线性表出,所以rank(a,a2,…,a,β,B2,…,β)≤rank(an,a2,…,αn,βn,β2,…,βn), 而{a1,a12,…,an,β1,β12,…,βn}一共只有s+t个向量,故rank(AB)≤rank(A)rank(B) 5.证明:rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).举例说明等号不一定总是成立 证设矩阵A和矩阵B都有n列,设A的n个列向量记分别为{a,a2,…,a},B的n 个列向量分别为(,B2,…,β},又设rank(A=r,rank(B)→p,取{a,a2…,a}的一个极 大线性无关组为(a1,a2…,an},取{,β,…,β的一个极大线性无关组为{ β3},显然向量组(a1+,a+B2…,a+B}能由向量组{a1n,u2…,α1,β1n,β12…,βn}线性 表出,所以rank(a1+B,a2+B2…,a+B)≤rank(am,a2,…,a1;B1,B2…,B),而lan,a2,…, a1n,β1,B2,…,β}一共只有r+p个向量,故rank(A+B)≤r+p=ank(A+rank(B) 设A是n×n矩阵,B=A+En,C=A-En,则rank(B,C)=n B},C的n个列向量分别为{m,,…,y,由已知B=u+e,",利,B, 证设A的n个列向量记分别为{a,u2,…,a},B的n个列向量分别为2 即E,E2,…,cn能由{β,B2,…,β,γ,γ,…,γ}线性表出,故 rank(E1,e,…,cn)≤rank(阝,β,…,β,y,y2,…,Y)≤n 而rank(E1,E2,…,En)=n,所以rank(B,C)= 7.设A是nxr矩阵,B是rⅫn矩阵,证明:如果AB=E,则rank(A)=rank(B)=r 证因为rank(A)≥rank(AB)=rank(E)=r,rank(B)≥rank(AB)= rank(E)=r 又A一共只有r列,B只有r行,所以rank(A)=rank(B)=r 8∵设A是n×n矩阵,证明:如果对任意β∈F,线性方程组AX=B都有解,则A可逆 证分别令B=e,e,…,E,根据已知条件知,AX=:存在解X",i=1,2,…,n,记 B=(X",x",…,x 则有AB=E,故A可逆 习题4. 1.设A是s×n矩阵,B是sxs矩阵,证明:线性方程AX=β的解也是线性方程组BAX=BB的 解 证设X是线性方程AX=B的任一解,即有AX'=β,代入BAX=BB的左边得 B(AX)=B=右边 所以线性方程AX=B的解也是线性方程组BAX=Bβ的解 2.设A是sxn矩阵,B是sxm矩阵.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是: ank(A=rank((A, B)) 证必要性:设矩阵方程AX=B有解,设X'=(X1,X2,,Xm)是一个解,其中X是X的列 向量,记B=(B1,B2,,Bm),B是B的列向量,则有AX=B,记X= 记A=(a1,ax2,an) k线性表出，所以 rank(α1, α2,…，αs，β1，β2，…，βt)≤rank(αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip), 而{αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip }一共只有 s+t 个向量，故 rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)． 5. 证明：rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)．举例说明等号不一定总是成立． 证 设矩阵 A 和矩阵 B 都有 n 列，设 A 的 n 个列向量记分别为{α1, α2,…，αn}，B 的 n 个列向量分别为{β1，β2，…，βn}，又设 rank(A)=r，rank(B)=p，取{α1, α2,…，αn}的一个极 大线性无关组为{αi1, αi2,…，αir },取{β1，β2，…，βn}的一个极大线性无关组为{βi1, βi2,…， βip},显然向量组{α1+β1, α2+β2,…，αn+βn}能由向量组{αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip }线性 表出，所以 rank(α1+β1, α2+β2,…，αn+βn)≤rank(αi1, αi2,…，αir，βi1, βi2,…，βip),而{αi1, αi2,…， αir，βi1, βi2,…，βip}一共只有 r+p 个向量，故 rank(A+B)≤r+p=rank(A)+rank(B)． 6.设 A 是 n×n 矩阵，B=A+En，C=A-En，则 rank(B,C)=n． 证 设 A 的 n 个列向量记分别为{α1, α2,…，αn}，B 的 n 个列向量分别为{β1，β2，…， βn}，C 的 n 个列向量分别为{γ1，γ2，…，γn}，由已知βi=αi+εi，γi=αi-εi，从而有 εi =1/2βi-1/2γi 即ε1, ε2,…，εn能由{β1，β2，…，βn，γ1，γ2，…，γn }线性表出，故 rank(ε1, ε2,…，εn)≤rank(β1，β2，…，βn，γ1，γ2，…，γn) ≤n 而 rank(ε1, ε2,…，εn)=n，所以 rank(B,C)=n． 7.设 A 是 n×r 矩阵，B 是 r×n 矩阵，证明：如果 AB=Er，则 rank(A)=rank(B)=r． 证 因为 rank(A)≥rank(AB)=rank(Er)=r, rank(B)≥rank(AB)=rank(Er)=r, 又 A 一共只有 r 列，B 只有 r 行，所以 rank(A)=rank(B)=r． 8 *.设 A 是 n×n 矩阵，证明：如果对任意β∈F n，线性方程组 AX=β都有解，则 A 可逆． 证 分别令β=ε1, ε2,…，εn，根据已知条件知，AX=εi存在解 X (i)，i=1,2,…,n，记 B=(X (1),X (2),…, X (n)) 则有 AB=En,故 A 可逆． 习题 4.6 1.设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×s 矩阵，证明：线性方程 AX=β的解也是线性方程组 BAX=Bβ的 解． 证 设 X*是线性方程 AX=β的任一解，即有 A X*=β，代入 BAX=Bβ的左边得 B(A X*)=Bβ=右边 所以线性方程 AX=β的解也是线性方程组 BAX=Bβ的解． 2. 设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×m 矩阵．证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是： rank(A)=rank((A,B))． 证 必要性：设矩阵方程 AX=B 有解，设 X*=(X1, X2,…, Xm)是一个解，其中 Xi是 X*的列 向量，记 B=(β1, β2,…, βm)，βi是 B 的列向量，则有 AXi=βi，记 Xi=       in i i k k k  2 1 ．记 A=(α 1, α2,…, αn)