第一讲:向量分析与场怆() 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。 物理量的分类 1、标量:只有大小,没有方向的物理量。例如温度、能量等 1、物理量 2、向量:有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。 3、张量:有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力 2、什么是场?:具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如 考虑某一空间的温度时,若空间任意点温度T和该点坐标p(x,y,z)具有函数 关系:T=T(x,y,z),这就构成了一种标量场,这个标量场为温度场;若在 某一空间存在流水,当考虑空间处处的流速时,若空间任意点流速V和该点坐 标P(x,y,z)具有函数关系: V=V(x,y, z=V(x,y,z)i+V,(x,y, z)j+V,(x,y, zk 其中Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及Vz(x,y,z)分别为向量V(x,y,z)在x轴、y 轴以及z轴的分量,i、j以及k分别为x轴、y轴以及z轴三个方向的单 位向量(通常又称为方向向量),流速V构成了一种向量场(或称为场向量), 这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场,张量场不做讨论;本概要的出发点是为后续《电磁 场》课程教学服务,侧重阐述基本概念和基本规律,故不追求数学上的严格性
1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等 2、向量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。 3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力 第一讲：向量分析与场论（I） 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。 一、 物理量的分类 1、物理量 2、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如： 考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度 T 和该点坐标 p(x,y,z)具有函数 关系：T=T( x, y, z )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在 某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速 V 和该点坐 标 P(x,y,z)具有函数关系： V V i j k (x, y, z) V (x, y, z) V (x, y, z) V (x, y, z) = = x + y + z 其中 Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及 Vz(x,y,z)分别为向量 V(x,y,z)在 x 轴、y 轴以及 z 轴的分量， i 、 j 以及 k 分别为 x 轴、y 轴以及 z 轴三个方向的单 位向量（通常又称为方向向量）,流速 V 构成了一种向量场（或称为场向量）， 这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁 场》课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性
几个有用的场向量、向量“+”与“-”运算 1、位移向量:确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描 述。该位移向量的模为线段的长度,位移向量的方向由原点指向该点,从原点 到空间该点的位移向量又称为该点的矢径,如图一所示。矢径和它的模分别表 示为 r=xi +yi+zk (1.1) =r=√x2+y2+z2(1.2) 对于向量的叠加,满足平行四边形法则 如图2所示 r=XI+yj+z,k r2=x,i+y2j+z,k F=+=(x1+x2)+(y1+y2)+(Z1+z2)(1.3) 对二向量的叠加,在图象上还可以形象地看成三角法则。如图3所示,可 先画出处第一个向量,以这个向量的末点做为第二个向量的起点,画出第二个 向量,则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向 量r与r2的叠加结果
二、几个有用的场向量、向量“+”与“-”运算 1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描 述。该位移向量的模为线段的长度，位移向量的方向由原点指向该点，从原点 到空间该点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。矢径和它的模分别表 示为： r i j k = x + y + z （1.1） 2 2 2 r = r = x + y + z （1.2） 对于向量的叠加，满足平行四边形法则 如图 2 所示 r i j k 1 1 1 1 = x + y + z r i j k 2 2 2 2 = x + y + z r r r i j k (x x ) (y y ) (z z ) = 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 （1.3） 对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图 3 所示，可 先画出处第一个向量，以这个向量的末点做为第二个向量的起点，画出第二个 向量，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向 量 r1与 r2的叠加结果。 X Y x y r O z Z Z 轴 图 1、矢径的图形表示 r1 r2 Y 轴 x y r O z X 轴 图 2、向量叠加的平行四边形法则
