正整数,F(x,y,)为k次齐次函数,即对于任意的实数t和(x,y,z),成 立 F(tx, ty, t=t"F(,,=) 证明:曲面F(x,y,z)=0上所有点的切平面相交于一定点。 证利用齐次条件对t求导,有 xF(tx, ty, t=)+ yF (tx, ty, t=)+=F(tx, ty, tz)=kt"F(x,y, 3) 再令t=1,得到曲面上的点(x,y,x)所满足的恒等式: xF(r,y, =)+yF (r,y, =)+=F (x,y, 因为曲面上任意一点(xn,y,a)处的法向量为 )F,(x,y0,=0),F 于是过点(x,y,=)的切平面方程为 F(c )(x-x0)+F(x0,y,=0)y-y) =-20)=0 利用前面的恒等式,切平面方程化为 F(x,y,=0)x+F,(x,y,=0)y+F(x0,y,=0)2=kF(x,y00)=0 显然切平面经过原点,所以原点就是所有切平面的交点正整数， 为 次齐次函数，即对于任意的实数t和 ，成 立 F(x, y,z) k (x, y,z) F(tx,ty,tz) t F(x, y,z) k = 。 证明：曲面F(x, y,z) = 0上所有点的切平面相交于一定点。 证 利用齐次条件对 t 求导，有 1 xF t x y ( , x ty,tz) + + yF t( , x ty,tz) zFz ( , tx ty,tz) = kt k − F(x, y,z)， 再令t =1，得到曲面上的点( , x y z, ) 所满足的恒等式： xF (x, y,z) yF (x, y,z) zF (x, y,z) kF(x, y,z) x + y + z = 。 因为曲面上任意一点 0 0 0 ( , x y z, ) 处的法向量为 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ), ( , , ), ( , , ) Fx y z x y z F x y z F x y z ， 于是过点 0 0 0 ( , x y z, ) 的切平面方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 F x y z x y z x − + x F x y z y − y + F x y z z − z = 。 利用前面的恒等式，切平面方程化为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 F x y z x y z x + F x y z y + = F x y z z kF x y z = ， 显然切平面经过原点，所以原点就是所有切平面的交点。 7