目 录 I.复变函数(F. Sommer)… §1.预篇 §2.残数的计算 §3.共形映象.调和函数 §4.渐近展式…… 26 §5. Laplace变换……………………………… ,···,·;审 §6.P ource 变换 §7.多复变 参考文献 IL分布论(E.M. de jager) B·非非·面 §1.分布的初等理论………………………………………52 §2.分布的几个特征性质…………… §3.曲面分布 75 §4.具有代数奇异性的函数的正则化……………………80 §5.分布的 Fourier变换………………………………………………96 §6.分布理论对偏微分方程的某些应用……………………106 参考文献…………………………………………………110 I.外微分形式(G.A. Deschamps)……………………113 51.引言 113 §2.向量空间………… 113 §3.张量………… §4.外代数……………………………… §5.外微分形式……………………………………………128 §6.积分 §7.应用于力学和光学 141 §8.应用于电磁学和相对论 150 §9.和习惯记号的比较……………… 160
§10.结论 63 参考文献 164 ⅠV.常微分方程(A.N. Tihonov,A.B.Vail'eva,v. M. Veloso)… 垂 §1.一般理论… …………………………165 §2.线性微分方程 187 §3.二阶方程的边值问题 196 §4.稳定性理论 §5.渐近方法 参考文献 ……………232 V.偏微分方程(F.Jahn) ………………234 §1.一阶方程 234 §2.两个自变量的二阶方程 243 §3.两个自变量的一阶双曲组… 262 §4.偏微分方程的一般性质…… …264 §5.高维双曲型方程… §6.高维椭圆型方程… ,非, 307 VI.积分方程(F.John) ···,·· …322 §1. Fredholm型线性方程… 集、,、 §2.复平面中的奇异积分方程 §3.非线性积分方程…………………………346 V和vI的参考文献… …351 VI偏微分方程问题的解的数值逼近(J.L.Lons)……356 §1.椭圆型问题的解的逼近……356 §2.演化型方程……… §3.分解法与迭代法……… 391 54.正则化方法和稳定化方法……………398 参考文献……… ·、 407 vI最优化(N. Moisseev v. Tikhomirov)……………413 51.数学规划 非··音, 4【3 §2.基于变式序贯分析的最优化方法……424 §3.变分学…………………………………432
§4.最优控制问题 香中·, 458 §5.最优控制的数值解法…… ………462 参考文献……………………………………44 IX.概率论及其应用(D.J.A. Welsh) …………475 §1.基本概念… 475 §2.随机过程………………485 §3.一些简单的 Markov过程…… 490 §4.时齐 Markov链………… 506 §5.更新过程 516 §6.连续参数Mako链和寿命相关分支过程… 522 §7.扩散过程 528 §8.平稳过程的调和分析……………… …534 §9.估计和预报理论………… 547 §10.信息论……………………………………554 §11.结束语……… 参考文献…………………………………571 X.量子力学(T. Yamanouchi(山内恭彦))………………576 §1.引言 576 2.二维转动群R(2)…………………………………………576 §3.群 578 §4.无穷小变换……………………………………………………59 §5.群的不变量………… 581 56.二维么正群U(2)…………… §7.群的表示…………85 §8. Schur引理…… …………587 §9.无穷小环……………… §10.无穷小环的表示… …592 §11.SU(2)的表示…………………………… 594 §12.SU(2)和R(3)的关系… 597 §13.R(3)的表示………… 514.量子力学中的角动量…… 600 §15.R(3)的么正表示… 603
516.特征标 §17.乘积表示 607 §18. Lorentz群……………………………… 609 群的连通部分 612 §20.正常 Lorentz群的表示……………………………………615