问题:判断下述对不对?二个向量进行叠加,合成所得合向量的模一定大 于这两个向量模中的任意一个模 同理,向量‘-’运算为“+’运算的逆运算,例如空间两个点P1(x,y1,z) 与P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点1到点2所引的一条有向线段,大小与 方向如图4所示,定量计算该两点之间的位移向量时,由三角形法则,可以确 定为两矢径r2与r1之差 2=12-=(X2-X1+(y2-y1)j+(z2-21)k(1.4) 2=V(x2-x)2+(y2y1)2+(z2-2z)
问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大 于这两个向量模中的任意一个模。 同理，向量 ‘-’运算为‘+’运算的逆运算，例如空间两个点 P1(x1,y1,z1) 与 P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点 1 到点 2 所引的一条有向线段，大小与 方向如图 4 所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确 定为两矢径 r2 与 r1之差 r r r i j k (x x ) (y y ) (z z ) 12 = 2 - 1 = 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 （1.4） 2 2 1 2 2 1 2 12 2 1 r = (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) X r1 r12 Y x y r2 O z Z 图 4、向量”-”的三角形表示 该向量为 r2与 r1之差，也即 r1加上该向量等于 r2 X r1 r2 Y x y r O z Z 图 3、向量”+”的三角形表示 r1与 r2之合，记为 r
例1-1、空间x轴上取任意两点P与P2,其 距离为d,由这两点向空间任意点p点引出两 个位移向量分别为n与r,求n与r的向量 差 解法1:根据三角形合成法则,由图5容易看 出,P1到P2所引向量为di,P2到P点所引向量 r2,P1到P点所引向量r,根据以上所述, +di 7i-12 解法2:设空间任意点p点坐标为(x、y、z)、P1点、P2点坐标坐标为分别为 (x1、0、0)、(x2、0、0),由题设条件则有 由(1.4)式:斤=(x-x1)+(y-0)j+(二-0)k 2=(x-x2)i+(y-0)j+(z-0)k (x-x1)-(x-x2)+(y-y)+(=-2)k (x,xi=di
例 1-1、空间 x 轴上取任意两点 P1与 P2，其 距离为 d，由这两点向空间任意点 p 点引出两 个位移向量分别为 r1与 r2，求 r1与 r2的向量 差。 解法 1：根据三角形合成法则，由图 5 容易看 出，P1到 P2所引向量为 di,P2到 P 点所引向量 r2 , P1到 P 点所引向量 r1 ，根据以上所述， => r r di 1 = 2 + r r di 1 - 2 = 解法 2：设空间任意点 p 点坐标为（x、y、z）、P1点、P2点坐标坐标为分别为 （x1、0、0）、（x2、0、0），由题设条件则有 x2 - x1=d 由（1.4）式： r x x i y j z k ( ) ( 0) ( 0) 1 = - 1 + - + - r x x i y j z k ( ) ( 0) ( 0) 2 = - 2 + - + - => P1 X-axis P P2 · r1 r2 · · 该常向量为 r1与 r2之差 图 5、向量差实例 x x i di r r x x x x i y y j z z k = - = = - - - + - + - ( ) - [( ) ( )] ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2
2、单位向量:空间任一向量与该向量的模之比,称为该向量的单位向量。 单位向量的含义在于:单位向量的模为1,方向与该向量的指向一致。例如: 位移向量的单位向量为: rr xi +yj+zk (x2+y2+2) 由单位向量的概念,矢径向量又可表示为: 上述的i、j、k就是沿X、Y、Z轴的单位向量。 根据单位向量的定义,任意向量都可以写成它的单位向量与该向量模的积 F(x,y,=)=F(x,y,z)F(x,y,z)(1.5) 问题:单位向量是否为常向量?
2、 单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。 单位向量的含义在于：单位向量的模为 1，方向与该向量的指向一致。例如： 位移向量的单位向量为： 由单位向量的概念，矢径向量又可表示为： 上述的 i、j、k 就是沿 X、Y、Z 轴的单位向量。 根据单位向量的定义，任意向量都可以写成它的单位向量与该向量模的积 (1.5) 问题：单位向量是否为常向量？ 2 1 2 2 2 (x y z ) xi yj zk r r r r r + + + + = = = r rr = F(x, y,z) F(x, y,z)F(x, y,z) =
例题1-2:空间一点P(1,2,3),由该点到y轴引垂线,求1)垂足到P点 的位移;2)该位移的方向向量。 解:分析本题的解题关键在于找出垂足点的坐标。既然是点P(1,2,3)到Y 轴做垂线,该位移一定垂直于Y轴,也就意味着位移处于过垂足点且平行于 Ⅹ-Z平面的平面上,如此,根据坐标的定义,可以判定,垂足点的y坐标值 定与P点的y值相等,由于在Y轴上,垂足点的x、z坐标值均为0,设垂足 点为P1,则P点的坐标为P1(0,2,0)。关于位移的图形表示如图6所示 Fp=P一=(1-0)+(2-2)j+(3-0) 该位移向量的单位向量为 2(1-0)i+(2-2)+(3-0)k F-√1-0)2+(2-2)2+(3-0)2√0√0 问题?对X、Z轴作垂线的向量又如何表示?
