第二讲:向量分析与场论(I 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式:若某一标量场的函数关系已经确定,为V=Tx2y,z), 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度?(假设该点坐标为P(x,y,z)) 在P(x,y,z)点附近任意点P(xy,)的标量场为v(xy,z),则两点标量场值差 可由泰勒展开为: △′=(x2y32)-(x,y,z) oV(xv2 av(x,y, 2) (y-y) av(x, y, ay a △=K(x,y,=)-(x,y,z) av(x,y,2 av(x, y, △v+ W(x,y2)△ a(x,y,-):,O(xy,z),O|(x,y) k)·(△x+y+△k) av(x,y, 2),=ov(x,y, 2),ov(x,y, 2) 为简明起见,令△x=x-x、△y=y-y、△z=z-z则上式又可以写为 这里,M=△xi+△yj+△zk为P(x,y,z)与P(x,y,z两点之间的位移,定义 个向量算子“V V (2.2 以算子‘V对标量场Ⅴ(x,y,a)的作用结果为一向量,该向量也是空间的函数
第二讲：向量分析与场论（II） 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为 V=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为 P(x, y,z)） 在 P(x, y,z)点附近任意点 P(x’,y’,z’)的标量场为 V(x’,y’,z’)，则两点标量场值差 可由泰勒展开为： ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z z V x y z y y y V x y z x x x V x y z V V x y z V x y z ¢- ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) l z V x y z k y V x y z j x V x y z i k xi yj zk z V x y z j y V x y z i x V x y z z z V x y z y y V x y z x x V x y z V V x y z V x y z × D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = × D +D +D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = D ¶ ¶ D + ¶ ¶ D + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - (2.1) 为简明起见，令Dx = x’- x 、Dy = y’- y、Dz= z’- z 则上式又可以写为 这里，Dl = Dx i +Dy j +Dz k 为 P(x’, y’ , z’)与 P(x, y, z)两点之间的位移，定义一 个向量算子‘Ñ ’ z k y j x i ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ= (2.2) 以算子‘Ñ’对标量场 V(x, y, z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数
V(x,y2-) aV(x v2) av(x,y j- a(x,y,-) ax 对于空间给定的点来说,只要标量函数关系确定,那么该向量是确定的。标量 场V(x,y,z在两点P(x,y,z)与P(x,y,z)之间的变化量为 △V=VV(xy,z)·△ 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以(2.3)所表示的向量与空 间这两点之间位移M的点积 以△l、7分别表示微量位移向量△的大小和单位向量,将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 △(x,y,z) v(x,y, =)/ △l (2.5) 上式表示空间标量场Vxyz沿某一方向对空间距离的变化率等于向量V V(x2y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题: 问题:由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大? 为回答上述问题,我们考察(25)式,只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量vv(xy)致时,两个向量的夹角为0,变化率达到最大值,可见 VV(,y,z)就是我们上述所定义的标量场v(x,z)在P(x,y,)处的梯度。 函数场梯度的定义:在标量场中,空间某点P(xyz)处的梯度为算子〈V’对 标量场作用的结果,即式(22)即为梯度向量的定义式
