Chapter 2 数列的极限理论 分析是极限的艺术 一中科大数学学院任广斌教授 极限思想产生于实数体系的公理化过程，其中有若干条最基本的性质，奠定了整 个数学分析的基础，即我们所熟知的实数六大基本定理（它们之间的互推证明请参考附 录(A).这六大定理虽能互推，但是我们必须要事先承认其中之一，方可奠定整个实数理 论，由此可见实数公理化体系引入的必要性，虽然我们今后可能不会再去关注这件事，但 是今后所学的所有微积分与极限理论均是建立在实数公理的基础上的.由此，正是极限理论 的引入，揭开了高等数学的序幕 2.1常用不等式 本节中会列举若干常用的不等式，并给出相应证明.此处以定理和推论形式给出的不等 式在考试之中（对做法没有特殊要求的情况下）可以直接使用，但是例题中的不一定允许使 用 【定理2.1】(Bernoulli不等式)设n≥2是自然数，xi>-1(i=1,2,,n)且都同号不为0， 则有 %+>1+空Chapter 2 数列的极限理论 分析是极限的艺术. ——中科大数学学院 任广斌教授 极限思想产生于实数体系的公理化过程，其中有若干条最基本的性质，奠定了整 个数学分析的基础，即我们所熟知的实数六大基本定理(它们之间的互推证明请参考附 录(A)). 这六大定理虽能互推，但是我们必须要事先承认其中之一，方可奠定整个实数理 论，由此可见实数公理化体系引入的必要性，虽然我们今后可能不会再去关注这件事，但 是今后所学的所有微积分与极限理论均是建立在实数公理的基础上的. 由此，正是极限理论 的引入，揭开了高等数学的序幕. 2.1 常用不等式 本节中会列举若干常用的不等式，并给出相应证明. 此处以定理和推论形式给出的不等 式在考试之中(对做法没有特殊要求的情况下)可以直接使用，但是例题中的不一定允许使 用. 【定理2.1】(Bernoulli不等式)设n > 2 是自然数，xi > −1(i = 1, 2, ..., n)且都同号不为0， 则有 Yn i=1 (xi + 1) > 1 +Xn i=1 xi . 9