第六研、恒定电流场(Ⅰ) §2.1电流域电流密度 §2.2导电媒质中恒定电场的基本方程 §2.3分解面上的边界条件 §2.4导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 §2.5电导与接地电阻(I)
第六讲、恒定电流场（Ⅰ） §2.1 电流域电流密度 §2.2 导电媒质中恒定电场的基本方程 §2.3 分解面上的边界条件 §2.4 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 §2.5 电导与接地电阻（Ⅰ）
三项基本原则 A、恒定电场又被称为恒定电流场。“恒定”的意义: 是相对于静电场而言的,其本质为动态平衡。 B、静电场的基本规律这里都适用(包括概念、场特 征等) G、有自身的一些特殊性:“动态”,因此要引入描述 这一特征的物理特征的概念,以找出其规律 基本描述量:电流、电流密度以及电动势 1、电流密度的定义:电场中某点的电流密度数值上等于在垂直于电荷 流动的方向上单位面积、单位时间通过的电量;电流密度的方向为电 流在该点的电荷的流向。 2、电流密度的表示: 体密度:δ=p 截面面积为S 面密度K=O·v·ct·s v 线密度=vw dt·s (6.1) 3、在电荷流经的某一横截面上,单位时间流过电荷量的多少 (6.2)
一、三项基本原则 二、基本描述量：电流、电流密度以及电动势 1、电流密度的定义:电场中某点的电流密度数值上等于在垂直于电荷 流动的方向上单位面积、单位时间通过的电量；电流密度的方向为电 流在该点的电荷的流向。 2、电流密度的表示： 3、在电荷流经的某一横截面上，单位时间流过电荷量的多少 截面面积为 S A、恒定电场又被称为恒定电流场。“恒定”的意义： 是相对于静电场而言的，其本质为动态平衡。 B、静电场的基本规律这里都适用（包括概念、场特 征等） C、有自身的一些特殊性：“动态”，因此要引入描述 这一特征的物理特征的概念，以找出其规律。 v dt s v dt s r r = × × × × î í ì = = = I v K v v t s d r : : : 线密度 面密度 体密度 （6.1） s t q I = （6.2）
4、电流强度与电流密度的关系 vdt ds ds=.ds dt S k·dl (6.3) 5、电动势:为了描述外部因素做功(发电”)的能力,引入电动势 在图6.1中,对于导体回路,若无外力,自由电荷会沿电力线移动, 达到静电平衡。要使电路恒定,必须有外力,克服电场力,把电荷从 低电位移到高电位 +++十 R 红线表示外部因素等效场( external)E 黑线表示实际电力线电场E 图6.1、电动势的物理机理
4、电流强度与电流密度的关系 5、电动势：为了描述外部因素做功（‘发电’）的能力，引入电动势 在图 6.1 中，对于导体回路，若无外力，自由电荷会沿电力线移动， 达到静电平衡。要使电路恒定，必须有外力，克服电场力，把电荷从 低电位移到高电位 红线表示外部因素等效场（external）Ee 黑线表示实际电力线电场 E R U 图 6.1、电动势的物理机理 + + + + + - - - - - n d v ds ds dt v dt ds dI = × = × × × = r d r （6.3） ï ï î ï ï í ì × × = ò ò v k d l d s I l s t d
W=qEe d =q[ dl (6.4) 电动势数值上等于外力(外部因素)把单位电荷从负极移到正极所做 的功。 评注:电动势客观上能够反映出外部能量转换成电能的能力,若电位 时间把丨电量(即通电电流为1)从负极移到正极,则电源提供的能 量为 W=E·(6.5) (6.5)式是电路分析中大家熟知的电源的功率。 、基本规律 1、欧姆定律 δc=yE或E=Pδ。(4.7) 理解:1)(4.7)式的物理意义终于电场驱动电荷运动。上式实质上 就是欧姆定律,称为欧姆定律的微分形式,推导如下 E=poc ed=ps ocs=RI 截面面积为S U= RI 图6.2欧姆定律
