§3-6功能原理机械能守恒定律 质点系的动能定理 ◆对第讠个质点,有 eX M;+M=E1;-E1 kio inm,!● 外力功内力功 对质点系,有 ∑W“+∑W=∑E-∑E0=E-Eo0 ◆质点系动能定理W+W=Ek-Ek0 意女内力可以改变质点系的动能 对作用力的功
一 质点系的动能定理 质点系动能定理 k k0 ex i n W +W = E − E m1 m2 mi ex Fi in Fi 注意 内力可以改变质点系的动能 外力功 内力功 k k 0 k k0 ex i n W W E E E E i i i i i i i i + = − = − 对质点系，有 k k 0 ex i n Wi +Wi = E i − E i 对第 i 个质点，有 §3-6 功能原理 机械能守恒定律
质点系的功能原理 质点系动能定理W+winr W"=∑W=W"+Wm-非保守 Wg=-∑E-∑En/=D2-Em eX +m=(Ek+E)-(E0+E0 机械能E=E+EnW+Wm=E-E0 ◆质点系的功能原理质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和
( ) ( ) k p k0 p0 i n nc ex W +W = E + E − E + E 机械能 E = Ek + Ep 质点系动能定理 k k0 ex i n W +W = E − E 非保守 力的功 i n nc i n c i n i n W W W W i = i = + W ( E E ) ( E E ) i i i pi p 0 p p0 i n c = − − = − − 0 i n nc ex W +W = E − E 二 质点系的功能原理 质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和
上机械能守恒定律 功能原理W+Wm=(E+E)-(Eo+E0) 当W+W=0时,有E=E ◆机械能守恒定律只有保守内力作功的情况下, 质点系的机械能保持不变 ER-E0=(E-E)△Ek=-△Ep 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论,这是 各个守恒定律的特点和优点
Ek = −Ep ( ) Ek − Ek0 = − Ep − Ep0 当 0 in nc ex W +W = 时，有 E = E0 ( ) ( ) k p k0 p0 i n nc ex 功能原理 W +W = E + E − E + E 三 机械能守恒定律 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 . 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点
讨论如图的系统,物体A,B置于光滑的桌面上, 彻体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,首 先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簣压 缩,后拆除外力,则A和B弹开过程中,对A、 B、C、D组成的系统 (A)动量守恒,机械能守恒 (B)动量不守恒,机械能守恒 (C)动量不守恒,机械能不守恒 (D)动量守恒,机械能不一定守恒 C D C D A MB A W B 动量能量守1动量能量恒2
如图的系统，物体A，B 置于光滑的桌面上， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统 讨论 （A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . D B C A D B C A
例1一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处.若摩擦因数为0050.求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程(点B附近可视为连续弯曲的滑道忽略空气阻力 B 77
例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)
h 、 Psin e B Pcos 8r 已知h=50m,=0.050,s=500m,求S 解以雪橇、冰道和地球为一系统,由功能原理得 W=E-E W=-ug cos 6 sugs -umg(s+s) 又 E-E,=-mgh
FN Ff P Psin Pcos h s' 已知 h = 50m , = 0.050 , s' = 500m , 求 s. 解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得 Wf = E2 − E1 cos ' ( ' ) f W = −mg s −mgs −mg s +s E − E = −mgh 又 2 1
h Psn 6 B Pcos 6/ h=50m,=0.050,S=500m,W≈=m(J2+S 由功能原理 2 可得 umg(s+s)=-mgh 代入已知数据有 s=500m
可得 − mg(s'+s)= −mgh FN Ff P Psin Pcos h s' 由功能原理 Wf = E2 − E1 s = h − s' = 500m 代入已知数据有 h = 50m , = 0.050 , s' = 500m , ( ' ) f W −mg s +s
例2有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦)开始小球静止于点A,弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环 的底端点B时,小球对圆环没有压力求弹簧的劲度系数 解以弹簧、小球和地球为一系统, R A→B只有保守内力做功 30 系统机械能守恒EB=E 取图中点B为重力势能零点 B E.=0
例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环 的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数. 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 30 o P B R A A→B 只有保守内力做功 系统机械能守恒 EB = EA 0 取图中点B为重力势能零点 Ep =
系统机械能守恒E=E,图中B点为重力势能零点 m71kR2=mgR(2-sin30° P R 又 kR-mg=m-B R 309多 所以 2mg R bEn=
又 R k R mg m B 2 v − = 所以 R mg k 2 = 即 (2 sin 30 ) 2 1 2 1 2 2 m + k R = mgR − vB 30 o P B R A 0 Ep = 系统机械能守恒 EB = EA , 图中 B 点为重力势能零点
例3在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不 可压缩的密度为p的流体.点a处的压强为1、截面积 为A1,在点b处的压强为2截面积为A2由于点a和点b 之间存在压力差,流体将在管中移动.在点a和点b处的 速率分别为U1和求流体的压强和速率之间的关系 b d Xix,+dx +dx
例 3 在一截面积变化的弯曲管中， 稳定流动着不 可压缩的密度为 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积 为A1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为A2 .由于点 a 和点 b 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的 速率分别为 和 .求流体的压强和速率之间的关系 . v1 v2 y x o x1 1 d 1 x + x 2 x 2 2 x +dx y2 y1 2 p p1 v1 v2 a b A1 A2