正在加载图片...
.60 北京科技大学学报 第29卷 脉冲在轧辊表面上放电的总功率Q(t)为[6]： 内有定义的函数T(r,z,t)用该特征值问题的特征 Q(t)=F。U(t)I(t) (5) 函数表示，再将这个表达式分成两部分，为逆变公式 式中，F。为能量在轧辊表面分配的比例；U(t)为t 与积分变换公式： 时刻的放电电压，V;I(t)为t时刻的峰值电流，A, (②)通过积分变换，并利用热传导方程的特征 矩形脉冲加工时，在放电初期，开路电压迅速降 值问题与边界条件，将对空间变量的偏导数从热传 到加工间隙电压，同时加工电流在极短时间达到峰 导方程中去掉，使之简化成一个有关温度变换量的 值电流，因此可视间隙电压U(t)和峰值电流I(t) 常微分方程： 在整个脉冲放电过程不变，则Q(t)为常数，故有 (③)求解由此得到的关于温度变换量的常微分 dQ(t)/dt=0,从而求解得： 方程，且满足变换后的初始条件； qo(t)=CL-20 (6) (4)用逆变换公式对温度的变换量进行逆变 式中，C为待定系数，且C>0,若令C=(k2/k1)2, 换，得到原偏微分方程的解 则可以表示为： 采用积分变换法进行求解，先应用积分变换将 对z(0≤z<∞)的偏导数从热传导方程(9)中去掉， 90(t)= 22_22 k1t巴 B() (7) 再对变量r(0r<)的偏导数从方程(9)中去掉， 因此，在轧辊表面的热流密度q(T,t)为： 然后求解关于双重变换后变量的解，再逐次使用逆 变公式进行逆变换，最终得到热传导微分方程(9)的 g(r,t)= (8) 解为： 3热传导模型及求解方法 T2,)= J:'=0W,'=0N4πexp 轧辊表面电火花毛化过程是一个热作用过程， -2+② exp 4 cu exp 4 at 将电火花在轧辊表面产生的热量看作一个圆形面积 的热源作用于一半无限体表面，其热传导模型 i.+ 为5,7 ++2-歌 k元J=0J-0N4a(L-texp 4a(t-t ror d22aai(r,:1) 1 2+ 0≤z<∞，0≤r<∞ 2a(i-1')lexp 4a(i-i')l 2a(i-i) IC:T(r,z,t)=F(r,z) t=0 g(r,t)r'dr'dt (10) -=0.0) 式中，1o()为0阶修正贝塞尔函数，若轧辊表层初 BC: t>0,z=0 始温度为常数，即F(r,z)=To=常数，且放电通道 BC:T(r,z,t)=F(r,z) t>0,z,r=∞ 半径随着时间按式(2)增大，将高斯分布的热流密度 (9) q(r,t)表达式代入式(10)，则 式中，T(r,z,t)为轧辊表层瞬态温度分布；F(r, z)为轧辊表层初始温度分布；α为热扩散系数，且 T(r,2,t)=7 a=k（p·c)1,m2·s1;k为热传导率， -2+ WmK-;p为轧辊材料密度，kgm-3;c为比热 exp 40此 J=0 ex 44 容，Jkg1K1. k()”1 式(9)是一个非稳态的齐次方程，但其边界条件 ra,+- 2k(πa)2 '=0,'=0 是非齐次的，采用经典的分离变量法求解比较困难· 12 积分变换法为求解齐次与非齐次的、稳态与非稳态 k1(t-t)9 k1(t 的热传导边值问题提供了一种系统、有效和直接的 2十工 方法[8].该方法通常藉助积分变换把对空间变量 exp 40 rdr'dt 12 (11) 的二阶偏导数从热传导偏微分方程中去掉，其基本 4 步骤是： 温度场的数值求解 (1)建立合适的正、逆积分变换，即分析热传导 温度场函数表达式(11)右边第二项是一个复杂 方程的特征值问题，把在区域0≤r<∞，0≤：<∞ 形式的二重积分，难以通过解析法求解.但是，根据脉冲在轧辊表面上放电的总功率 Q（ t）为［6］： Q（ t）＝Fc U（ t） I（ t） （5） 式中Fc 为能量在轧辊表面分配的比例；U（ t）为 t 时刻的放电电压V；I（ t）为 t 时刻的峰值电流A． 