第五讲、静电场(Ⅲ) §1.7静象法§1.6电阻法 镜向法 例5-1真空中置一个点电荷q,大地为导体,求空间任意点处1)电 位分布;2)电场分布;3)大地表面感应电荷分布;4)q受力 解:物理过程分析:导体在外场的作用下达到静电平衡,空间各处电 场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果 上半平面任意点P(x,y,z) 图51感应电荷的电场 关键:直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通! 思路:间接求解的思路在于“方程+边界” 问题:区域在哪里?边界在哪里?
第五讲、静电场（Ⅲ） §1.7 静象法§1.6 电阻法 一、镜向法 例 5-1 真空中置一个点电荷 q，大地为导体，求空间任意点处 1）电 位分布； 2）电场分布；3）大地表面感应电荷分布；4）q 受力 解：物理过程分析：导体在外场的作用下达到静电平衡，空间各处电 场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果 关键：直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通！ 思路：间接求解的思路在于“方程+边界” 问题：区域在哪里？边界在哪里？ ● q ● 图 5.1 感应电荷的电场 上半平面任意点 P（x,y,z）
Z R = 图52上半空间边界 Z=0 o=0q点除外 0 根据惟一性定理,等效方法:方程+边界 P(x, y, z) Po(x0y020) q q P'o(xo, yo, -Z 图5.3静象法(等效法)
图 5.2 上半空间边界 R=¥ Z=0 Z Ñ 2 j=0 q 点除外 j|z=0,r=¥=0 根据惟一性定理，等效方法：方程+边界 ● -q ● q 图 5.3 静象法（等效法） P0(x0,y0,z0) ● P(x,y,z) P¢ 0(x0,y0,-z0
1)、建立坐标系,水平向上为Z轴,大地平面为z=0面。设电电荷q 所在点的坐标为P(x,yo,zo),则根据镜向原理,镜向电荷电量为-q, 所在点的位置为(x0,y0,-zo) 如此,上半空间任意点P(x,y,z)的电位为: (xy4(-x)+(y-b)+(=-=)(x-)+(-y)+(=+ 2)、同理,P点的电场强度为: Exy2)=q(x-x)+(y-y)+(2-k(x-x)+(y-+(+ 4Ie x-x)+(y-y)+(-=)[(x-x)+-y)+(+ 3)、计算大地的感应电荷,大地表面的感应电荷面密度: 大地表面的总感应电荷为: 0(x)=Dn=EE1=EEn=园=k= x-x)2+(y-y)2+2 q=o(x, y)dxdy= 2丌 (r2+2)
1）、建立坐标系，水平向上为 Z 轴，大地平面为 Z=0 面。设电电荷 q 所在点的坐标为 P0（x0,y0,z0），则根据镜向原理，镜向电荷电量为-q， 所在点的位置为（x0,y0,-z0） 如此，上半空间任意点 P（x,y,z）的电位为： 2）、同理，P 点的电场强度为： 3）、计算大地的感应电荷，大地表面的感应电荷面密度： 大地表面的总感应电荷为： ï þ ï ý ü ï î ï í ì - + - + + - - + - + - = 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 0 [( ) ( ) ( ) ] 1 [( ) ( ) ( ) ] 1 4 ( , , ) x x y y z z x x y y z z q x y z pe j ï þ ï ý ü ï î ï í ì - + - + + - + - + + - - + - + - - + - + - = 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 4 ( , , ) x x y y z z x x i y y j z z k x x y y z z q x x i y y j z z k E x y z pe ) [( ) ( ) ] 2 ( , ) 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 x x y y z q z x y D E E n E k n n z - + - + = = = · = = · = p s e e e q r z z rdr q r z q z q x y dxdy = - ¥ + = - + ¢ = = ò ò ¥ 0 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 2 1 2 0 2 0 0 2 3 2 0 2 0 p p s
4)、点电荷q受力为 F=ge=q (x-x)+(y-y)j+(=0+=0 316丌。x2 [(x0-x0)2+(y0-y0)2+(=0+2)2] 问题:大地受到的点电荷q的吸引力为多少?