例题 1-2：空间一点 P（1，2，3），由该点到 y 轴引垂线，求 1）垂足到 P 点 的位移；2）该位移的方向向量。 解：分析本题的解题关键在于找出垂足点的坐标。既然是点 P（1，2，3）到 Y 轴做垂线，该位移一定垂直于 Y 轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于 X-Z 平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的 y 坐标值一 定与 P 点的 y 值相等，由于在 Y 轴上，垂足点的 x、z 坐标值均为 0，设垂足 点为 P1，则 P1点的坐标为 P1（0，2，0）。关于位移的图形表示如图 6 所示 Þ 该位移向量的单位向量为 10 3 (1 0) (2 2) (3 0) 10 (1 0) (2 2) (3 0) 2 2 2 P P P P P P 1 1 1 i j k i k r r r r r = + - + - + - - + - + - = - - = 问题？对 X、Z 轴作垂线的向量又如何表示？ 此点为 P 点，坐标 P（1，2，3） Y 轴 1 2 O 3 X 轴 Z 轴 图 6、位移向量的图形表示 此点为垂足，坐标 P1（0，2，0） r r r i j k (1 0) (2 2) (3 0) P1P P P1 = - = - + - + -
3、线元向量:在空间任意一路径的某一点上,任取一长度微元,线元的大 小为微元长度,方向为路径在这点的切向方向,用d表示,如图7所示。 假设起点坐标、末点坐标分别为(x,y,z)、(x+dx,y+dy,z+dz),则该线元坐 向量可以表示为 dl= dx i+ dyj+ dz k (1.6) 其中dx、dy以及d分别表示线元dl末点与线元起点的坐标差。 对于一个积分路径,可以看成由无数线元构成,如图8所示
3、 线元向量：在空间任意一路径的某一点上，任取一长度微元，线元的大 小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用 dl 表示，如图 7 所示。 假设起点坐标、末点坐标分别为（x,y,z）、（x+dx,y+dy,z+dz），则该线元坐 向量可以表示为 （1.6） 其中 dx、dy 以及 dz 分别表示线元 dl 末点与线元起点的坐标差。 对于一个积分路径，可以看成由无数线元构成，如图 8 所示 dl P2 P1 图 7、线元的图示 线元 dl 起点 线元 dl 末点 P2 P1 图 8、路径的线元构成 路径起点 路径末点 d l dx i dy j dz k = + +
例1-3、如图9,试表示出在半径为R的圆轨道上任意一点处的线元 解分析,在实际问题的计算时,对线元的表示应根据实际问题采取有利于计 算的表达方式,在本例,我们采用2种表达方法,1)直角坐标下的表达; 2)极坐标下的表达 第一种方法:在X-Y平面,dz=0由定义有 Y轴 dl=dxi +dyj 上式中dx和dy分别表示在圆上任意一点,其 所对应的弧角为0+d6处以及弧角为0处 ~o X轴 两点的x坐标差和y坐标差。 由于在圆上,圆路径可用以弧度角参数方程表图9、线元示意图 x=Rosa dx=-Rsinada y=Sina dy= rosada d= Rda(-sina i +cosa)(1.7) 第二种方法:对于一些计算,为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向 向量写成a°,如图9,在弧角为a处点的线 元又可写为 Y轴/该方向单位向 量为a0 dl=dla= rdad X轴 上式,d为弧元da所对应的弧长 图10、线元示意图
