但考虑到传感器节点的存储能力是有限的，因此 →0是不可行的，我们只有在满足节点存储能力的前提下尽可能地提高n.下面，我们将分别考虑最优半径参数 的取值 对于R,(=2,…,d-1)参数(R1<R<R)的优化问题，我们根据冗余复制数目n(21,n为整数)结合q,的不同取值 情况(q>0)分别加以讨论： ()当n满足1s元时，存在2n-)<0,此时g>2n-D恒成立，公式1)中R,项的参数为非负数，ER 2(n-π) 2(n-π) 与R呈单调递增关系，为保证总体能耗最低，此时，R=0时使E(R)取得最小值，因此，在这种条件下R应越小越好 (2②)当n满足>元时，存在2m-)>0,此时有 2(n-π) a 当0<4，≤2m-少时，公式山)中R,项的参数为非负数，ER)与R呈单调递增关系，为保证总体能耗最低， 2(n-r) 此时，R=0时使E(R)取得最小值 当？>2-时，公式中见项的参数为负数R)随见递减后又递增因此，我们需要道过求取极值的 2(n-元) 方式来求取最优解R,我们将E(R)对R求偏导数得 E(R)_443R2+ x2n-1+2g2-2,=0 (16) 通过公式(1)求得最优解R: 1 R 2n-1+24.π.L (17) 2n 2g: 中国科学院软件研究所。hp/,j0s,org.cn8 Journal of Software 软件学报 2 22 22 1 1 11 1 1 22 2 3 3 2 1 1 [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] 1 2 ( ) 3 3 d d centri in d d out d d d R R R LR E DR R R f R R f D R R R f LL L f R R Lf fR L − − = + − × ⋅+ − × ⋅+ + − × ⋅ = ⋅⋅ + + ⋅−⋅ (12) 由公式(12)可以看到,Ecentri 仅与最内环半径 R1 和最外环半径 Rd 相关,因此,我们将整体的优化问题拆分为 R1,Rd 和 Ri(i=2,…,d−1)(R1<Ri<Rd)的优化问题.其中,对于 Ri 参数(i=2,…,d−1)的优化问题,由于各环结构的能耗仅 与其半径 Ri 相关,Ri 对其他环的能耗并不造成影响,为使整体能耗 1 2 ( ) d i i E R − ∑ = 最低,我们可以逐个单独地考虑使 每个环结构上能耗最小化的参数 Ri;对于 R1,Rd 的参数优化问题,我们在满足 R1≤R2,Rd≥Rd−1 前提下考虑 R1,Rd 的 优化取值以使其整体相关能耗 E′取值最小. 我们将 E(R1),E(Rd),Ecentri 综合相加计算 E′,有 1 () ( ) E ER ER E d centri ′ =+ + (13) 将 E(R1),E(Rd)根据公式(11)的计算结果以及 Ecentri 根据公式(12)的计算结果代入公式(13),得到 E′,我们有 1 1 3 2 1 11 3 2 1 4 1 (2 1 2 ) 2 1 3 4 1 (2 1 2 ) 2 2 (2 2 1) 3 3 d d d dd d q nq E fR q fR L n q nq L fR q fR f q q L n + π −+ ⎡ ⎤ ′ = ⋅⋅ + − −⋅⋅ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + π −+ ⎡ ⎤ ⋅⋅ + − ⋅⋅ + ⋅⋅ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (14) 根据公式(11)和公式(14)的表述,我们首先分析冗余复制数 n(n≥1,n 为整数)对性能的影响,为求得整体最低 能耗,将 E(Ri)或 E′对 n 求偏导数得: 2 (2 1 2 ) ( ) (1 2 ) 0 0 i i i ii Rf n q ER Rf q n nn n ⎛ ⎞ π ⋅ −+ ∂⎜ ⎟ ∂ π ⋅− ⎝ ⎠ = =⇒ = ∂ ∂ (15) 从公式(15)可以看出,如果 1−2q>0,即当 q<1/2时,E 随 n的增大而增大,此时,当 n=1时效果最优;如果 1−2q<0, 即 q>1/2,则 E 随 n 的增大而减小,此时,当 n→∞时节能效果最优,但考虑到传感器节点的存储能力是有限的,因此 n→∞是不可行的,我们只有在满足节点存储能力的前提下尽可能地提高 n.下面,我们将分别考虑最优半径参数 的取值. 对于 Ri(i=2,…,d−1)参数(R1<Ri<Rd)的优化问题,我们根据冗余复制数目 n(n≥1,n 为整数)结合 qi 的不同取值 情况(qi>0)分别加以讨论: (1) 当 n 满足 1≤n<π时,存在 (2 1) 0 2( ) n n π − < − π ,此时 (2 1) 2( ) i n q n π − > − π 恒成立,公式(11)中 Ri 项的参数为非负数,E(Ri) 与 Ri呈单调递增关系,为保证总体能耗最低,此时,Ri=0 时使 E(Ri)取得最小值,因此,在这种条件下 Ri应越小越好. (2) 当 n 满足 n>π时,存在 (2 1) 0 2( ) n n π − > − π ,此时有: 当 (2 1) 0 2( ) i n q n π − < ≤ − π 时,公式(11)中 Ri 项的参数为非负数,E(Ri)与 Ri 呈单调递增关系,为保证总体能耗最低, 此时,Ri=0 时使 E(Ri)取得最小值. 当 (2 1) 2( ) i n q n π − > − π 时,公式(11)中 Ri 项的参数为负数,E(Ri)随 Ri 递减后又递增.因此,我们需要通过求取极值的 方式来求取最优解 * Ri ,我们将 E(Ri)对 Ri 求偏导数得: 2 2 ( ) 4 (2 1 2 ) 3 20 3 ii i i i i ER q n q R q RL n ∂ π −+ ⎡ ⎤ =⋅+ − = ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ (16) 通过公式(17)求得最优解 * Ri : * 1 2 12 22 2 i i i n q R L n q −+ π = − ⋅⋅ (17)