第十五讲、平面电磁波之一 §6-1、理想介质中的均匀平面波 §6-2、波的极化 §6-3、导电媒质中的均匀平面波
第十五讲、平面电磁波之一 §6-1、理想介质中的均匀平面波 §6-2、波的极化 §6-3、导电媒质中的均匀平面波
理想介质中的均匀平面 1、理想介质中的场方程以及方程的解 aB aH V×E: →V×E: aD aE V×H=E VB →V.H=0 V.D=0 →V·E=0 对于上述方程,通过代入,可以得到如下直接关于电场强度或磁场强 度的方程 (V×E) a2E V×H →W(V·E)-V2E=-AE O2E 02H OH V×(V×H)=EV×E=- →V(V·H)-VH=-AE 1 OE VAE-uE 0 VE at2 =0(15.1) at O-H V4H-H8=0 or V-H 1 8H 0(152) at here. v= V公、 is called wave propagation velocity 2、平面波的场方程 由(15.1)、(15.2)式可见,电场、磁场均满足波动方程。对于距离 波源较远处,空间电磁波的传播方向可以看成是沿同一方向传播的; 由辐射场的原理,我们知道,空间电场与磁场方向相互垂直,且电场 与磁场的叉积方向为能量传播的方向,故此可以断定空间电场方向为 一确定方向,磁场也为一确定方向,两者相互垂直。假设电场为Y方 向,磁场设为Z方向,那么,可以将电场与磁场写成为
一、理想介质中的均匀平面 1、理想介质中的场方程以及方程的解 对于上述方程，通过代入，可以得到如下直接关于电场强度或磁场强 度的方程 2、平面波的场方程 由（15.1）、（15.2）式可见，电场、磁场均满足波动方程。对于距离 波源较远处，空间电磁波的传播方向可以看成是沿同一方向传播的； 由辐射场的原理，我们知道，空间电场与磁场方向相互垂直,且电场 与磁场的叉积方向为能量传播的方向，故此可以断定空间电场方向为 一确定方向，磁场也为一确定方向，两者相互垂直。假设电场为 Y 方 向，磁场设为 Z 方向，那么，可以将电场与磁场写成为 0 0 0 0 Ñ× = ÞÑ× = Ñ× = ÞÑ× = ¶ ¶ Þ Ñ´ = ¶ ¶ Ñ´ = ¶ ¶ Þ Ñ´ =- ¶ ¶ Ñ´ =- D E B H t E H t D H t H E t B E e m here v is called wave propagation velocity t H v or H t H H t E v or E t E E t H H H t H E t H t E E E t E H t E , 1 , 0 (15.2) 1 0 0 (15.1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 me me me e me me m me me = = ¶ ¶ = Ñ - ¶ ¶ Ñ - = ¶ ¶ = Ñ - ¶ ¶ Ñ - ¶ ¶ Þ Ñ Ñ× -Ñ = - ¶ ¶ Ñ´ = - ¶ ¶ Ñ´ Ñ´ = ¶ ¶ Þ Ñ Ñ× -Ñ = - ¶ ¶ Ñ´ = - ¶ ¶ Ñ´ Ñ´ = -
E=E(153) H=Hk(154 这样以来,那么波的传播方向一定沿X方向,这也就意味着H、E各 自满足一维波动方程,其通解为 02E.1a2E →E(x,1)=E(t--)+E,(t+-)(155 →H(x1)=H2(t-3) -)+E:(t+-)(15 ax v 上式中,E(t-x/v)、E(t+x/v)分别表示沿X方向的或沿-X方向传播 的行波,分别称之为入射波和反射波。 在实际求解过程中,对于(15.5)、(15.6)只要知道其一,便可通过 场方程求得另外一个,例如若为入射波,则 ah 1 S OET →H E at E H=,°Et Op here: Z (157 同理,若为反射波,则 E
这样以来，那么波的传播方向一定沿 X 方向，这也就意味着 H、E 各 自满足一维波动方程，其通解为 上式中，E + (t-x/v)、E - (t+x/v)分别表示沿 X 方向的或沿-X 方向传播 的行波，分别称之为入射波和反射波。 在实际求解过程中，对于（15.5）、（15.6）只要知道其一，便可通过 场方程求得另外一个，例如若为入射波，则 同理，若为反射波，则 (15.4) ˆ (15.3) ˆ H H k E E j z y = = ( , ) ( ) ( ) (15.6) 1 ( , ) ( ) ( ) (15.5) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v x E t v x H x t H t t H x v H v x E t v x E x t E t t E x v E z z z z z y y y y y Þ = - + + ¶ ¶ = ¶ ¶ Þ = - + + ¶ ¶ = ¶ ¶ + - + - , : (15.7) 1 1 0 0 e m m e m e m e m em Þ = = = Þ ¢ = ¢ ¶ ¶ = - ¶ ¶ = - ¶ ¶ + + + + + + + + + here Z Z E H E or H H E x E x E t H y z y z z y y y z Z0 E H E y z y - - - ¢ ¢ = - ¢ = - m e Z X Y
