第十一讲、恒定磁场(Ⅳ) §1.10、电场能量与力 §3.9、磁场能量与力(上)
第十一讲、恒定磁场（Ⅳ） §1.10、电场能量与力 §3.9、磁场能量与力（上）
静电场能量带电导体系统之间的相互作用力 1、为什么要引入电场能量?任何一门自然科学,其物理量最终都要 与能量相联系,能量的本质在于规律不随时间变化而变化。 2、静电能量:在空间形成电场的电荷构成一定的分布时,该电场就 具有能量。这种由电荷相对位置引起的静电能量数值上等于形成该分 布时,外力所做的功 3、静电能量的计算 A、假如某种电荷分布已经存在,则空间就具有了电场,此时再把一 个检验小电荷dq从无穷远移到电场中某点(P)时,外力做功为: Jo q(E)di=dqedi=dq (11.1) 外力做功,变成了静电场的能量,静电场能量增量等于检验电荷的电 量与P点电位的乘积。 可以想象,本来电荷天各一方,散布在无穷远处,自然静电场能量为 零。这些电荷能够形成一种分布,是由于外力做功的缘故。外力做的 功哪里去了?变成了静电场能量。 B、若某种电荷分布已经形成,它的电位分布也就能够确定,假设为 q(r),则该电荷分布系统具有的能量为: dop 2 par t S(1.2)
一、静电场能量带电导体系统之间的相互作用力 1、为什么要引入电场能量？任何一门自然科学，其物理量最终都要 与能量相联系，能量的本质在于规律不随时间变化而变化。 2、静电能量：在空间形成电场的电荷构成一定的分布时，该电场就 具有能量。这种由电荷相对位置引起的静电能量数值上等于形成该分 布时，外力所做的功。 3、静电能量的计算 A、假如某种电荷分布已经存在，则空间就具有了电场，此时再把一 个检验小电荷 dq 从无穷远移到电场中某点（P）时，外力做功为： (11.1) 外力做功，变成了静电场的能量，静电场能量增量等于检验电荷的电 量与 P 点电位的乘积。 可以想象，本来电荷天各一方，散布在无穷远处，自然静电场能量为 零。这些电荷能够形成一种分布，是由于外力做功的缘故。外力做的 功哪里去了？变成了静电场能量。 B、若某种电荷分布已经形成，它的电位分布也就能够确定，假设为 j(r)，则该电荷分布系统具有的能量为： (11.2) ò ò ò We = dqj = rjdV + sjdS 2 1 2 1 2 1 ò ò ¥ ¥ = - × = × = P P W dq E dl dq E dl dqj ( )
问题:上式中有一个1/2因子,如何理解? ①、简单说明如下:若空间只有两个电荷, 假设电荷q1不动,q2从遥远处移来 该系统的能量为 图11.1、两电荷系统电场的能量 ∫g2(-E):d 2 JP E q2JP4兀o q 4πE0 q q 24E q 24E q22+-q11 ②、若空间只有两个电荷,该系统的能量 为 stepl:从遥远处移来q2,系统能量如上 E q192 73 4πE0 该向量为弓-F 图8.2三电荷系统的电场能量
问题：上式中有一个 1/2 因子，如何理解？ ①、简单说明如下：若空间只有两个电荷， 假设电荷 q1 不动，q2 从遥远处移来 该系统的能量为 ②、若空间只有两个电荷，该系统的能量 为 step1:从遥远处移来 q2,系统能量如上 2 2 1 1 0 1 2 2 1 0 2 1 1 2 0 2 1 1 3 2 1 1 0 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 4 4 W ( ) 2 j j pe pe pe pe q q r r q q r r q q r r q d l q r r q r r q q E d l q E d l P P r = + - + - = - × = - - = = - × = × ò ò ò ¥ ¥ ¥ q q2 1 2 r 1 r o 2 1 r r - 图 11.1、两电荷系统电场的能量 0 2 1 1 2 step1 1 4 E r r q q - = pe 2 1 r r - 3 r q3 3 2 r r - q q2 1 2 r 1 r o 该向量为 3 1 r r - 图 8.2 三电荷系统的电场能量
step2:从从遥远处移移来q,在移动过程中,它将同时受到的q1和q 阻碍 9392 4 78 0 4πE0 在移动过程中,总能量为: E=E tE q291 3q2 4πE0 4πE0 4πE0 F3-P2 447E01-2 +q2410P2-F 4πE0 q 4π0 7-64x607- q191+-q29 q33 ③、对于连续分布电荷,静电场能量可以表示为 gp a 讨论:1)若带电系统既有体电荷分布,又有面电荷分布,又有线电 荷分布,则静电场能量可以表示为 5podv +loadS+tods(11.3b)
