4x-2y-3z-3=0 9.设椭球面2x2+3y2+2=6上点P1,1)处指向外侧的法向量为n,求 函数n=√6x2+8y在点P处沿方向n方向导数。 解曲面的单位法向量为n=(4x.6y23),将点Pu1的坐标代入,得 K4x,6y,2=) 到n=(23)。于是,函数u在点P处沿方向n的方向导数为 aw, ow az)m(4&4-14 (2,3,1)1 10.证明曲面√x+√y+√z=a(a>0)上任一点的切平面在各坐标轴上 的截距之和等于a。 证设切点为(x,y,),则曲面在该点的法向量为 ,切平面方程为 即 y 所以截距之和为 √va+√G+V=VG=(a)=a 11.证明:曲线 x=ae cos t 与锥面x2+y2=x2的各母线相交的角度相同。 解易知曲线的切向量为ae(cost-sin,sint+cost,l),锥面的母线方向为 (x,y,2)=ae(cost,sint,1),假定它们的夹角为6,则4x − 2y − 3z − 3 = 0。 9．设椭球面 上点 处指向外侧的法向量为 ，求 函数 2 3 6 2 2 2 x + y + z = P(1,1,1) n z x y u 2 2 6 + 8 = 在点P 处沿方向n的方向导数。 解 曲面的单位法向量为 (4 ,6 , 2 ) (4 ,6 , 2 ) x y z x y z n = ，将点 的坐标代入，得 到 P(1,1,1) (2,3,1) 14 n = 。于是，函数u在点P 处沿方向n的方向导数为 6 8 (2,3,1) 1 , , , , 14 14 14 14 7 u uuu n x y z ∂ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎛ ⎞ 1 = ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ n 。 10．证明曲面 x + y + z = a (a > 0)上任一点的切平面在各坐标轴上 的截距之和等于a。 证 设切点为 0 0 0 ( , x y z, ) ，则曲面在该点的法向量为 0 0 0 1 1 1 , , 2 2 x y 2 z ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ，切平面方程为 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) x x ( y y ) (z z ) x y z − + − + − 0 = 0， 即 0 0 0 1 1 1 x y z x y z + + = 0 0 0 x + + y z = a ， 所以截距之和为 2 0 0 0 x a y + + a z a = ( ) a = a。 11．证明：曲线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = t t t z a y a t x a t e e sin , e cos , 与锥面 x 2 + y 2 = z 2 的各母线相交的角度相同。 解 易知曲线的切向量为aet (cost − sin t,sin t + cost,1)，锥面的母线方向为 ( , , ) (cos ,sin ,1) t x y z = ae t t ，假定它们的夹角为θ ，则 5