3、平面波的能量与能流 不论对于入射波或反射平面波,由第5章关于远场的波印亭向量以及 场能量关系,容易得到 O x,t=uHT(x, t)=a =0=0+am=EEy(,t)=uH:(x,t) Er(x, * =E(x,1)jxH(x,1)k=E(x,1)H(x,1)i= E(x, t) S=E(, tjxH-(x, tk=E(x, tH(x, t)i= OvI 由上式可以看出,入射波的能流与入射波的传播方向也相同,反射波 的能流与反射波的传播方向也相同,但入射波传播方向与反射波传播 方向相反 4、频域条件下理想介质的场方程 工程常见的是场量随时间做正弦变化的情况,也即场源是以一定频率 随时间做正弦变化 V×E H a-E (O)aE V×H=joEE (o√μE)2E E=0 OH O)8H V·H=0 define r=jB=jove aE TLE E=E E二e Ox
3、平面波的能量与能流 不论对于入射波或反射平面波，由第 5 章关于远场的波印亭向量以及 场能量关系，容易得到 ï ï î ï ï í ì = ´ = = = - ¢ = ´ = = = ¢ Þ ¢ = ¢ + ¢ = = ¢ = = = ¢ - - - - - - + + + + + + + + + + vi Z E x t S E x t j H x t k E x t H x t i vi Z E x t S E x t j H x t k E x t H x t i E x t H x t E x t H x t y y z y z y y z y z e m y z e y z m ˆ ( , ) ˆ ( , ) ( , ) ˆ ( , ) ˆ ( , ) ˆ ( , ) ˆ ( , ) ( , ) ˆ ( , ) ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 w w w w w e m w e m w 由上式可以看出，入射波的能流与入射波的传播方向也相同，反射波 的能流与反射波的传播方向也相同，但入射波传播方向与反射波传播 方向相反 4、频域条件下理想介质的场方程 工程常见的是场量随时间做正弦变化的情况，也即场源是以一定频率 随时间做正弦变化 ï î ï í ì = - = + Þ ï ï î ï ï í ì = G ¶ ¶ = G ¶ ¶ Þ G = = ï ï î ï ï í ì = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ Þ ï ï ï î ïï ï í ì Ñ × = Ñ × = Ñ ´ = Ñ ´ = - + - - + + - - + ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j x z j x z z j x y j x y y z z y y z z z y y y H e H e Z H E E e E e H x H E x E define j j j H t H v j x H j E t E v j x E H E H j E E j H b b b b b w me w me w w me w we wm
y 图151瞬态电磁波的传播以及空间场分布 算例:设有一频率为300Mz、电场强度最大值为0.1v/m的均匀平面 波在水中传播,已知水的相对磁导率为1,相对介电常数为78,且设 水为理想介质。设水面的电场强度初始值为零,且水在x方向可看作 伸展到无限远。写出水中电场强度和磁场强度的瞬时表达式 C 3×10 解: 0.34×108 √1×78 0.34×10 8 f300×106 =0.113(m) 2丌 =55.5(rad/m) V78 42.7(g) E Eo 8 根据以上相关参数,以及平面波的特性,得到水中电场和磁场的瞬时 表达式 E,(x,1)=0.1sin(6×10°t-5 H2(x,)=2(x,t =234×10-sin(6丌×10t-55.5x)