step2:从从遥远处移移来 q3，在移动过程中，它将同时受到的 q1 和 q2 阻碍 在移动过程中，总能量为： ③、对于连续分布电荷，静电场能量可以表示为 (11.3a) 讨论：1）若带电系统既有体电荷分布，又有面电荷分布，又有线电 荷分布，则静电场能量可以表示为 ò ò ò We = rjdV + sjdS + tjdS 2 1 2 1 2 1 （11.3b） 0 3 2 3 2 0 3 1 3 1 step2 1 4 1 4 E r r q q r r q q - + - = pe pe 1 1 2 2 3 3 0 3 2 2 0 3 1 1 3 0 2 3 3 0 2 1 1 2 0 1 3 3 0 1 2 2 1 0 3 2 3 2 0 3 1 3 1 0 2 1 2 1 step1 step2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1 1 4 1 4 1 4 E E E j j j pe pe pe pe pe pe pe pe pe q q q r r q r r q q r r q r r q q r r q r r q q r r q q r r q q r r q q = + + - + - + - + - + - + - = - + - + - = = + （ ） （ ） （ ） j ò W = dq 2 1
2)对于n个导体构成的系统,静电能量为 ∑ kpk (11.3C) 问题:电场能量放在那里?能量一定 寓于场中,如何理解? 导体内部 4、静电场的能量公式 考虑一局部空间,内部既有电介质一 介质内 又有一些导体构成,如图8.3所示, 部 利用高斯通量定理微分形式和导体 边界面电荷密度的计算公式 导体内部 D n·D pc dv S 图8.3、电场的能量 W qV·Dd+ n DdS 2 s,+s 2J9V·DdV+ D·dS V·(qD)d D.vody+ 2 2+所·DdS D. edy (qD)·dS+ JS-S,=s 2D·dS s,+s 1∫DEa+1(oD) (84)
2）对于 n 个导体构成的系统，静电能量为 （11.3C） 问题：电场能量放在那里？能量一定 寓于场中，如何理解？ 4、静电场的能量公式 考虑一局部空间，内部既有电介质 又有一些导体构成，如图 8.3 所示， 利用高斯通量定理微分形式和导体 边界面电荷密度的计算公式 ò ò = + Ñ × = = × W dV dS D n D e rj sj r s 2 1 2 1 , å= = n k e k k W q 2 1 1 j ( ) (8.4) 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò = × + × = × + × + × = Ñ × - × Ñ + × = Ñ × + × = Ñ × + × + - - + + + S S S V S S S V V S S S S S S e D EdV D dS D EdV D dS D dS D dV D dV n DdS DdV D dS W DdV n DdS j j j j j j j j j j 图 8.3、电场的能量 导 体 内 部 导 体 内 部 介 质 内 部
考虑全域空间时,电荷的分布是有限度的,但是电场是分布在整个空 间的,而有电场的地方,就一定有静电场能量,所以计算电场能量时, 应该以整个空间电场为积分对象 在远区,1 OC D·E+ 2(D).dS D·Ec 2 这项为零 能量密度: D·E 2882 空间具有的静电能量为静电场能量密度的整个空间积分 w=do D·Ed EE2a(8.5)
考虑全域空间时，电荷的分布是有限度的，但是电场是分布在整个空 间的，而有电场的地方，就一定有静电场能量，所以计算电场能量时， 应该以整个空间电场为积分对象 能量密度： 空间具有的静电能量为静电场能量密度的整个空间积分 （8.5） ò ò ò = × + × = × µ µ µ µ ¥ W D EdV D dS D EdV S r r r r E S e 2 1 ( ) 2 1 2 1 , , 1 , 1 2 2 j 在远区， j 这项为零 2 2 1 2 1 w e = D × E = eE W d D EdV E dV V V e òV ò ò = = × = 2 2 1 2 1 w e
带电导体系统间电场力计算的虚功原理 1、广义坐标:任何一个能够表征导体系统内各导体之间的相对位置 形状、方位等一组独立几何量,如面积、距离、体积以及角度等。 2、广义力:与广义坐标相对应的力,它可以是角动量、压强 3、虚功原理 ①、方法原理:如图 w dx 图8.4、蹦紧的弹簧的弹力 ②、虚功原理具体实现:设第P个导体沿广义坐标g发生一个微量移 动dg dw=d,me +fdg 、由于微量移动dg动, 由于微量移动dg.各导体 电场力对外做的功 相连接的电源提供能量增由于微量移动dg,导 量:dW=∑φkd 致的电场能量的增加
