§3不变因子 现在来证明,-矩阵的标准形是唯一的 定义5设λ-矩阵A(A)的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r,A(4)中必有非 零的k级子式.A(4)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D(4)称为 A(A)的k级行列式因子 由定义可知,对于秩为r的λ-矩阵,行列式因子一共有r个行列式因子的 意义就在于,它在初等变换下是不变的 定理3等价的λ-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 现在来计算标准形矩阵的行列式因子设标准形为 d,() d2() (1 0 其中d(),d2(4)…,d()是首项系数为1的多项式,且 d(4)ldl-(λ)(=1,2,…,r-1)不难证明,在这种形式的矩阵中,如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k级子式一定为零因此,为了 计算k级行列式因子,只要看由i,2…行与l,2…列组成的k级子式就行 了,而这个k级子式等于 d2(4),d,(),…,d() 显然,这种k级子式的最大公因式就是 (4)d2(4)…d4() 定理44-矩阵的标准形是唯一的 证明设(1)是A(4)的标准形由于A(4)与(1)等价,它们有相同的秩与相同的 行列式因子,因此,A(4)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A(4)§3 不 变 因 子 现在来证明，  −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设  −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1  k  r, ， A() 中必有非 零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的  −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因子的 意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的  −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为                       0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1      dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  是 首 项 系 数 为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di  di+1  i =  r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零.因此，为了 计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2  行与 k i ,i , ,i 1 2  列组成的 k 级子式就行 了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2    k di di  di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1  d2  dk  定理 4  −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的 行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ; A()