4）、点电荷 q 受力为 问题：大地受到的点电荷 q 的吸引力为多少？ 2 0 0 2 2 3 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 4 z q k x x y y z z q x x i y y j z z k F qE q pe pe = - - + - + + - - + - + + = =
二、电轴法 ①问题的提出:平行双线系统是电力传输的重要途径 空气中平行地放置两根长导线,半径分别为a2=10cm、a=6cm,两轴 线间距为20cm。若导线间加压为1000伏,求:1)空间电位分布;2) 两导线间单位长度的电容;3)空间电场分布;4)导线面密度最大值; 5)两根长导线单位长度的最大值; 解: U=1000v 思考模式:“方程+边界” p(r=3)-q(r=5)=1000
二、电轴法 ①问题的提出：平行双线系统是电力传输的重要途径 空气中平行地放置两根长导线，半径分别为 a2=10cm、a1=6cm，两轴 线间距为 20cm。若导线间加压为 1000 伏，求：1）空间电位分布；2） 两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最大值； 5）两根长导线单位长度的最大值； 解： 思考模式： “方程+边界” Ñ 2j=0 j(r=3)- j(r=5)=1000 U=1000v a1 a2 d
例5-2:求空间线密度分别为τ-τ的两根长直线电荷分布在空间所产 生的电位分布和电场分布 解:分析:什么是平行平面场?是二维场,如图实质上,在z方向上, 相同(x、y)坐标处电场和电位完全一样 P(x, 3,) (-b0) (b,0) E T 2丌E0r T E 2 1 E 2 2丌E0r2 E·dl C In P 2E0 1 以原点为“零”电位点 原点E,d7 T80 (x+b)+ 2 (5.2) TE b)2+ 空间等位线轨道方程为: k
· -t · t · X r2 r1 P(x,y,z) （-b,0） （b,0） 例 5-2：求空间线密度分别为t、-t的两根长直线电荷分布在空间所产 生的电位分布和电场分布 解：分析：什么是平行平面场？是二维场，如图实质上，在 z 方向上， 相同（x、y）坐标处电场和电位完全一样 ) ˆ ˆ ( 2 ˆ 2 ˆ 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 0 r r r r E r r E r r E Þ + - = = = pe t pe t pe t t t 1 2 ln 2 0 r r E d l c Q P pe t j = = + ò · 以原点为“零”电位点 （5.2） 空间等位线轨道方程为： 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ln 2 ln 2 0 0 ú û ù ê ë é - + + + = = = ò · x b y x b y r r E d l P pe t pe t j 原点 k r r = 1 2
(x+b)2+y2 k b (5.3) K2+1 2 K b K K (5.3)表明空间等电位点所组 成的轨迹是圆轨导,当轨道上点 到两轴点比值为K时,该轨道令圆轨道 对应的圆心坐标值,圆半径分‖半径为a 令轨道圆心别为箭头所指项 坐标为h h tb X. (b,0) 图54等效电轴
2 2 2 h = a + b 令圆轨道 半径为 a 2 ( ) ( ) 1 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 b K K b y K K x k x b y x b y r r - + = - + - = - + + + = 令 轨 道圆心 坐标为 h （5.3）表明空间等电位点所组 成的轨迹是圆轨导，当轨道上点 到两轴点比值为 K 时，该轨道 对应的圆心坐标值， 圆半径分 别为箭头所指项 （5.3） · -t t · X r2 r1 P(x,y,z) (-b,0) (b,0) · 图 5.4 等效电轴 · · · · · ·
例5-3:空气中平行地放置两根长导线,半径分别为a2=10cm、ar=6cm, 两轴线间距为20cm。若导线间加压为1000伏,求:1)空间电位分布; 2)两导线间单位长度的电容;3)空间电场分布;4)导线面密度最 大值;5)两根长导线单位长度的相互作用力; 解: 2 U=1000v 解:1)求解电轴电位分布的关键在于定电轴 h2+h1=20 h21=a21+b2 3.2+20 a 2-a 21_|h2 116 h2-h1 h2=a+6 h2+h1 h2=8:4 →b=V842-62≈588 电位分布:以r1、r2表示空间任意点到小、大导体柱等效电轴的距离, 则该点电位为 ln (x+588)2+y n 2nE0(x-5.88)2+y2 设空间任意点距大柱中心距离为r2,小柱中心距离为r1,以轴心点为 零电位参考点,则该两导体柱电位差为
2 1 2 2 2 2 1 2 ( 5 .88 ) ( 5 .88 ) ln 2 ln 2 0 0 ú û ù ê ë é - + + + = = x y x y r r pe t pe t j 例 5-3：空气中平行地放置两根长导线，半径分别为 a2=10cm、a1=6cm， 两轴线间距为 20cm。若导线间加压为 1000 伏，求：1）空间电位分布； 2）两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最 大值；5）两根长导线单位长度的相互作用力； 解： 解：1）求解电轴电位分布的关键在于定电轴 8.4 6 5.88 8.4 11.6 2 3.2 20 20 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 Þ = - » ç ç ç è æ = = + = Þ + - Þ - = ç ç è æ = + = + + = b h h h h a a h h h a b h a b h h 电位分布：以 r1、r2表示空间任意点到小、大导体柱等效电轴的距离， 则该点电位为 设空间任意点距大柱中心距离为 r2，小柱中心距离为 r1，以轴心点为 零电位参考点，则该两导体柱电位差为 U=1000v a1 a2 d b b
T (h1-a1)-(-b) (h2-a2)-(-b 2 b-(h1-a1) b-[-(h2-a2 1000 2 h,t b 6+ 2 +b-hb+h2-a2∫ 2)、单位长度电容为 2: 80 U1000 h, tb-a b+av a tb-h, bth 3)、电场分布为 E 1000 2兀E h,-a+ b b-h,+ 4)、电荷密度最大值一定位于小柱的内侧 =D,=E。E·n max h1 2丌 h1 2兀b-h1+ah1-a+b
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 max 0 x h a n x h a i r r r r D E n = - = - = - × - = = × p t s e þ ý ü î í ì + - + - + - + - Þ = · 2 2 2 2 1 1 1 1 ln 1000 2 0 b h a b a h a b h pe h b a t þ ý ü î í ì + - + - + - + - = = = · 2 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 1000 0 b h a b a h a b h U h b a C t t pe 2)、单位长度电容为 3)、电场分布为 ( ) ln 1000 ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 r r r r b h a r h a b r r r E - - + - + = - = pe t 4)、电荷密度最大值一定位于小柱的内侧 ) 1 1 ( 2 1 1 b h a h -a +b + - + = p t þ ý ü î í ì - - - - - - - - - - - - - + - - = = [ ( )] ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ln 2 1000 2 2 2 2 1 1 1 1 0 b h a h a b b h a h a b pe t j j
5)、两根长导线单位长度的相互作用力 1000 F=qE=1·τ 2丌E2b In 内+b-a,b+a2-h2b a,+6-h, b+h ,-a
5)、两根长导线单位长度的相互作用力 b b h a b a h a b h b h b a F qE 2 0 2 2 2 2 1 1 0 1 1 ] ln 1000 [ 2 1 2 1 pe pe t t þ ý ü î í ì + - + - + - + - = = × × × = ·