二、带电导体系统间电场力计算的虚功原理 1、广义坐标：任何一个能够表征导体系统内各导体之间的相对位置、 形状、方位等一组独立几何量，如面积、距离、体积以及角度等。 2、广义力：与广义坐标相对应的力，它可以是角动量、压强 3、虚功原理 ①、方法原理：如图 ②、虚功原理具体实现：设第 P 个导体沿广义坐标 g 发生一个微量移 动 dg dW d W fdg = g e + 由于微量移动 dg，各导体 相连接的电源提供能量增 量：dW=∑φkdqk 由于微量移动 dg，导 致的电场能量的增加 由于微量移动 dg 动， 电场力对外做的功 2 2 1 W = kx kx x W f = ¶ ¶ = x dx 图 8.4、蹦紧的弹簧的弹力
讨论: 1)、断开各导体相连接的电源,dq=0 0=dowe fag qk=常量 fag ==dow qk=常量 d w W f g/9k=常量 (8.6) qk=常量 2)、各导体电位保持不变,dφ=0 pdgk=∑dk+a ag=dgWl=常量 常量 d w W 819k=常量 (8.7) qk=常量
讨论： 1）、断开各导体相连接的电源，dqk=0 （8.6） 2）、各导体电位保持不变，dφk=0 （8.7） 常量 常量 = = ¶ ¶ = - = - k k q e q g e g W dg d W f 常量 常量 = = ¶ ¶ = = k k q e q g e g W dg d W f = + =常量 Þ = - k =常量 k g q q 0 d gWe fdg fdg d W 常量 常量 = = å = å + = k k g q q fk dqk fk dqk fdg fdg d W 2 1
4、算例 例11-1、试计算无限大平行板电容器单位面积所受的电场力,设板间 距离为d,板间电压为U: 1)直接F=CE利用计算;2)分别利用如下虚功原理计算 ++0 aw aw Os 8 d=常量 g q=常量 解:1)解题分析,板内电场是正板和负板电荷 共同叠加的结果 X E=E.+E→E=E=E 22d F=gE =cu U 2 dd 2 d 2 d2 注意:q还可以通过下述方法计算 US 0=D=E→ q 方向向下 F 2 d
F qE = =常量 =常量 ¶ ¶ = - ¶ ¶ = q e e g W f g W f f 2 2 0 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d S U d U U d S d U F qE CU d U E E E E E E e e = = = = = + Þ = = = - + - + - 4、算例 例 11-1、试计算无限大平行板电容器单位面积所受的电场力，设板间 距离为 d，板间电压为 U： 1)直接 利用计算; 2)分别利用如下虚功原理计算 解：1）解题分析，板内电场是正板和负板电荷 共同叠加的结果 注意： q 还可以通过下述方法计算 方向向下 + + + o - - - x d 2 2 0 2 d U S F f e = = d US q S d U Dn 0 0 e s = = e Þ =s =
2)(I)关键是在电位不变的情况下,表达出静电能量与位移的关系 W=ql9+ +(o)=gu=cu 1 cov..l ES 2 x OW不变 U2 Ox x=d 2 负号表示正板受力方向与x轴反向 (2)、(II)关键是在极板电量不变的情况下,表达出静电能量与位 移的关系 1dU=2 2C2E。S OWq不变 8. s F Ox x=d 2 8
2 2 0 2 0 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 [ ( ] 2 1 U d S x x d W F U x S U U d S W q qU CU x d j e e e j j = - ¶ = ¶ = = + + - - = = = × = = 不变 ） 2 0 2 0 2 0 2 2 1 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 2 1 U d S q x d S q x W F q S x C q C q W qU q x d e e e = - = - ¶ = ¶ = - = = = = = 不变 2）（I）关键是在电位不变的情况下，表达出静电能量与位移的关系 负号表示正板受力方向与 x 轴反向 （2）、（II）关键是在极板电量不变的情况下，表达出静电能量与位 移的关系