ò ò ò + - + - + - = = × = × = × E dl q W W qE dl q E dl e e e e （6.4） 电动势数值上等于外力（外部因素）把单位电荷从负极移到正极所做 的功。 评注：电动势客观上能够反映出外部能量转换成电能的能力，若电位 时间把 I 电量（即通电电流为 I）从负极移到正极，则电源提供的能 量为 W =e ×I （6.5） （6.5）式是电路分析中大家熟知的电源的功率。 三、基本规律 1、欧姆定律 ( 4 .7 ) c E E r d c d g = 或 = 理解：1）（4.7）式的物理意义终于电场驱动电荷运动。上式实质上 就是欧姆定律，称为欧姆定律的微分形式，推导如下 s s d c U = RI Ed =r = RI E =rd c d 截面面积为 S d c d 图 6.2 欧姆定律
2)、上式中,Y、p分别为导体的电导率和电阻率,它们互为倒数, 又因材料的不同而不同。例如土壤的电导率102,铜的电导率6.17×10 3)、.E是电功率的微分形式 E=. Dsdl d (di2)_dp sa 上式中,d为在垂直电流密度的方向上所取的面积元,a为电流密度 的方向上所取的线元 2、电荷守恒定律:通过任意闭合曲面的电流密度通量等于闭合曲面 内部电荷量的减少 注意:1)oot的由来: O ds (4:8)6t=+dg at 2)负号表示减少 讨论:若域内无电荷变化,电流处于一种稳恒状态,则(4.8)式右端为零, 称为电流连续性方程 电流守恒:流进的电流线 等于流出的电流线 中。dS=0(49) 63电流守恒图示
2）、上式中， ¡、r分别为导体的电导率和电阻率，它们互为倒数， 又因材料的不同而不同。例如土壤的电导率 10-2 ，铜的电导率 6.17´107 3）、 是电功率的微分形式 上式中，ds 为在垂直电流密度的方向上所取的面积元，dl 为电流密度 的方向上所取的线元 2、电荷守恒定律：通过任意闭合曲面的电流密度通量等于闭合曲面 内部电荷量的减少。 讨论：若域内无电荷变化，电流处于一种稳恒状态，则（4.8）式右端为零， 称为电流连续性方程 E d× dv dp dv dl dIE dsdl Edsdl E = × = × × = ( ) d d 注意：1）¶/¶t 的由来： ò × =- s c dsdt dq d 2）负号表示减少 (4.8) ò ¶ ¶ × = - s c t q ds d 0 (4.9) ò × = s c ds d 电流守恒：流进的电流线 等于流出的电流线 6.3 电流守恒图示
3、恒定电场的基本方程 ∫(E+E)=6:手E=0→」E=6 6.=(E+Ee)部外场存在时 E·dl=0→V×E=0 6·ds=0→V·6=0 YE 4、导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 静电场(p=0处)导电媒质中的恒定电场(电源外) E=0 V×E=0 VEVvq V V D=0 V·δ=0 0 D·dsI=δ·ds 场量的静电场(p=0处) EφDqε 对应关导体媒质中恒定电场(电源外)Eq6。IT 系: 问题:对于电场中的闭合回路,电力线如何分布?
3、恒定电场的基本方程 4、导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 问题：对于电场中的闭合回路，电力线如何分布？ ( ) 局部外场存在时 ( ) 0 E Ee E E dl E dl E dl c e e = + + × = × = Þ × = ò ò ò + - d g e e ï ï î ï ï í ì = × = Þ Ñ × = × = Þ Ñ ´ = ò ò E ds E dl E C c c d g d 0 d 0 0 0 静电场（ρ=0 处） 导电媒质中的恒定电场（电源外） 静电场（r=0 处） E j D q ε 导体媒质中恒定电场（电源外） E j δc I Υ 场 量 的 对 应 关 系： ò ò = = × = × Ñ = Ñ = Ñ × = Ñ × = = -Ñ = -Ñ Ñ ´ = Ñ ´ = s c s d c q D d s I d s D E E E E y d j j d j j 0 0 0 0 0 0 2 2
5、求解电流场的基本途径:电位拉普拉斯方程+边界条件 ①、拉普拉斯方程 E 6=n}→V()=0→VV)=0→(vq)=0=vq=0 V·δ=0 Vo=0(4.9) ②、边界条件 EIt=Eat δ1n=62n→yE1n=y2E
5、求解电流场的基本途径：电位拉普拉斯方程+边界条件 ①、拉普拉斯方程 ( ) 0 ( ( )) 0 ( ) 0 0 0 2 ÞÑ× = ÞÑ× -Ñ = Þ- Ñ× Ñ = ÞÑ = ï þ ï ý ü Ñ× = = = -Ñ g g j g j j d d g j E E E c c Ñ 2 j=0 （4.9） ②、边界条件 E1t=E2t dc1n=dc2n Þ g1E1n =g2E2n
