上述结论也可以从状态方程直接看出。 对于平衡状态X=-4,作坐标变换2=x+a,得到新的状态方程 2=-0z+z 因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x=一口处的平衡状态， 当a>0时是局部一致渐近稳定的：当a≤0时是不稳定的。 $8.3.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 1.连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为文=红，A为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。可以取下列 正定二次型函数V(x)作为李雅普诺夫函数，即 V(x)=x'Px (8-78) 求导并考虑状态方程 V(x)=Px+xPi=x(A'P+AP)x (8-79) 令 AP+AP=-0 (8-80) 得到 V(x)=-x'Qx (8-81) 根据定理1，只要Q正定（即(x)负定），则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性 定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵P,存在满足式(8-81)的 正定矩阵Q。 可以先给定一个正定的P矩阵，然后验证Q矩阵是否正定的步骤去分析稳定性。但若P 选取不当，往往会导致Q矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，也可以先指定正 定的Q矩阵，然后验证P矩阵是否正定。 定理5（证明从略）系统文=A红渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵Q,存 在正定实对称矩阵P使式(8-80)成立。 x'Px是系统的一个李雅普诺夫函数。该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的 极大方便，这时是先给定Q矩阵，采用单位矩阵最为简单，再按式(8-80)计算P并校验 其定号性，当P矩阵正定时，则系统渐近稳定：当P矩阵负定时，则系统不稳定：当P矩 阵不定时，可断定为非渐近稳定，至于具体的稳定性质，尚须结合其它方法去判断，既有可 能不稳定，也有可能是李雅普诺夫意义下稳定。总之，对于系统是否渐近稳定，只需进行 次计算。 由定理2可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在(x)恒为零时，Q矩阵可给定 334 334 上述结论也可以从状态方程直接看出。 对于平衡状态 x a =− ，作坐标变换 z x a = + ，得到新的状态方程 2 z az z = − + 因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间 x a =− 处的平衡状态， 当 a  0 时是局部一致渐近稳定的；当 a  0 时是不稳定的。 §8.3.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 1. 连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 x  = Ax ， A 为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。可以取下列 正定二次型函数 V x( ) 作为李雅普诺夫函数，即 V x x Px T ( ) = （8-78） 求导并考虑状态方程 V x x Px x Px x A P AP x T T T T ( ) =  +  = ( + )  （8-79） 令 A P AP Q T + = − （8-80） 得到 V x x Qx T  ( ) = − （8-81） 根据定理 1，只要 Q 正定（即 V (x)  负定），则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性 定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵 P ，存在满足式（8-81）的 正定矩阵 Q 。 可以先给定一个正定的 P 矩阵，然后验证 Q 矩阵是否正定的步骤去分析稳定性。但若 P 选取不当，往往会导致 Q 矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，也可以先指定正 定的 Q 矩阵，然后验证 P 矩阵是否正定。 定理 5 （证明从略）系统 x Ax = 渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵 Q ，存 在正定实对称矩阵 P 使式（8-80）成立。 x Px T 是系统的一个李雅普诺夫函数。该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的 极大方便，这时是先给定 Q 矩阵，采用单位矩阵最为简单，再按式（8-80）计算 P 并校验 其定号性，当 P 矩阵正定时，则系统渐近稳定；当 P 矩阵负定时，则系统不稳定；当 P 矩 阵不定时，可断定为非渐近稳定，至于具体的稳定性质，尚须结合其它方法去判断，既有可 能不稳定，也有可能是李雅普诺夫意义下稳定。总之，对于系统是否渐近稳定，只需进行一 次计算。 由定理 2 可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在 V (x)  恒为零时， Q 矩阵可给定