算例：设有一频率为 300MHz、电场强度最大值为 0.1v/m 的均匀平面 波在水中传播，已知水的相对磁导率为 1，相对介电常数为 78，且设 水为理想介质。设水面的电场强度初始值为零，且水在 x 方向可看作 伸展到无限远。写出水中电场强度和磁场强度的瞬时表达式。 解： 根据以上相关参数，以及平面波的特性，得到水中电场和磁场的瞬时 表达式 42 .7 ( ) 78 1 120 55 .5 ( / ) 2 0.113 ( ) 300 10 0.34 10 0.34 10 ( / ) 1 78 3 10 0 0 0 6 8 8 8 = = = = W = = = ´ ´ = = = = ´ ´ ´ = = p e m e m e m l p b l m e r r r r Z rad m m f v Tv m s c v o V 图 15.1 瞬态电磁波的传播以及空间场分布 y z x 2.34 10 sin( 6 10 55 .5 ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.1sin( 6 10 55 .5 ) 3 8 0 8 t x Z E x t H x t E x t t x y z y = = ´ ´ - = ´ - - p p
波的极化 1、什么是波的极化?若干个同频率、同方向传播的电磁波在空间叠 加,在垂直传播方向上所得总的电场强度,其端点将构成不同的轨迹。 这种特性称为极化。根据分类,可以将波的极化分为三种情况 ①、直线:在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一直线 ②、椭圆:在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一椭圆。 ③、圆:在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一圆。 2、极化的数学描述。从物理本质上说,在垂直传播方向上的平面里 若干同频电磁波叠加的总电场强度场还是一个向量。该电场强度在平 面上分解为相互垂直的两个分量。 ①、直线极化。一般来说这两个分量振幅不等的,假设相位相同 E,(x, t) (ot-Bx) E (x, t)=E2m sin( at-Bx) 在X=0处,该向量为 E,(O,t)=E,m sin(Ot) E=EIm sin( ot)+E2m sin( ot)k 1E:0.1)=E250o)3{=√E2m+E2sm(om) 如图所示,电场强度随 E 时间变化的轨迹为一直 E g 线。 图15.2直线极化
二、波的极化 1、什么是波的极化？若干个同频率、同方向传播的电磁波在空间叠 加，在垂直传播方向上所得总的电场强度，其端点将构成不同的轨迹。 这种特性称为极化。根据分类，可以将波的极化分为三种情况 2、极化的数学描述。从物理本质上说，在垂直传播方向上的平面里 若干同频电磁波叠加的总电场强度场还是一个向量。该电场强度在平 面上分解为相互垂直的两个分量。 ①、直线极化。一般来说这两个分量振幅不等的，假设相位相同 在 X=0 处，该向量为 如图所示，电场强度随 时间变化的轨迹为一直 线。 ①、直线：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一直线。 ②、椭圆：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一椭圆。 ③、圆：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一圆。 y E1m E2m mˆ 2 z 1 1 m m E E tg - Y = o 图 15.2 直线极化 ( , ) sin( ) ( , ) sin( ) 2 1 E x t E t x E x t E t x z m y m w b w b = - = - ïî ï í ì = + = + Þ î í ì = = E E t m E E t j E t k E t E t E t E t m m m m z m y m sin( ) ˆ ˆ sin( ) ˆ sin( ) (0, ) sin( ) (0, ) sin( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 w w w w w