1 k z V x y z j y V x y z i x V x y z V x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) (2.3) 对于空间给定的点来说，只要标量函数关系确定，那么该向量是确定的。标量 场 V(x, y, z)在两点 P(x’, y’, z’)与 P(x, y, z)之间的变化量为 l DV = ÑV(x,y, z)×D (2.4) 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以（2.3）所表示的向量与空 间这两点之间位移Dl 的点积。 以 l l D 、 分别表示微量位移向量 l D 的大小和单位向量，将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 V x y z l l V x y z =Ñ × D D ( , , ) ( , , ) （2.5） 上式表示空间标量场 V(x,y,z)沿某一方向对空间距离的变化率等于向量Ñ V(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题： 问题：由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大？ 为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量Ñ V(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为 0，变化率达到最大值，可见 ÑV(x,y,z) 就是我们上述所定义的标量场 V(x,y,z)在 P(x,y,z)处的梯度。 函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点 P(x,y,z)处的梯度为算子‘Ñ ’对 标量场作用的结果，即式（2.2）即为梯度向量的定义式
例21、已知点电荷q在空间所产生的电场在q为r处电位大小为:%)=n, 求:1)以q所在的位置为坐标原点建立直角坐标系,表达出电位场的空间函 数关系,进一步计算出空间任意点的电位场梯度;2)若q所在的位置不是坐 标原点,q在空间的直角坐标为P(xyz),重复1)的步骤。 解:1)由于q处于坐标原点,空间任意一点P(x2yz)到q点的距离即为该点的 矢径大小r=x2+y2+z,电位为Q2√x2+y2+ 0;0q O三 电位的梯度表达为 a ay a476 x2+22+2 +y+ 4 tEO 4 y+2 2)由于q处于点P(xyz),空间任意一点P(xy,z)到q点的距离大小为 y=(x-x2+0y-y2+(a-22 Vo=(i+j+k) (-xy2(y-y2+(=-x1)2(2.6) q(x-x)+0y-y+(2-2从 gr-r 0[(x-xy2+(y-y2+(2-)22 P(x',y,z”) P(x,, z) P(x,, z) 图2-1电荷处于坐标原点 电荷处于空间(x"y,z)
2 例 2-1、已知点电荷 q在空间所产生的电场在 q为 r处电位大小为: r q 1 4 (r) pe0 j = ， 求：1）以 q 所在的位置为坐标原点建立直角坐标系，表达出电位场的空间函 数关系，进一步计算出空间任意点的电位场梯度；2）若 q 所在的位置不是坐 标原点，q 在空间的直角坐标为 P(x¢,y¢,z¢), 重复 1）的步骤。 解：1）由于 q 处于坐标原点，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离即为该点的 矢径大小 2 2 2 r = x +y +z ,电位为 电位的梯度表达为 2）由于 q 处于点 P¢ (x¢,y¢,z¢)，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离大小为 2 2 2 r = (x- x ¢) +(y- y ¢) +(z-z ¢) （2.6） 2 2 2 0 1 4πε x y z q + + j = r πε r q r r πε q (x y z ) xi yj zk πε q πε x y z q k) z j y i x ( 2 0 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 1 4 4 4 1 4 =- = - + + + + =- ¶ + + ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñj = 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 4 - - - - - - 4 - - - 1 4 ( r r r r πε q [(x x) (y y) (z z) ] (x x)i (y y)j (z z)k πε q πε (x x) (y y) (z z) q k) z j y i x - ¢ - ¢ =- ¢ + ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ =- ¶ ¢ + ¢ + ¢ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = j q P(x’,y’,z’) r¢ r r- r¢ r P(x,y,z) • • q P(x,y,z) 图 2-1 电荷处于坐标原点 电荷处于空间（x¢,y¢,z¢）
评注:1)什么是等位面方程?曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对 于标量场=(x,y;),把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位 面,假设等位面值为0,则有等位面方程: P (x,y, z) 在例2-1中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状 2)从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系? 标量场φ(x,y,x)分布看做是q=C.C2、m一族等位面构成,那么E的方向就 代表着电位面下降最快的方向。推导过程如下: 在等位面上,任取一点P(x,y,),在其附近任取一点做微量位移为M,由于P 点与其附近的这一点同在一个等位面上,标量场数值相同,差值为零,由(24) =V(x,y,-)△=0 由于是在等位面任取的任意有向线段,故上式说明电位场的梯度垂直于电位等 位面,由于负号的关系,电场强度是指向电位下降最快的方向 3):标量场对空间某方向上的空间距离变化率,在一些教科书上通常写为更为 简明的形式,例如,电位场沿某一方向n的变化率通常表述为:aq/an,对 (25)式标量场的变化关系 0pLim△q q·n E n△l->0△l n(2.7a) 上式中En表示电场强度沿n方向的分量 对比(24)式,空间附近两点(例如P点和P点附近点)之间的电位差与这 两点之间的微小位移以及点电场强度之间具有以下关系 Vo.7=-E.1→△=-E·△ (2.7b) E·dl
