取 ∫xh=lm∑5nAon=lmn1∑ n-20on lim (n+1) 4.设一元函数f(x)在[ab上可积,D={a,b×c,d。定义二元函数 y)=f(x),(x,y)∈D 证明F(x,y)在D上可积。 证将[ab、[ed分别作划分: b 和 = yo <yI <y2 < d, 则D分成了m个小矩形ADn(=1,2…,n,j=12,…,m)。 记a是f(x)在小区间[x1,x上的振幅,on(F)是F在△D上的振 幅,则 于是 (F)△ Ax2y=(d-c)∑Ax 由f(x)在[b上可积,可知∑oAx→0(2→0),所以 On(F)Aa=lm{d-c∑a 即F(x,y)在D上可积。 5.设D是R2上的零边界闭区域,二元函数f(x,y)和g(x,y)在D上可积 证明 H(, y)=maxf(x,y),g(x, y)) 和 h(x, y)=miff(x,y),g(x,y)) 也在D上可积 证首先我们有 H(xy)=((x,y)+g(x,y)+|(x,y)-g(x,y), )=((x,y)+g(xy)-(x,y)-g(xy)取 n j n i ξ i = ,η j = ，则 xydxdy D ∫∫ ∑ ∑ = →∞ = →∞ = ∆ = n i j n n i j i j ij n ij n , 1 4 , 1 1 lim ξ η σ lim 4 1 ( 1) 4 1 1 lim 2 2 4 = ⋅ + = →∞ n n n n 。 4. 设一元函数 f (x)在[a,b]上可积，D = [a,b]×[c, d]。定义二元函数 F(x, y) = f (x)，(x, y) ∈ D。 证明F(x, y) 在D上可积。 证 将[a,b]、[c, d]分别作划分： a = x0 < x1 < x2 < " < xn−1 < xn = b 和 c = y0 < y1 < y2 < " < ym−1 < ym = d ， 则D分成了nm个小矩形 D (i 1,2, , n, j 1,2, ,m) ∆ ij = " = " 。 记ωi 是 f (x) 在小区间[xi−1, xi]上的振幅， (F) ωij 是 在 上的振 幅，则 F ∆Dij ωij (F) = ωi， 于是 , 1 , 1 1 ( ) ( ) n n n ij ij i i j i i i j i j i ω σ F x ω y d c ω = = = ∑ ∑ ∆ = ∆ ∆ = − ∑ ∆x ， 由 f (x)在[a,b]上可积，可知 ∑ = ∆ n i i i x 1 ω → 0 (λ → 0)，所以 0 , 1 lim ( ) n ij ij i j F λ ω σ → = ∑ ∆ = 0 1 lim ( ) 0 n i i i d c x λ ω → = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ∆ = ⎩ ⎭ ∑ ， 即F(x, y) 在D上可积。 5．设D是 2 R 上的零边界闭区域，二元函数 和 在 上可积。 证明 f (x, y) g(x, y) D H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)} 和 h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)} 也在D上可积。 证 首先我们有 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 H (x, y) = f x y + g x y + f x y − g x y ， ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 h(x, y) = f x y + g x y − f x y − g x y 。 2