若 lima,0,则级数对每一点x都收敛.若im|an不 存在,则级数仅当z〓20时收敛.在第一种(即r>0且不为∞) 情况,级数表示|z-zo|<r内的一全纯函数.围绕每一满足 lz1-al<r的点z1,此函数有一幂级数展式∑bn(z-x) 它在|z-x1<r-|x1-zol内收敛.可能出现这样的情形,即 有r>r-|x1-zo|级数甚至在|x-x1<r’内收敛.在此 情形新的级数产生f越过圆|z-z|<r外的一全纯展拓.但 函数f一定不能全纯展拓到|z-z0=r的每一点.另一方面, 可以证明,能用“改写幂级数”来实现f的每一个可能的全纯展拓 沿一途径之展拓至多只有一种方式可以作出 4.当imv|an=0时,幂级数对所有z定义了一个全纯函 数.反之,对所有z都全纯的函数围绕每一点z都有一幂级数展 式它在每一点z都收敛.这种函数称为整函数.例如,多项式就 是一种整函数,也叫做整有理函数,其它的整函数称为整超越函 数,例如 Si 2n+1 (2n+1)! cos 2 (2n)! 以及 Bessel函数 ln(x)=>(-1) 2=2n+2y!(n+y)! 5.令G为一单连通域,并在GCG域上定义一全纯函数f它 能沿G内任意途径全纯展拓,则此展拓不依赖途径并在整个G内 产生一全纯函数 另一方面,若G不是单连通域,则沿不同途径之展拓可能产生 不同的结果.在GCG内的全纯函数之展拓能在域GCG上给 出不同的函数.例如,函数logz,√x等等.定义一个变元z能