3 评注：1）什么是等位面方程？曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对 于标量场j =j (x,y,z)，把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位 面，假设等位面值为 C1，则有等位面方程： 1 j(x,y,z) = C 在例 2-1 中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状。 2）从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系？ 标量场j (x,y,x)分布看做是j = C1、C2 、……一族等位面构成，那么 E 的方向就 代表着电位面下降最快的方向。推导过程如下： 在等位面上，任取一点 P(x,y,z)，在其附近任取一点做微量位移为Dl，由于 P 点与其附近的这一点同在一个等位面上，标量场数值相同，差值为零，由（2.4） D = Ñ (x,y,z)×Dl = 0 j j 由于是在等位面任取的任意有向线段，故上式说明电位场的梯度垂直于电位等 位面，由于负号的关系，电场强度是指向电位下降最快的方向。 3）：标量场对空间某方向上的空间距离变化率，在一些教科书上通常写为更为 简明的形式，例如，电位场沿某一方向 n 0的变化率,通常表述为：¶ j ¤ ¶n ,对 （2.5）式标量场的变化关系 n E n n l L i m n l E 0 = Ñ × = - × = D D = ¶ ¶ D ® j j j (2.7a) 上式中 E n 表示电场强度沿 n 方向的分量 对比（2.4）式，空间附近两点（例如 P 点和 P 点附近点）之间的电位差与这 两点之间的微小位移以及点电场强度之间具有以下关系 d E dl l E l E l l Þ = - × = Ñ × = - × Þ D = - ×D D D j j j j (2.7b)
例22、求:柱坐标下的梯度算子的表达式,在此基础上,在已知例21中的 标量电位场梯度。 Z轴 解:直角坐标系下的梯度算子为 P(x,y, 2) 如图所示,直角坐标与柱坐标的换算 关系为: Y轴 x= rcos e y=rsin e X轴 图2.2柱坐标系统 个标量场是空间点的函数,这意味着它既可以写成V=V(x,y,z)也可以写成 V=V(r,,z),在这里有 (x,y)=√x 2 0=8(x, y)=arcto y 2 利用高等数学中关于隐函数的知识,梯度算子对标量函数的作用可以写成 iV(r,日,z)= aV(r, 0, z)Or av(r, 0,2)00 00 jV(r,日,z)=j av(r, 0, z)Or ov(r, 0, 3)00 00a 利用上述(r,O)与(x,y)的关系,求出(r,0)对(x,y)的偏导:
4 例 2-2、求：柱坐标下的梯度算子的表达式，在此基础上，在已知例 2-1 中的 标量电位场梯度。 解：直角坐标系下的梯度算子为 z k y j x i ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ= 如图所示，直角坐标与柱坐标的换算 关系为： 一个标量场是空间点的函数，这意味着它既可以写成 V=V(x,y,z)也可以写成 V= V(r,θ,z)，在这里有 利用高等数学中关于隐函数的知识，梯度算子对标量函数的作用可以写成 ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ y V r z y r r V r z V r z j y j x V r z x r r V r z V r z i x i ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ q q q q q q q q q q 利用上述(r,θ)与(x, y)的关系， 求出(r,θ)对(x, y)的偏导： ï î ï í ì = = = z z y r x r q q sin cos ï ï î ï ï í ì = = = = = + z z x y x y arctg r r x y x y ( , ) ( , ) 2 2 q q · y q z r x X 轴 Y 轴 Z 轴 P(x,y,z) 图 2.2 柱坐标系统
=cos 0 cOS iV(r,6,=)=i b(r,,=)x(V;6,=)。2oy x 06 jV(V日,=)= o(r,已,z)y,oV(r,,=) 80 cos- 将x、y以柱坐标r、表示 av(r, 0,z xi +y av(r, 0, 2)/-yi+x cOS 0)1 av(r, 0, z) (cosO +sine)+ av(r, 0,2-sinOi +cos ej 再利用第一讲(1.7)(1.8b)关于径向、角向与直角x、y单位向量的关系, 最后得出 (r,6,z)。,1o(r,0,z)a,O|(rO,x k(2.8) r a0
