为正半定的，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零（取法不是唯一的，只要既简单又 能导出确定的平衡状态的解即可)，而解得的P矩阵仍应是正定的。 例8-19试用李雅普诺夫方程确定使图8-19所示系统渐近稳定的k值范围 图8-19例8-29的系统框图 解由图示状态变量列写状态方程为 「0101「0] =0-21x+0w -k0-1k 稳定性与输入无关，可令u=0。由于dtA=-K≠0，A非奇异，原点为惟一的平衡状态。 取Q为正半定矩阵 「000] Q=000 001 则(x)=-x'=-x,(x)负半定。令广(x)=0,有x=0,考虑状态方程中 元=-化-x,解得x=0:考虑到x=X2,解得x2=0,表明唯有原点存在广(x)=0。 4P+PA=-0 1 -2 0 P=z pas +pa P=Pas 0-2 1 =000 Lo 1 -1Ps Ps Ps Lps Ps Ps-k o -1 00-1 展开的代数方程为6个，即 -2kp3=0,-p23+p1-2A2=0,-p+PA2-B3=0 2p12-4P2n=0,p13-3p3+P2=0,2p23-2p3=0 解得335 为正半定的，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零（取法不是唯一的，只要既简单又 能导出确定的平衡状态的解即可），而解得的 P 矩阵仍应是正定的。 例 8-19 试用李雅普诺夫方程确定使图 8-19 所示系统渐近稳定的 k 值范围。 图 8-19 例 8-29 的系统框图 解 由图示状态变量列写状态方程为 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 x x u k k         = − +             − − 稳定性与输入无关，可令 u = 0 。由于 det A = −K  0，A 非奇异，原点为惟一的平衡状态。 取 Q 为正半定矩阵           = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 则 2 3 V(x) x Qx x T  = − = − ， V (x)  负半定。令 V(x)  0  ，有 x3  0 ，考虑状态方程中 3 1 3 x kx x = − − ，解得 x1  0 ；考虑到 1 2 x  = x ，解得 x2  0 ，表明唯有原点存在 V(x)  0  。 令 A P PA Q T + = − 11 12 13 11 12 13 12 22 23 12 22 23 13 23 33 13 23 33 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 k p p p p p p p p p p p p p p p p p p k           −           − + − =                               − − − − 展开的代数方程为 6 个，即 13 − = 2 0 kp ， 23 11 12 − + − = kp p p2 0 ， 33 12 13 − + − = kp p p 0 2p12 − 4p22 = 0 ， p13 − 3p23 + p22 = 0， 2p23 − 2p33 = 0 解得