323 Rayleigh-Ritz方法 第10页 4则=/=+m+m号 这可以看成是a1和a2的二元函数的条件极值问题,必要条件是 0(I-M1) 2a1+a2-A(a1+7a2)=0 0. 这又是关于a1和a2的代数方程组,有非零解的充分必要条件是 0. 3 入3-4 3 A2-128A+640=0 解之得 这两个给出的都是A的极小值. 在32.1和32.2节中已经论证过,最小的极小值就对应于最小的本征值 这里得到的当然只是本征值问题的最小本征值的近似值 A1=57841 它和精确值 A1=(24048…)2=57831 的相对误差不到2×10-4.相应地,本征函数的近似解是 +a2( a1=2y12-33y2/17=1.6505676…, 2=80-2302/17=10538742 为了与精确解 g1(a) h1()0(m2a 作比较,不妨计算 (x)-(x) y(a)g(ez)rdr 42a18√2a2Wu Chong-shi §32.3 Rayleigh–Ritz ÷ ➣ ➛ 10 ➜ I1[y2] = Z 1 0 x y2 2 dx = 1 6 α 2 1 + 1 4 α1α2 + 1 10 α 2 2 = 1. ④❪➵➶ø❉ α1 ❨ α2 ✣ùú❩✢✣❲❳➢❅✦✧✚è❡❲❳❉ ∂(I − λI1) ∂α1 = 2α1 + 4 3 α2 − λ 1 3 α1 + 1 4 α2  = 0, ∂(I − λI1) ∂α2 = 4 3 α2 + 4 3 α1 − λ 1 5 α2 + 1 4 α1  = 0. ④➧❉❸➃ α1 ❨ α2 ✣❙✢◆❖û✚✿üý✙✣þ✲è❡❲❳❉         2 − λ 3 4 3 − λ 4 4 3 − λ 4 4 3 − λ 5         = 0, ① 3λ 2 − 128λ + 640 = 0. ✙ë✬ λ = 64 3 ± 8 3 √ 34. ④❬❁ÿ●✣￾❉ λ ✣➢Û❅✰ ✁ 32.1 ✂ 32.2 ✄☎ ✆✝✞✟✠✚✡☛☞✌☛✍✎✏✑✒✡☛☞✓✔✍✰ ④➄✬✭✣â◗✪❉❃❄❅✦✧✣⑥Û❃❄❅✣✮✯❅ λ¯ 1 = 5.7841 · · ·, æ❨➻✕❅ λ1 = (2.4048 · · ·) 2 = 5.7831 · · · ✣✖➂✗✘✙✭ 2 × 10−4 ✰✖ì➼✚❃❄❩✢✣✮✯✙❉ y¯1(x) = α1 ￾ 1 − x 2
+ α2 ￾ 1 − x 2
2 , α1 = 2q 12 − 33p 2/17 = 1.6505676 · · ·, α2 = q 80 − 230p 2/17 = 1.0538742 · · ·. ➈✺✚➻✕✙ y1(x) = √ 2 J1(µ1) J0 (µ1x) × ✛✜✚✙✢✃❐ ∆ = Z 1 0 y1(x) − y¯1(x) 2 xdx = 2 − 2 Z 1 0 y1(x) ¯y1(x)xdx = 2 ( 1 − h 4 √ 2α1 µ 3 1 + 8 √ 2α2 µ 3 1  8 µ 2 1 − 1 i) = 1.66 × 10−5 .