5 ] 1 cos ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ cos ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ 2 2 2 x V r z r y r V r z V r z j y j x V r z y r x r V r z V r z i x i q q q q q q q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ 将 x、y 以柱坐标 r、θ表示 ) sin cos ( ( , , ) (cos sin ) ( , , ) ( cos )] ( , , ) ( ) ( , , ) 2 2 r V r z i j i j r V r z x V r z yi xj r xi yj r V r z V q q q q q q q q q q q - + ¶ ¶ + + ¶ ¶ = - + ¶ ¶ + + ¶ ¶ Ñ = 再利用第一讲（1.7）、（1.8b）关于径向、角向与直角 x、y 单位向量的关系， 最后得出 （2.8） x y x y x 1 cos ( ) , cos2 2 2 = × ¶ ¶ = × - ¶ ¶ q q q q r y y r r x x r = ¶ ¶ = ¶ ¶ , k z V r z V r z r r r V r z V ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = ( , , ) 1 ( , , ) ( ,q, ) q q q q
五、向量场的散度 1、通量概念的引入:如图2.3所 盆口面积 示假设水流由上而下处处匀速(速 为S 度大小为v)流入下面一个矩形盆, 盆口面积为S,则,在t时间内流 入盆内的水量为 VSt 图2.3、通量演示示意图图 单位时间里流入盆内的水量,这里我们称之为水通量为: 这里的水 若盆口面斜放与水流方向夹角为 在盆外 如图2.4所示,在这种情况下 单位时间盆所接的水比平放(夹角为 时少,因为盆口的进水量只与 盆口的平面投影有关,夹角0越小 进水量越大,夹角为零时,进水量 n 最大;夹角θ越大,进水量越小,当图24、通量演示示意图图 夹角为直角时,即盆口与水流方向垂 直时,那就一滴水也接不着。由于盆口面积S的单位时投影面积为S1=Scos, 单位时间所流出的水的通量为 ￠ vS coS Oi =EScos=y s (2.9)
6 n V 图 2.3、通量演示示意图图 盆口面积 为 S 五、向量场的散度 1、通量概念的引入：如图 2.3 所 示假设水流由上而下处处匀速（速 度大小为 v）流入下面一个矩形盆， 盆口面积为 S，则，在 t 时间内流 入盆内的水量为 VSt 单位时间里流入盆内的水量， 这里我们称之为水通量为： VS t VSt Φ = = 若盆口面斜放与水流方向夹角为q 如图 2.4 所示，在这种情况下， 单位时间盆所接的水比平放 时少，因为盆口的进水量只与 盆口的平面投影有关，夹角q越小， 进水量越大，夹角为零时，进水量 最大；夹角q越大，进水量越小，当 夹角为直角时，即盆口与水流方向垂 直时，那就一滴水也接不着。由于盆口面积 S 的单位时投影面积为:S1=Scosq, 单位时间所流出的水的通量为 VS V S t VS t Φ = = q = × q cos cos （2.9） n V 图 2.4、通量演示示意图图 这里的水 在盆外 夹角为q n
上式中面元的方向为盆面的法向n,如图2.4所示。 2、通量的定义:对于一个向量场I(x2y,z),通过空间某一曲面的通量为向量场 对该曲面的面积分 d=[(xy2=)=「小+ V dzdx+ldoy(n) 上式中,表示在曲面P(x,y,z)处的微分面元, 若曲面闭合,上式又称为闭合曲面的通量,表示为 =手(xy,S(2.10b)图25曲面通量的计算 3、散度以及高斯通量定律 ①散度概念的引入:在上式中,对于闭合曲面而言,曲面的法向一般是 指向闭合曲面的外部。闭合通量的理解:这里我们仍以水流场做形象说明(以 下同),取空间任意一个闭合曲面,通过积分可得通量,对于通量有三种情况 如图2.6所示,对于图2.6(a),Φ>0,说明此闭合曲面里面有‘水源’,谓 此处有水源 区域内无水 源 此处有水穴 图2.6(a) 图2.6(b) 图2.6(c) 之为“泉’;对于图2.6,Φ=0,说明此闭合曲面里面无‘水源’,左边流进, 右边流出,流进的通量与流出的通量大小相同,方向相反(一负一正),相互
7 上式中面元的方向为盆面的法向 n，如图 2.4 所示。 2、通量的定义：对于一个向量场 V(x,y,z)，通过空间某一曲面的通量为向量场 对该曲面的面积分 ò ò F = × = + + s S V x y z dS Vxdydz Vydzdx Vzdxdy ( , , ) （2.10a） 上式中，dS 表示在曲面 P(x,y,z)处的微分面元， 若曲面闭合，上式又称为闭合曲面的通量，表示为 ò F = × S V x y z dS ( , , ) （2.10b） 3、散度以及高斯通量定律 ①、散度概念的引入：在上式中，对于闭合曲面而言，曲面的法向一般是 指向闭合曲面的外部。闭合通量的理解：这里我们仍以水流场做形象说明(以 下同)，取空间任意一个闭合曲面，通过积分可得通量，对于通量有三种情况 如图 2.6 所示，对于图 2.6（a），F >0，说明此闭合曲面里面有‘水源’，谓 之为‘泉’ ；对于图 2.6，F =0，说明此闭合曲面里面无‘水源’，左边流进， 右边流出，流进的通量与流出的通量大小相同，方向相反（一负一正），相互 此处有水源 区 域 内 无 水 源 此处有水穴 图 2.6（a） 图 2.6（b） 图 2.6（c） n V 图 2.5 曲面通量的计算
