第六章二次型 变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f∫(x1,x2,…,xn)=a1x1+2a121x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1x +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2x 称为n元二次型,简称为二次型 an∈R:称∫(x1,x2,…,xn)为实二次型(本章只讨论实二次型) an∈C:称f(x1,x2,…,xn)为复二次型 §6.1二次型的矩阵表示 1.矩阵表示:令an=an(>),则有 ∫=a1x1x1+a12x1x2+a13x1x3+…+a1nx1xn a21x211+a2X2x2+a23x23+…+a2nx2Cn tantxnx+amxnx2tan3Enx3t.+a,nxnxn dixit x1(a11+a12x2+a13x3+…+a1nxn) +x2(a211+a2)2+a23x3+…+a2nxn) +x(anx,+an,x2+an3x3+-+amxn1 第六章 二次型 变量 x x xn , , , 1 2  的二次齐次多项式 x x xn a x a x x a x x a n x xn f 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 + 2 ++ 2 a x a23 x2 x3 a2n x2 xn 2 + 22 2 + 2 ++ 2 + 2 + ann xn 称为 n 元二次型, 简称为二次型． aij  R ：称 ( , , , ) x1 x2 xn f  为实二次型（本章只讨论实二次型） aij  C ：称 ( , , , ) x1 x2 xn f  为复二次型 §6.1 二次型的矩阵表示 1．矩阵表示：令 a a ( j i) ji = ij  , 则有 a x x a x x a x x a n x xn f = 11 1 1 + 12 1 2 + 13 1 3 ++ 1 1 + a21 x2 x1 + a22 x2 x2 + a23 x2 x3 ++ a2n x2 xn + + an1 xn x1 + an2 xn x2 + an3 xn x3 ++ ann xn xn         = = = i j n i n j aij x x 1 1 ( ) = x1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ++ a1n xn ( ) + x2 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ++ a2n xn + ( ) + xn an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 ++ ann xn             + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 1 2 ( , , , )