四、例题 A、对称求解 例6-1、求内导体半径为R,外导体半径为R的同轴电缆的单位长度 绝缘电阻,设绝缘体的电导率为y 解:解题分析,漏电是因为材料的非理想绝缘特性所致 V→E→δ→I→R I→δ→E→V→R 设内外导体间电压为V,由于具有对称性 假设内导体单位长度带电量为τ,由于场分 布的对称性,根据高斯定律 E dl→E 2Te r R R R T I 2 ∫6 T ds aryl 2 R R2 R=-= R 1 2TY
四、例题 A、对称求解 例 6-1、求内导体半径为 R1，外导体半径为 R2的同轴电缆的单位长度 绝缘电阻，设绝缘体的电导率为γ 解：解题分析，漏电是因为材料的非理想绝缘特性所致 VÞE Þd ÞIÞR IÞd ÞE ÞVÞR 设内外导体间电压为 V，由于具有对称性 假设内导体单位长度带电量为t，，由于场分 布的对称性，根据高斯定律 r r R R V V E dl E r r E R R 1 0 2 ln ; 2 2 1 = = × Þ = ò pe t pg pg p pe t d g pe t d g 2 ln ln 2 2 1 1 2 ; 2 1 2 1 0 0 2 R R I V R R R V r r I ds r r Þ = = = = × = × × = ò
例6-2、以橡胶作为绝缘漏电阻是通过下述方法测定的:把长度为L 的电缆浸入盐水溶液中,然后在电缆导体和溶液之间加电压,从而可 测得电流。有一段3米长的电缆,浸入溶液后加200伏电压,测得电 流为2×10安培,已知绝缘层的厚度与中心导体的半径相等,求绝缘 层的电阻率(忽略边缘效应)。 解:盐水溶液可以看成良导体,所加电压就可以看成是加在电缆内 外层之间的;忽略边缘效应的意义:分析内外层导体之间场分布时, 可以将导体柱看成无限长处理 此处为内导体与 外导体壳之间的 绝缘层 根据上例结果,容易得出电导率为 R R R R R 2丌yl
例 6-2、以橡胶作为绝缘漏电阻是通过下述方法测定的：把长度为 L 的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可 测得电流。有一段 3 米长的电缆，浸入溶液后加 200 伏电压，测得电 流为 2´10-9安培，已知绝缘层的厚度与中心导体的半径相等，求绝缘 层的电阻率（忽略边缘效应）。 解：盐水溶液可以看成良导体，所加电压就可以看成是加在电缆内 外层之间的；忽略边缘效应的意义：分析内外层导体之间场分布时， 可以将导体柱看成无限长处理 根据上例结果，容易得出电导率为 此处为内导体与 外导体壳之间的 绝缘层 Vl R R I l R R I V R p g pg 2 ln 2 ln 1 2 1 2 = = Þ =
B、拉普拉斯直接求解 例题6-3、如图,一导电弧片由两块不同导电率的金属薄片构成,对 应弧角为90度,已知Y=6.5×107西门子米,y2=1.2×107西门子/ 米,设边缘弧片的电导率远大于金属薄片的电导率。如图,R1=30cm R2=45cm米,R3=60cm,钢片厚度为d=2mm,电极置于钢片的外内 弧边,设电极间加电压为100伏,求: (1)弧片内的电位分布(设内弧片上的电极为零电位)(10分) (2)在两种弧片的分界面上电流密度、电场强度、电位移向量这 三个量,那个连续?那个不连续?试说明理由(5分) (3)总电流(3分) (4)弧片电阻(2分) 解:1)分析:电位只与径向坐标有关,在两种媒质中分别求解拉普 拉斯方程 R2 RI d 材料Y 材料y2 电极边
B、拉普拉斯直接求解 例题 6-3、如图，一导电弧片由两块不同导电率的金属薄片构成，对 应弧角为 90 度，已知 g1 = 6.5´107西门子/米，g2 = 1.2´107西门子/ 米，设边缘弧片的电导率远大于金属薄片的电导率。如图，R1=30cm， R2=45cm 米，R3=60cm，钢片厚度为 d=2mm，电极置于钢片的外内 弧边，设电极间加电压为 100 伏，求： （1）弧片内的电位分布（设内弧片上的电极为零电位）（10 分） （2）在两种弧片的分界面上电流密度、电场强度、电位移向量这 三个量，那个连续？那个不连续？试说明理由（5 分） （3）总电流（3 分） （4）弧片电阻（2 分） 解：1）分析：电位只与径向坐标有关，在两种媒质中分别求解拉普 拉斯方程 R1 R2 R3 d 材料g1 材料g2 电极边