抵消,故总量为零,谓之为‘恒定水流场’;对于图2.6(c),Φ<0,说明 此闭合曲面里面有“水穴’,因为水只流进,不流出。 ②、向量场的散度:通过求闭合曲面内的通量可以定量描述该闭合区域内的水 流情况,但这种刻画,我们还不能够确定出区域内哪一点是水源、哪一点是水 穴,并且确定出水源或水穴流水的强度。 要精确描述出区域内的一点是否有水源和流水的强度,那就在包围这一点做一 个小的闭合曲面,假设闭合曲面所包围的体积为△v,定义一个宏观量称为散 度,它为通过这个小的闭合曲面流出的水通量与闭合曲面所包围的体积之比, 「V(x,y,z)dS divl(x,y, =)=Li △→0 △ (2.11) 由上式可见,散度是一个标量,它的含义在于:空间某点上的向量场(x,y,z) 的散度数值上等于在这一点单位体积通过闭合曲面的通量;例如上面以水流速 场所举的事例中,某点的散度等于这点单位时间、单位体积所流出的水量。通 过求得空间任意一点的水流场散度,人们就能够把握空间任意点水流情况。 ③、散度的计算公式:以上给出了散度的定义及其物理意义,那么实际给出了 一个向量场,如何确定其散度?理论分析表明向量场F(x2y,z)的散度为 div F(x,v, 3)=V F(x,y, s i+j+k). F i+Fj+Fk) az (2.12) aFaFaF ax a 证明如下:考察向量场中某点P(x0,y0z)的散度,根据定义
8 抵消，故总量为零，谓之为‘恒定水流场’ ；对于图 2.6（c ），F <0，说明 此闭合曲面里面有‘水穴’，因为水只流进，不流出。 ②、向量场的散度：通过求闭合曲面内的通量可以定量描述该闭合区域内的水 流情况，但这种刻画，我们还不能够确定出区域内哪一点是水源、哪一点是水 穴，并且确定出水源或水穴流水的强度。 要精确描述出区域内的一点是否有水源和流水的强度，那就在包围这一点做一 个小的闭合曲面，假设闭合曲面所包围的体积为Δv，定义一个宏观量称为散 度，它为通过这个小的闭合曲面流出的水通量与闭合曲面所包围的体积之比， v s V x y z ds v divV x y z Lim D ò D = · ® ( , , ) 0 ( , , ) （2.11） 由上式可见，散度是一个标量，它的含义在于：空间某点上的向量场 V(x,y,z) 的散度数值上等于在这一点单位体积通过闭合曲面的通量；例如上面以水流速 场所举的事例中，某点的散度等于这点单位时间、单位体积所流出的水量。通 过求得空间任意一点的水流场散度，人们就能够把握空间任意点水流情况。 ③、散度的计算公式：以上给出了散度的定义及其物理意义，那么实际给出了 一个向量场，如何确定其散度？理论分析表明向量场 F(x,y,z)的散度为 z F y F x F k F i F j F k z j y i x divF(x,y,z) F(x,y,z) x y z x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = × + + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = = Ñ × ( ) ( ) （2.12） 证明如下：考察向量场中某点 P(x0,y0,z0)的散度，根据定义
以P(x0yo)点为中心做一个 很小的平行六面体,参见图 27,其体积△V=△x△y△z,根 △x/P( Xo, yo. zo) 据泰勒级数展开 △y △x 图27散度定律推证示意图 F2(x0+,y0,=0)≈F2(xy0,=0)+Axax0 x 20x △x △xaF yo,=0)≈F 05y0:-0 ax △yaF )≈F,(xo,yo,=0)+ 20 OF Xo. l Ay,)≈F,( (x0,y0,0) 2 △z △z0F F:(x0,y0,=0+)≈F2(x0,y0,20)+ 20z x0,y0,=0 △zOF 05y0-0 △、≈F 2 az 式中,已经把△x、△y以及△z的高次幂略去。由于面元△y△z垂直于x轴, △z△x垂直于y轴,△x△y垂直于轴,故通过平行六面体
9 △x △y △z Y X Z · P(x0,y0,z0) 图 2.7 散度定律推证示意图 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 , ) ( , , ) 2 ( , x y z y y y y y F z F x y z y F x y ¶ D ¶ » + D + 以 P(x0,y0,z0)点为中心做一个 很小的平行六面体，参见图 2.7，其体积△V=△x△y△z,根 据泰勒级数展开 式中，已经把△x、△y 以及△z 的高次幂略去。由于面元△y△z 垂直于 x 轴， △z△x 垂直于 y 轴，△x△y 垂直于轴，故通过平行六面体 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 , , ) ( , , ) 2 ( x y z x x x x x F y z F x y z x F x ¶ D ¶ » + D + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 , , ) ( , , ) 2 ( x y z x x x x x F y z F x y z x F x ¶ D ¶ » - D - 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 , ) ( , , ) 2 ( , x y z y y y y y F z F x y z y F x y ¶ D ¶ » - D - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 ) ( , , ) 2 ( , , x y z z z z z z F F x y z z F x y z ¶ D ¶ » + D + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 ) ( , , ) 2 ( , , x y z z z z z z F F x y z z F x y z ¶ D ¶ » - D -