o α dα Y 轴 X 轴 图 10、线元示意图 该方向单位向 量为 α 0 例 1-3、 如图 9，试表示出在半径为 R 的圆轨道上任意一点处的线元 解 分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计 算的表达方式，在本例，我们采用 2 种表达方法，1）直角坐标下的表达； 2）极坐标下的表达 第一种方法：在 X-Y 平面，dz = 0 由定义有 dl dxi dyj = + 上式中 dx 和 dy 分别表示在圆上任意一点，其 所对应的弧角为 θ+ dθ 处以及弧角为 θ 处 两点的 x 坐标差和 y 坐标差。 由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表 示 ( sin cos ) sin cos cos sin dl Rd i j y R dy R d x R dx R d a a a a a a a a a Þ = - + î í ì = Þ = = Þ = - （1.7） 第二种方法：对于一些计算，为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向 向量写成 α0，如图 9，在弧角为 α 处点的线 元又可写为 a aa dl = dl = Rd 上式，dl 为弧元 dα 所对应的弧长 o α dα Y 轴 X 轴 图 9、线元示意图
注意: 1)以上给出了圆弧路径的线元表示,试问 对于过原点向外引出的任意一条射线, 线元如何表示? R dx= cosadi y= Sina→d d=dr(cosa i +sina ))(1.82 a SInd di 2)路径单位向量的理解:一般而言,线元向量可以表示为 团=d+d+d=dl(C7+元+k)=dl(cosi+cos+coyk) 其中,(cOxi+cos3j+cosk)为线元的单位在三个坐标方向的投影分量表述 比较(1.7)式与(1.8)式,切向线元与径向线元的单位向量是不相同的,切 向比径向多“转”90度,故 切向单位向量 cos(a+)i+sin( a+o) (1.8b) 径向单位向量 cos a I+sin a
注意： 1) 以上给出了圆弧路径的线元表示，试问 对于过原点向外引出的任意一条射线， 线元如何表示？ (cos sin ) sin sin cos cos dl dr i j y R dy dr x R dx dr a a a a a a Þ = + î í ì = Þ = = Þ = (1.8a) 2) 路径单位向量的理解：一般而言，线元向量可以表示为： ( k) dl(cos i cos j cos k) dl dz j dl dy i dl dx dl dxi dyj dzk dl = + + = + + = a + b + g 其中，(cos i cos j cos k) a + b + g 为线元的单位在三个坐标方向的投影分量表述 比较（1.7）式与（1.8）式，切向线元与径向线元的单位向量是不相同的， 切 向比径向多“转”90 度，故 r i j i j a a p a p a a cos sin ) 2 sin( 2 cos = + = + + + 径向单位向量 切向单位向量 （ ） （1.8b） o α Y 轴 X 轴 图 11、径向线元示意图 该方向单位向 量为 r 0
例1-4、空间一个质点,以角速度为o匀速旋转,在空间的运动轨迹为一椭 圆。设初始时刻质点在X轴上,且椭圆的长、短半轴分别为a、b,试求质点 在任意时刻的位移、路径线元、运动速度 解:由题意:椭圆的轨迹方程为 x= acos at b sin ot t时刻的位移为:F=x+y= a cost 1+ bsinat j t时刻质点运动轨迹上,在dt微时间段上的线元向量为: dr=dxi +dyj=d[ i+bsinotjI Gasinat i bcosot jdt t时刻运动速度为: =r=-asinoti+ bcosot
例 1-4、 空间一个质点，以角速度为ω匀速旋转，在空间的运动轨迹为一椭 圆。设初始时刻质点在 X 轴上，且椭圆的长、短半轴分别为 a、b，试求质点 在任意时刻的位移、路径线元、运动速度 解：由题意：椭圆的轨迹方程为 y b t x a t w w sin cos = = t 时刻的位移为： r xi yj a ti b t j = + = cosw + sinw t 时刻质点运动轨迹上，在 dt 微时间段上的线元向量为： a ti b t j dt dr dxi dyj d a ti b t j ( sin cos ) [ cos sin ] w w w w = - + = + = + t 时刻运动速度为： r a ti b t j dt dr v = = = - sinw + cosw