0x/2 例题:若〓在上半平面及沿实轴趋于∞时,〓f(-)一致趋于0(与二趋于∞的辐角无关 只要其辐角θ=argz满足0≤θ≤π),即 如果:lim=f(-)=0,0≤6=arg-≤r, 则:沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧:Iimf()d==0 证明:这是第一次遇到求证积分为0的问题,今后方法多与此相似。 要证明积分值为0,只需证明积分值的模为0。常利用f()d|≤|U(,下证之。 Ce|Celd.需证明:m/=0 =Rele s d== Riele de ld==Rlde s ld==kl ldel I=v() WIlde= fE)Ide<e lde=E|%2-81 其中因为:Iim=f()=0,故c>0,可找到R 使得当|>R时,|=fc川<E,现取R>R,则有:|fc川d<Ede 也就是说,无论给定多么小的E>0,均可找到一个R",当R>R时,0<1<E 或更简单地,写成 =(= s max =fc(=m川×1-L R→∞时,=f()→0,故maxf()可小于任意小量 例题: Jordan引理:若=在上半平面及实轴上趋于∞o时,f(-)一致趋于0,即 mf(-)=0,0≤6=arg=≤r, 则沿上半平面任意一段圆心于原点半径为R的圆弧 f(-)emd==0,其中m>0 证明:方法类似于上一题。在大圆弧CR上, ==Ree a d==Riele de ld==Rlg s d==lldelx y R∞ -R R θ1 θ2 CR x y 0 π/2 π 1 y=sinx y= 2 π x ☺ 例题： 若 z 在上半平面及沿实轴趋于 ∞ 时， z f (z) 一致趋于 0（与 z 趋于 ∞ 的辐角无关， 只要其辐角 θ = arg z 满足 0 ≤ θ ≤ π），即 如果： lim z∞z f (z) = 0, 0 ≤ θ = arg z ≤ π, 则：沿上半平面任意一段圆心于原点半径为 R 的圆弧： lim R∞ CR f (z) z = 0 证明：这是第一次遇到求证积分为 0 的问题，今后方法多与此相似。 要证明积分值为 0，只需证明积分值的模为 0。常利用 L f (z) z ≤ L f (z) z，下证之。 CR f (z) z ≤ CR f (z) z = I，需证明： lim R∞I = 0 z = R  θ ⟹ z = R   θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ I = CR f (z) z θ = CR z f (z) θ < ε CR θ = ε θ2 - θ1 其中因为 ： lim z∞z f (z) = 0，故 ∀ ε > 0， 可找到 R′ ， 使得当 z > R′ 时， z f (z) < ε，现取 R > R′ ，则有： CR z f (z) θ < ε CR θ 也就是说 ，无论给定多么小的 ε > 0，均可找到一个 R′′, 当 R > R′′ 时，0 < I < ε 或更简单地 ，写成 I = CR z f (z) z z ≤ max z f (z) θ1 θ2 θ = max z f (z)  θ2 - θ1, R  ∞ 时，z f (z)  0，故 max z f (z) 可小于任意小量 。 ☺ 例题： Jordan 引理：若 z 在上半平面及实轴上趋于 ∞ 时， f (z) 一致趋于 0，即 lim z∞ f (z) = 0, 0 ≤ θ = arg z ≤ π, 则沿上半平面任意一段圆心于原点半径为 R 的圆弧： lim R∞CR f (z)  m z z = 0，其中 m > 0 证明：方法类似于上一题。在大圆弧 CR 上， z = R  θ ⟹ z = R   θ θ ⟹ z = R θ ⟹ z = z θ 4