第十三章重积分 习题13.1有界区域上的重积分 1.设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为山(x,y)的电 荷,且μ(x,y)在D上连续,试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷 解设电荷总量为ρ,则 0=u(x,y)do 2.设函数f(x,y)在矩形D=[0,x]×[0上有界,而且除了曲线段 y=sinx,0≤x≤丌外,f(x,y)在D上其它点连续。证明f在D上可 积 证设(x,y≤M(x,y)∈D,将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小 区域△D(=12…n),记λ=max{diam△D},不妨设△D(=12,…,k)将曲 线段y=sinx,0≤x≤z包含在内,于是fxy)在有界闭区域U△D上连 续,因此f(x,y)在∪△D上可积,即VE>0,361>0,当<d1时 @,Ac, 而当A<时 4kM Aa1<2M∑△a1<2AM< 取δ=minl1 当λ<δ时,就有 4kM 1△G 所以∫在D上可积 3.按定义计算二重积分∫db,其中D=0x 解将D分成n2个小正方形 ADi=(r,vI ≤y≤}(,j=12,…m), nn第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 1. 设一平面薄板（不计其厚度），它在 xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域 D。如果该薄板分布有面密度为µ( , x y) 的电 荷，且µ( , x y) 在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷。 解 设电荷总量为Q，则 ∫∫ = D Q µ(x, y)dσ 。 2. 设函数 f x( , y) 在矩形 D = [0,π ]×[0,1] 上有界，而且除了曲线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 外， 在 D 上其它点连续。证明 在 D 上可 积。 f x( , y) f 证 设 f (x, y) ≤ M,(x, y) ∈ D，将 D 用平行于两坐标轴的直线分成n个小 区域∆Di(i = 1,2,",n)，记 { } 1 max diam i i n λ D ≤ ≤ = ∆ ，不妨设 D (i 1,2, , k) ∆ i = " 将曲 线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 包含在内，于是 在有界闭区域 上连 续，因此 在 上可积，即 f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ 0, 0 ∀ε > ∃δ 1 > ，当λ < δ 1时， 2 1 ε ∑ω ∆σ < = + n i k i i 。 而当 4kM ε λ < 时， 2 2 2 1 1 ε ∑ω ∆σ < ∑∆σ < λ < = = M kM k i i k i i i 。 取 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4kM min , 1 ε δ δ ，当λ < δ 时，就有 ε ε ε ∑ω ∆σ < + = = 2 2 1 n i i i ， 所以 f 在 D 上可积。 3. 按定义计算二重积分 xydxdy，其中 D D ∫∫ = [0,1]×[0,1]。 解 将D分成 个小正方形 2 n ( , 1,2, ) 1 , 1 ( , ) i j n n j y n j n i x n i D x y ij = " ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∆ = ， 1