②、假设电场强度的两个分量相位不相同,假设相差90 E,(x, t)=EIm sin( ot-Bx) E(x, t)=E2m sin( at- Bx+90)=E2m cos( @- Bx) 在X=0处,该向量为 E, (O, t)=EIm sin(ot) E= Em sin( ot)j+ erm cos( otk E(0, t)=E2m cos( at) E E 如图所示,电场强度这一向量末端 随时间变化的轨迹为一直线。这种Emy 成为椭圆极化波。 0 特例:若E1m=E2m,椭圆极化就 图15.3椭圆极化 变成了圆极化,如图15.4所示 Z 名词解释:左旋极化与右旋极化 E 对于上述的圆极化而言: 若t=0瞬间,E=0,E=E1nk 图15.4圆极化 当t=T/4时,E2=0,E=E2mk,如图15.5、15.6所示,这种波称为左 极化波,以X轴表示波的传播方向,则电场强度向量末点随时间在轨 迹上沿左手法则运动;反之亦然 E E 图15.5左旋极化波 图15.6左旋极化波 波的极化在天线工程中有着广泛的应用
②、假设电场强度的两个分量相位不相同，假设相差 900 在 X=0 处，该向量为 如图所示，电场强度这一向量末端 随时间变化的轨迹为一直线。这种 成为椭圆极化波。 特例：若 E1m =E2m，椭圆极化就 变成了圆极化，如图 15.4 所示 名词解释：左旋极化与右旋极化。 对于上述的圆极化而言： 若 t=0 瞬间，Ey=0，E=E1mk 当 t=T/4 时，Ez=0，E=E2mk，如图 15.5、15.6 所示，这种波称为左 极化波，以 X 轴表示波的传播方向，则电场强度向量末点随时间在轨 迹上沿左手法则运动；反之亦然。 波的极化在天线工程中有着广泛的应用 ï î ï í ì + = = + Þ î í ì = = 1 ˆ cos( ) ˆ sin( ) (0, ) cos( ) (0, ) sin( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 m z m y m m z m y m E E E E E E t j E t k E t E t E t E t w w w w ( , ) sin( 90 ) cos( ) ( , ) sin( ) 2 0 2 1 E x t E t x E t x E x t E t x z m m y m w b w b w b = - + = - = - Z E1m E2m Y o 图 15.3 椭圆极化 Z E1m E2m Y o 图 15.4 圆极化 Z Em Y 图 15.5 左旋极化波 Em Y 图 15.6 左旋极化波 Z
导电媒质中的均匀平面波 1、导电媒质中的场方程以及方程 VxE- OB aH a VXE V2+p=0→V(7E)+p=0 aD aE at V×H=+-→V×H=yE+E A ()+p=0→p+p=0 V·B=0→V·H=0 at p→ E p=e e 对于上述方程,之所以有电荷体密度,是因为电流密度(δ=YE)存 在。但是由于导电媒质的时间常数τ=ε/y远小于1,故导电媒质中 的自由电荷衰减得非常快,通常认为自由电荷密度为零。 由此, aB V×E V×E ∂H便得到导电媒质 中的 at at 场方程为 VxH=yE0D→VxH=E+6 H=0 V·E=0 根据以上同样的道理,可得关于导电媒质中的电磁场基本方程为 V×(V×E)=-V×H aE OE VE=-uy O u8 a,2 aH O2H V×(V× xE+EV×E VH= u VE OE OE 0 (158) aH O2H VH (15.9)
三、导电媒质中的均匀平面波 1、导电媒质中的场方程以及方程 对于上述方程，之所以有电荷体密度，是因为电流密度（δ=γE）存 在。但是由于导电媒质的时间常数τ=ε/γ远小于 1，故导电媒质中 的自由电荷衰减得非常快，通常认为自由电荷密度为零。 由此， 便得到导电媒质 中 的 场方程为 根据以上同样的道理，可得关于导电媒质中的电磁场基本方程为 0 (15.9) 0 (15.8) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ - = ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ - ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ´ Þ -Ñ = - ¶ ¶ Ñ´ Ñ´ = Ñ´ + ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ´ Þ -Ñ = - ¶ ¶ Ñ´ Ñ´ = - t H t H H t E t E E t H t H E H t H E t E t E H E t E gm