/a2+2+c2+e 0 0 0 2+242+2 A2= 0 0 a2+b2+2+ 2+b2+t 因此D=4=4=(a2+2+c2+2,由行列式定义知a的系数为-1，于是D=-(a2++c2+ 11a12.a1n a11a1p·01jm (3③)令D= a21022··42m a21a2归·a2y. =(-l)r心ijmD,所有n级排列中奇 1 un? anjt anja…anjn 偶各半，从而D带正负号的个数相等，故原式=0. 例题2.12设A-(a,)是一个n阶方阵，A,是a的代数余子式，证明 AA2g… A32A33··A3 =ai4-2 A2A… a11a12 00.. 0 a12 1 a22 21 0A2 A 1 inl an2 a10 a211A… aulAl-1 ≠时结论 an1 0 (间当4=0时，如果r(A)≤n-2,则因(4)=0，于是4°=0，故4=0，因此结论也成立. ()当A川=0时，如果r(A)=n-1,则r(A)=1,所证等式的左端行列式因任意两行成比例也等于零，故 结论也成立 例题2.13设A为n(n≥2)阶方阵，求证(1)1A1=4-1:(2)(4)=14m-2A(n为A的阶数，n≥2引. 证()由A4°=4E,得到441=4.当14≠0时，则41=4-1，结论成立：当14=0时，如能 证A1=0,则结论也成立 下证A=0如果4≠0，则存在可逆矩阵B使AB=E,于是AB=A但AA”=4E=0,故A= 0,从而4”=0,41=0这显然与4|≠0相矛后.因而，当4=0时，41=0. (2)分14=0与4≠0两种情况进行讨论： 当A≠0时，反复利用A=IAA-,则(Ay=(0AA-)=AA-(AA-1)-1=AA-1A 14m-14-1A=4n-24 当4=0时，只须证(4=0 ()当n>2时，因r(4)≤1而n-1>1,故r(4)≤1<n-1,因而(Ay=0,故(Ay=Am-2A成立. A(因n=2,故(Ay=14-2A.A2 =   a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2   œdD = |A2 | = |A| 2 = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 4 ,d1™½¬a 4XÍè−1, u¥D = −(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 . (3) -D =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann            ,K            a1j1 a1j2 · · · a1jn a2j1 a2j2 · · · a2jn . . . . . . . . . anj1 anj2 · · · anjn            = (−1)τ(j1j2···jn D, §kn?¸•¤ Ûàå, l DëK“áÍÉ, ™= 0. ~K2.1.2 A = (aij )¥òánê ,Aij¥aijìÍ{f™,y²            A22 A23 · · · A2n A32 A33 · · · A3n . . . . . . . . . An2 An3 · · · Ann            = a11|A| n−2 y            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann                       1 0 0 · · · 0 A21 A22 A23 · · · A2n . . . . . . . . . . . . An1 An2 An3 · · · Ann            =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann                       1 A21 · · · An1 0 A22 · · · An2 . . . . . . . . . 0 A2n · · · Ann            , =            a11 0 · · · 0 a21 |A| · · · 0 . . . . . . . . . an1 0 · · · |A|            = a11|A| n−1 (i)|A| 6= 0û,(ÿw,§·. (ii)|A| = 0û,XJr(A) ≤ n − 2,Kœr(A∗ ) = 0,u¥A∗ = 0,Aij = 0,œd(ÿ觷. (iii)|A| = 0û,XJr(A) = n−1,Kr(A∗ ) = 1,§y™܇1™œ?ø¸1§'~èu", (ÿ觷. ~K2.1.3 Aèn(n ≥ 2)ê , ¶y (1) |A∗ | = |A| n−1 ; (2) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A(nèAÍ,n ≥ 2). y (1) dAA∗ = |A|E,|A||A∗ | = |A| n. |A| 6= 0û,K|A∗ | = |A| n−1 ,(ÿ§·; |A| = 0û,XU y|A∗ | = 0,K(ÿ觷. ey|A∗ | = 0.XJ|A∗ | 6= 0,K3å_› B¶A∗B = E,u¥AA∗B = A.AA∗ = |A|E = 0,A = 0,l A∗ = 0, |A∗ | = 0˘w,Ü|A∗ | 6= 0ÉgÒ.œ ,|A| = 0û,|A∗ | = 0. (2) ©|A| = 0Ü|A| 6= 0¸´ú¹?1?ÿ: |A| 6= 0û, áE|^A∗ = |A|A−1 , K(A∗ ) ∗ = (|A|A−1 ) ∗ = ||A|A−1 |(|A|A−1 ) −1 = |A∗ ||A| −1A = |A| n−1 |A| −1A = |A| n−2A; |A| = 0û,êLy(A∗ ) ∗ = 0. (1)n > 2û,œr(A∗ ) ≤ 1 n − 1 > 1,r(A∗ ) ≤ 1 < n − 1, œ (A∗ ) ∗ = 0,(A∗ ) ∗ = |A| n−2A§·. (2)n = 2û,A = a11 a12 a21 a22 ! ,KA∗ = a22 −a12 −a21 a11 ! ,(A∗ ) ∗ = a11 a12 a21 a22 ! = A, |A| n−2A = A(œn = 2),(A∗ ) ∗ = |A| n−2A. 2