(cost-Sint, sint+ cost, 1)(cost, sint, 1) coS (cost-sint)??+(sint+cos()?+12vcos2t+sint+12 12.证明曲面f(ax-bx,ay-cx)=0上的切平面都与某一定直线平行,其 中函数∫连续可微,且常数a,b,c不同时为零。 证曲面的法向量为(af,q2-b-c/2),由于(f,q2,-6-c2)bc,a)=0, 所以曲面的法向量与非零向量(b,c,a)垂直,即曲面的切平面都与向量 (b,c,a)平行,也就是与以此向量为方向的直线平行。 13.证明曲面=x12(x≠0在任一点处的切平面都通过原点,其中 函数∫连续可微。 证易知曲面上任意一点(x,y,=)处的切向量为 yo fro) froy 因此过点(x,yn-)的切平面为 f()-20f(2)(x-x)+f()y-y)-(x2-)=0, 容易验证,(0,0.0)满足上述方程,即所有切平面都经过原点。 14证明曲面三 0的所有切平面都过某一定点,其中函数F具 有连续偏导数 证易知曲面上任意一点(xn,y,=0)处的切向量为 x0x0y0y0250 因此过点(x,yn-)的切平面为 F2-22F3 )+F F|(y-y)+|-F△ F(=-)=0 容易验证,(00,0)满足上述方程,即所有切平面都经过原点。 15.设F(x,y,z)具有连续偏导数,且F2+F2+F2≠0。进一步,设k为2 2 2 2 2 2 (cos sin ,sin cos ,1) (cos ,sin ,1) 2 cos (cos sin ) (sin cos ) 1 cos sin 1 6 t t t t t t t t t t t t θ − + ⋅ = = − + + + + + 。 12．证明曲面 f (ax − bz, ay − cz) = 0 上的切平面都与某一定直线平行，其 中函数 f 连续可微，且常数a,b, c不同时为零。 证 曲面的法向量为 1 2 1 2 ( , af af , −bf − cf )，由于 1 2 1 2 ( , af af ,−bf − cf ) ⋅ ≡ ( , b c, a) 0， 所以曲面的法向量与非零向量 垂直，即曲面的切平面都与向量 平行，也就是与以此向量为方向的直线平行。 (b, c, a) (b, c, a) 13．证明曲面 ⎟ ( ≠ 0) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x y z xf 在任一点处的切平面都通过原点，其中 函数 f 连续可微。 证 易知曲面上任意一点 0 0 0 ( , x y z, ) 处的切向量为 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ), '( ), 1 y y y y f f f x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ， 因此过点 0 0 0 ( , x y z, ) 的切平面为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) '( )( ) ( ) 0 y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + − − − ⎝ ⎠ 0 = ， 容易验证，(0,0,0)满足上述方程，即所有切平面都经过原点。 14．证明曲面 , , = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y z x y z F 的所有切平面都过某一定点，其中函数 具 有连续偏导数。 F 证 易知曲面上任意一点 0 0 0 ( , x y z, ) 处的切向量为 0 0 2 3 2 2 3 1 3 0 0 0 0 0 0 111 , , y z x F F F F F F z x x y y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ 0 2 2 ， 因此过点 0 0 0 ( , x y z, ) 的切平面为 0 0 0 2 3 2 2 0 3 1 0 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) y z x F F x x F F y y F F z z z x x y y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − + ⎜ − ⎟ − + ⎜ − ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 0， 容易验证，(0,0,0)满足上述方程，即所有切平面都经过原点。 15．设F(x, y,z) 具有连续偏导数，且Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 ≠ 0。进一步，设k 为 6