矩形脉冲加工时在放电初期开路电压迅速降 到加工间隙电压同时加工电流在极短时间达到峰 值电流因此可视间隙电压 U（ t）和峰值电流 I（ t） 在整个脉冲放电过程不变则 Q（ t）为常数故有 d Q（ t）／d t＝0从而求解得： q0（ t）＝Ct －2v （6） 式中C 为待定系数且 C＞0若令 C＝（ k2／k1） 2 则可以表示为： q0（ t）＝ k2 k1t v 2 ＝ k2 b（ t） 2 （7） 因此在轧辊表面的热流密度 q（ rt）为： q（ rt）＝ k2 k1t v 2 exp － r k1t v 2 （8） 3 热传导模型及求解方法 轧辊表面电火花毛化过程是一个热作用过程 将电火花在轧辊表面产生的热量看作一个圆形面积 的热源作用于一半无限体表面其热传导模型 为［57］： ∂2T ∂r 2＋ 1 r ∂T ∂r ＋ ∂2T ∂z 2＝ 1 α ∂T ∂t （ rz t） 0≤z ＜∞0≤ r＜∞ IC： T（ rz t）＝F（ rz ） t＝0 BC： －k ∂T ∂z ＝q（ rt） t＞0z ＝0 BC： T（ rz t）＝F（ rz ） t＞0z r＝∞ （9） 式中T （ rz t）为轧辊表层瞬态温度分布；F（ r z）为轧辊表层初始温度分布；α为热扩散系数且 α＝ k （ρ· c ） －1m 2 ·s －1 ；k 为 热 传 导 率 W·m －1·K －1 ；ρ为轧辊材料密度kg·m －3 ；c 为比热 容J·kg －1·K －1． 式（9）是一个非稳态的齐次方程但其边界条件 是非齐次的采用经典的分离变量法求解比较困难． 积分变换法为求解齐次与非齐次的、稳态与非稳态 的热传导边值问题提供了一种系统、有效和直接的 方法［8－9］．该方法通常藉助积分变换把对空间变量 的二阶偏导数从热传导偏微分方程中去掉．其基本 步骤是： （1） 建立合适的正、逆积分变换即分析热传导 方程的特征值问题把在区域0≤ r＜∞0≤ z ＜∞ 内有定义的函数 T（ rz t）用该特征值问题的特征 函数表示再将这个表达式分成两部分为逆变公式 与积分变换公式； （2） 通过积分变换并利用热传导方程的特征 值问题与边界条件将对空间变量的偏导数从热传 导方程中去掉使之简化成一个有关温度变换量的 常微分方程； （3） 求解由此得到的关于温度变换量的常微分 方程且满足变换后的初始条件； （4） 用逆变换公式对温度的变换量进行逆变 换得到原偏微分方程的解． 采用积分变换法进行求解先应用积分变换将 对 z （0≤z ＜∞）的偏导数从热传导方程（9）中去掉 再对变量 r（0≤ r＜∞）的偏导数从方程（9）中去掉 然后求解关于双重变换后变量的解再逐次使用逆 变公式进行逆变换最终得到热传导微分方程（9）的 解为： T（ rzt）＝∫ ∞ z′＝∫0 ∞ r′＝0 1 4παt exp － （z－z′） 2 4αt ＋ exp － （ z ＋z′） 2 4αt 1 2αt exp － r 2＋ r′2 4αt · I0 rr′ 2αt F（ r′z′） r′d r′d z′＋ 2α kπ∫ t t′＝∫0 ∞ r′＝0 π 4α（ t－t′） exp － z 2 4α（ t－t′） · 1 2α（ t－t′） exp － r 2＋ r′2 4α（ t－t′） I0 rr′ 2α（ t－t′） · q（ r′t′） r′d r′d t′ （10） 式中I0（·）为0阶修正贝塞尔函数．若轧辊表层初 始温度为常数即 F（ rz ）＝ T0＝常数且放电通道 半径随着时间按式（2）增大将高斯分布的热流密度 q（ rt）表达式代入式（10）则 T（ rz t）＝ T0 4π 1 2（αt） 3 2∫ ∞ z′＝0 exp － （ z －z′） 2 4αt ＋ exp － （ z ＋z′） 2 4αt d z′∫ ∞ r′＝0 exp － r 2＋ r′2 4αt · I0 rr′ 2αt r′d r′＋ 1 2k（πα） 1 2∫ t t′＝∫0 k1 （ t－t′） v r′＝0 1 t′ 3 2 · k2 k1（t－′t ） v 2 exp － z 2 4α′t exp － r′ k1（t－′t ） v 2 · exp － r 2＋ r′2 4αt′ I0 rr′ 2αt′ r′d r′d t′ （11） 4 温度场的数值求解 温度场函数表达式（11）右边第二项是一个复杂 形式的二重积分难以通过解析法求解．但是根据 ·60· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