例9设正数数列{an}单调减少,级数∑(-1)2a 爱散考察∑(1+)的敛散性 证记un=(,)”由{an}单调减少an>0 1+ 故由单调有界原理知 liman=A存在 且A≥0 若A=0由 Leibniz审敛法得交错级数 ∑(-1an收敛与题设矛盾→A>0 → limu=lim <1 nn→∞11+a 1+A 由检根法知∑(1+a)收敛设正数数列 an 单调减少，级数   = − − 1 1 ( 1) n n n a 发散 考察 n n an ) 1 1 ( 1   = + 的敛散性 证 记 n n n a u ) 1 1 ( + = 由 an 单调减少 an  0 故由单调有界原理知 an A n = → lim 存在 且 A  0 若 A = 0 由Leibniz审敛法得 交错级数   = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛 与题设矛盾  A  0 n n n n n a u +  = → → 1 1 lim lim 1 1 1  + = A 由检根法知 n n an ) 1 1 ( 1   = + 收敛 例9