l.复变函数 F. Sommer §1.预篇 1.1全纯函数. Cauchy积分定理 这里我们将概述复变函数论在物理问题中的应用所依据的某 些基本事实 令C表复数域z=x+i,x,y∈R.其元素z与一平面上 的点(x,y)一一对应起来,这个平面称为复平面.在复平面上加 进无穷远点(或理想点)∞,对于复变函数问题是方便的,于是得 到紧致平面C〓CU{∞}.C同胚于球面S2 令G∈C为一域,且令f:G→C为定义于G的复值函数 若复导数f(x)lim(f(z+△z)-f(x)Az对每一点x∈G 皆存在,则称函数在G内全纯.我们将写成它的实部和虚部 之和f(x)=φ(x,y)+讪(x,y).现在f是全纯的。当且仅当 中x中yφx和小在G内存在、连续且满足 Cauchy- Riemann方程: φx=ψ,中 (11) 此时我们有 f(x)=(x,y)十i2(x,y) (中(x,y)十ψ(x,y) (12) 除 Cauchy- Riemann方程之外,复变函数论的另一基本结果是 Cauchy积分定理若f是单连通域G内的全纯函数,则沿 1)与 Bochun大学数学研究所H.J. Reiffen合作
G内从x1至x的途径C上的积分(x)d与途径C的选择无关 只须假设C是紧致的且分段光滑,即C有一参数表示式: z()=a(4)十iv(),h≤t≤ 其中u(4)和v(4)在区域[;t2]上连续且分段连续可微.于是积 分可写成 Riemann积分 f(e)d f(z(r))z'r)dt d(a(),以()44-(),叭()4 +计|φ(a(),v()a+中(u(),v(t) dt 我们证明下面的等价命题,就可验证 Cauchy积分定理 命C为单连通域G内之闭途径,且令f为G内的全纯函数,则 f(s)dz =0 由此对于任意域可得下列结果 )令f为域G内的全纯函数,且令C1和C2为G内从z1至z2 的两途径,彼此能连续形变而保其端点固定,则有 f(ed b)给定G内两闭途径C1与C2,它们能互相形变且保持定 向,则f(x)d c)令C为G内一闭途径,它能连续形变为一点z0∈G,则 f(x)dx 注在情形a)和b),途径C1和C2称为同伦,在情形c),途 径C称为同伦于零。于是积分只依赖于同伦类,即依赖于有等价 关系(C1同伦于C2)的类 对于不一定是单连通域的情形,我们有如下的结果: 2
令域G之边界为有限多个简单闭途径C,y=0,1,…,n, 所组成.并设C1……,Cn包含在Co的内部.又令f在G内全纯 而且在GU∪C,上连续.则有 f(z)ds x)d2 (1.3) 其中C,y=0,1,…n为正定向 这一定理的证明的办法是,分割G为有限多个单连通域(参看 图1),用 Cauchy积分定理和一个近似手续对这些单连通域证明 图1 这一论断 注定向途径C0,-C1,…,-Cn在代数拓扑的意义下组 成G的正定向边界8G: 0G=C+∑(-C) 于是上述结果的另一叙述是:令f为G内的全纯函数而且在 GUaG上连续,则f(z)dz=0 个定向途径,可能是由若干不相交的途径所组成的若它成 为一域的定向边界,则称它是同调于零.若两定向途径C1和C2是 同调的即若C1-C2同调于零又设f在G内全纯且于GU(C1 C2)上连续,则有,f(=)d2=|。f(x2)dz,其中G是以C1-C 为边界的域 由 Cauchy积分定理得到
Cauchy积分公式令G为一单连通域,C为G内一正定向 简单闭途径,C为域G0CG之边界.又设f为G内之全纯函数,则 对每一G,积分「存在并且 f(5) ds f(z),当z∈G, (14) brics 0,当zgGo∪C 下述命题成立:令G为一域,C为一途径.于G×C上有定义的 连续的复值函数f(z,5),并且对于固定的∈C,它在G内全纯 又设f2(z,2)于G×C连续,则 F 于G内全纯,并且有 F()=f(a, s)ds. (15) 重复应用此定理于 Cauchy第一积分公式,在具有 Cauchy第 积分公式的同样假设下,就得到对于n=0、1,2、…的一般 auhy积分公式: 1(f() z∈G (-x) 当zGoU 因为对每一点z∈G周围,都有包含z点在其内的一简单闭 曲线CCG,于是得到:于G内全纯的函数f,在G内具有各阶导 数, Cauchy第一积分公式蕴含着 Taylor定理令G为一域,x∈G并且D={2||x-2|< r}cG.又设f为G内的全纯函数,则对每一z∈D有 f(z) fan ( ao(a zo)n 于是在G内的全纯函数f在每一点x0∈G有一幂级数展式 ∑a(x-2)”,它在围绕x点且含于G内的最大圆D内收敛且 等于f,由公式(17)得到展式的系数an是
1(ao) (18) 反之每一幂级数∑a(x-30)”,在圆D={|13-x1r时发散,其中 5
若 lima,0,则级数对每一点x都收敛.若im|an不 存在,则级数仅当z〓20时收敛.在第一种(即r>0且不为∞) 情况,级数表示|z-zo|r-|x1-zo|级数甚至在|x-x1(-1) 2=2n+2y!(n+y)! 5.令G为一单连通域,并在GCG域上定义一全纯函数f它 能沿G内任意途径全纯展拓,则此展拓不依赖途径并在整个G内 产生一全纯函数 另一方面,若G不是单连通域,则沿不同途径之展拓可能产生 不同的结果.在GCG内的全纯函数之展拓能在域GCG上给 出不同的函数.例如,函数logz,√x等等.定义一个变元z能