em mg me g e gm em m mg me e r r g g e m Ñ× = ÞÑ× = Ñ× = ÞÑ× = ¶ ¶ ÞÑ´ = + ¶ ¶ Ñ´ = + ¶ ¶ Þ Ñ´ = - ¶ ¶ Ñ´ = - D E B H t E H E t D H E t H E t B E 0 0 e t g r r r e g e r e g d r g r t t c e e t t E t E t - - Þ = = = ¶ ¶ = Þ + ¶ ¶ Þ Ñ× + = ¶ ¶ = ÞÑ× + ¶ ¶ Ñ× + ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 Ñ × = Ñ × = ¶ ¶ Þ Ñ ´ = + ¶ ¶ Ñ ´ = + ¶ ¶ Þ Ñ ´ = - ¶ ¶ Ñ ´ = - E H t E H E t D H E t H E t B E g g e m
2、频域条件下导电媒质的场方程 V×E J V×E=-jOH V×H=y+jE xH=(+josE=joEE V·E=0 define a'=a(I-j-) V·H=0 上式中E′称为导电媒质中的等效介电常数,E′中的由于虚部的 存在,就会产生热耗。定义一个量称为损耗角以描述媒质的热耗程度 ae 如此有衰减的的波动方程的向量表示为 (jo√E)E V=(j0、VAE)2 对于平面电磁波为一维问题,假设电场为Y方向,磁场设为Z方向, 那么,可以将电场与磁场写成为 E 2=(j0vE)2E 2=(j0√E')2H2 define T'=iB′=jo√E 02E E=Ee-形+E-e+1Bx ax e h e
2、频域条件下导电媒质的场方程 上式中ε′称为导电媒质中的等效介电常数, ε′中的由于虚部的 存在，就会产生热耗。定义一个量称为损耗角以描述媒质的热耗程度 we g tg qg = 如此有衰减的的波动方程的向量表示为 对于平面电磁波为一维问题，假设电场为 Y 方向，磁场设为 Z 方向， 那么，可以将电场与磁场写成为 ï ï î ï ï í ì ¢ = - Ñ´ = + = ¢ Ñ´ = - Þ ï ï ï î ïï ï í ì Ñ× = Ñ× = Ñ´ = + Ñ´ = - (1 ) ( ) 0 0 we g e e g we we wm g we wm define j H j E j E E j H H E H E j E E j H ïî ï í ì Ñ = ¢ Ñ = ¢ H j H E j E 2 2 2 2 ( ) ( ) w me w me ï î ï í ì = - = + Þ ï ï î ï ï í ì = G¢ ¶ ¶ = G¢ ¶ ¶ Þ G¢ = ¢ = ¢ ï ï î ï ï í ì = ¢ ¶ ¶ == ¢ ¶ ¶ + - ¢ - + ¢ + - ¢ - + ¢ ( ) 1 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j x z j x z z j x y j x y y z z y y z z y y H e H e Z H E E e E e H x H E x E define j j j H x H j E x E b b b b b w me w me w me
E=Ej(153) H=Hk(154 这样以来,那么波的传播方向一定沿X方向,这也就意味着H、E各 自满足一维波动方程,其通解为 OE 1 8E E(xD)=E”(t-)+E,(+-)(15 2H.10H →H(x,1)=H(t--)+E(+-)(156 at 上式中,E(tx/v)、E(t+x/v)分别表示沿X方向的或沿-X方向传播 的行波,分别称之为入射波和反射波
这样以来，那么波的传播方向一定沿 X 方向，这也就意味着 H、E 各 自满足一维波动方程，其通解为 上式中，E + (t-x/v)、E - (t+x/v)分别表示沿 X 方向的或沿-X 方向传播 的行波，分别称之为入射波和反射波。 (15.4) ˆ (15.3) ˆ H H k E E j z y = = ( , ) ( ) ( ) (15.6) 1 ( , ) ( ) ( ) (15.5) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v x E t v x H x t H t t H x v H v x E t v x E x t E t t E x v E z z z z z y y y y y Þ = - + + ¶ ¶ = ¶ ¶ Þ = - + + ¶ ¶ = ¶ ¶ + - + -
