§20.1 Green函数的概念 第2页 §20.1Gre函数的概念 先举一个静电场的例子 设在无界空间中有一定的电荷分布,电荷密度为p(T).这样,在坐标为r=(x,y,2)的 体元dr内的电量即为p(r)dr’,它在空间r=(x,y,2)点的电势是 1p(r) dr 4TEo r-rl 根据电势叠加原理,把空间中的全部电荷产生的电势叠加起来,就得到在r点的总电势为 o(r) p(r) 这个结果说明,只要知道了单位点电荷在空间的电势分布,那么,通过电荷的分 割与叠加,就可以得到任意电荷分布时的电势 这种做法只不过是利用了偏微分方程的线性性质 ★如果是有界空间,原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割. ★由于边界条件的制约,在边界面上也会有一定的(单层或偶极层的)感生面电荷分布,也 需要将这些面电荷无限分割 ★为了唯一地确定(有界空间内)点电荷的电势,也需要指定适当的边界条件 在有界空间的情形下,问题就是:如何通过(适当边界条件下的)点电荷电势的叠加,而给出任 意电荷分布和任意边界条件时的电势.这就是说,要用定解问题 V-G(r; r) r′∈V 适当的边界条件 的解G(r;r)叠加出 V-u(r) u,=f(∑) 的解u(r),即把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;7)表示出来 为此,我们将G(r;T)和u(r)满足的方程分别乘以u()和G(r;r),相减,再在空间V内 积分,即得 Lu(r)V-G(r; r)-G(r:r)vu(r)dr lu(r)8(r-r)-G(r; r)p(r)d§20.1 Green¼êVg 1 2  §20.1 Green¼êVg kއ·>|~f© 3Ã.m¥k½>Ö©Ù§>Öݏρ(r)©ù§3‹Ir 0 = (x 0 , y0 , z0 ) Ndr 0S>þ=ρ(r 0 )dr 0§§3mr = (x, y, z):>³´ 1 4πε0 ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 , Šâ>³U\n§rm¥Ü>Ö)>³U\å5§Ò3r:o>³ φ(r) = 1 4πε0 ZZZ ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 . ù‡(J`²§‡ ü :>Ö3m>³©Ù§@o§ÏL>Ö© †U\§ÒŒ±?¿>֩ٞ>³© ù«‰{ØL´|^  ‡©§‚55Ÿ© F XJ´k.m§KþE,Œ±rmS>ÖÁ©© F du>.^‡›§3>.¡þ¬k½(ü￾½ó4￾) a)¡>Ö©Ù§ I‡òù ¡>ÖÁ©© F  /(½(k.mS):>Ö>³§I‡½·>.^‡© 3k.mœ/e§¯KÒ´µXÛÏL(·>.^‡e) :>Ö>³U\§ ‰Ñ? ¿>Ö©ÙÚ?¿>.^‡ž>³© ùÒ´`§‡^½)¯K ∇2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V ·>.^‡ )G(r; r 0 )U\Ñ ∇2u(r) = − 1 ε0 ρ(r), r ∈ V u ¯ ¯ Σ = f(Σ) )u(r)§=ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5© d§·‚òG(r; r 0 )Úu(r)÷v§©O¦±u(r)ÚG(r; r 0 )§ƒ~§23mV S È©§= ZZZ V £ u(r)∇ 2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇ 2 u(r) ¤ dr = − 1 ε0 ZZZ V £ u(r)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )ρ(r) ¤ dr = − 1 ε0 " u(r 0 ) − ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr # .