第四讲、静电场(Ⅱ §1.4高斯通量定理(下)§1.5静电场的基本方程边界条件§1.6泊札 与程和拉普拉斯方程 口、高斯通量定理(下) 高斯通量定理的应用 题4-1,试计算电荷面密度为G的无限大平面产生的电场强度,1)利月 高斯定律。2)直接计算 浑:1)、解题分析,在板的两侧电场方,向一定向外,如图4.1所示,且 大小相同 闭合面法向 闭合积分面,上下面为S 图4.1、无限大平面的电场 fE. ds=f G Eds +l oE. dS+s oE. ds=q 则面法向方向与电场方向垂直,故侧面通量积分为零 EaE·aS+ S上 s下c02 S →E0ES+E0ES=σS→E (4.1a)
第四讲、静电场（Ⅱ） §1.4 高斯通量定理（下）§1.5 静电场的基本方程·边界条件§1.6 泊松 方程和拉普拉斯方程 四、 高斯通量定理（下） 2、高斯通量定理的应用 例题 4-1，试计算电荷面密度为s的无限大平面产生的电场强度，1）利用 高斯定律。2）直接计算 解：1）、解题分析，在板的两侧电场方，向一定向外，如图 4.1 所示，且 大小相同 E dS E dS E dS E dS q S S S S × = × + × + × = ò ò 上 ò 下 ò 侧 0 0 0 0 e e e e 侧面法向方向与电场方向垂直，故侧面通量积分为零 0 0 0 0 0 2e s e e s e e s Þ + = Þ = Þ × + × = ò ò ES ES S E E dS E dS S S上 S下 （4.1a） 图 4.1、无限大平面的电场 闭合积分面，上下面为 S 闭合面法向
以向上为Z轴,无限大平面为XOY平面,则电场强度可表示为 k,上半平面 2 E 0 只k,下半平面(41b) 2 )如图4.2 Z 轴上任意点坐标(00) 环带元,其中带宽dr 环带元对应 的弧角dax, 弧长rdx 图4.2、平面电场的直接计算 dE2=Ecos0→E=E:=∫dE: odr·rdaz E os e cos e 4兀E。r2+z 4兀E r-+2 2 2 a TE 28 r+2 (r-+z ∠ 2E。2 02 r+z
以向上为 Z 轴，无限大平面为 XOY 平面，则电场强度可表示为 ï ï î ï ï í ì - = 下半平面 上半平面 , 2 , 2 0 0 k k E e s e s （4.1b） 2）如图 4.2 2 0 1 0 2 2 0 2 3 0 2 2 2 3 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 2 1 ( ) 2 3 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 4 cos 4 cos 1 4 cos e s e s e s a pe s q pe s a q pe q p = ¥ + × - + = × × + = + = + × = + Þ = = Þ = = ò ò ò ò òò ò ¥ ¥ r z z dr r z zr r z zr dr d r z dr rd z r z dq E dEz dE E E z dEz q a X 图 4.2、平面电场的直接计算 Z 轴上任意点坐标（0,0,z） 环带元，其中带宽 dr Z Y 环带元对应 的弧角 da， 弧长 r da a r
列题4-2,半径为R的均匀带电球电荷体密度为p,1)、求场中各处的电与 虽度和电位分布,2)、若在该球中挖去一个半径为R的小球,已知小球白 求心到大球的球心的距离为d,求小球内处处的电场强度。 浑:1)分析,电荷的分布具有球对称性,故对于球内外任意一点的场强 方向一定是该点的径向向外,在同一球面上,场强大小一定相同 带电球 带电球体 内高斯面 外高斯面 图4.3(a)带电球外的电场 (b)带电球内的电场 ≥R{D·dS=εnE·ds R E E R 4 4 JEAl E●d I OR 4πEor 4E0 4e r 38. r r≤R∮D·d5=E·dS=4m26E=q →E E= Er 4πEr 4πEor 38 R dr 元E0F R4TTEor ·(R2-r2)+5 PR I R 3E。R2E 68
例题 4-2，半径为 R 的均匀带电球电荷体密度为r，1）、求场中各处的电场 强度和电位分布，2）、若在该球中挖去一个半径为 R1的小球，已知小球的 球心到大球的球心的距离为 d，求小球内处处的电场强度。 解：1）分析，电荷的分布具有球对称性，故对于球内外任意一点的场强， 其方向一定是该点的径向向外，在同一球面上，场强大小一定相同 r R r q dr r q r dr r q E dl r r R E Er r R r R r q E r R D dS E dS r E q r r r S S 1 3 1 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 0 3 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2 0 0 2 0 e r pe pe pe j e r e r pe r p pe e p e = = = = = = Þ = = × Þ = = ³ = = = ò ò ò ò ò ¥ ¥ ¥ · · · · ) 3 1 ( 2 6 2 1 3 ( ) 2 1 3 4 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 4 4 4 2 2 0 2 0 2 0 0 3 2 2 0 2 0 3 2 0 3 0 0 0 2 0 3 2 0 0 2 0 R r R r R R R r dr r R dr r r E dl r E Er rr r r r r q E r R D dS E dS r E q R r r R S S = × × - + = - = - × + × = = = Þ = = = × Þ = = £ = = = ò ò ò ò ò ¥ ¥ · · · e r e r e r e r e r pe r p pe r p j e r e r e r pe r p pe e p e r 带电球体 外高斯面 r 带电球 内高斯面 图 4.3（a）带电球外的电场 （b）带电球内的电场
)、分析,球内挖了一个小洞,电荷分布不再对称,故不能直接利用高其 辶律求解。思路:可将空洞用原电荷密度(ρ)填平,如此大球电荷分有 寸称,再反填空洞(-p),如此空洞电荷分布也对称,根据叠加原理,米 丙部分电场叠加所得总电场既为原问题的解 大球心 小球心 → d 图4.4带电球内空洞里的电场 E大球30 →B小球分)O 小球一 刁题:对于电场我们学习了那些基本方程?
2）、分析，球内挖了一个小洞，电荷分布不再对称，故不能直接利用高斯 定律求解。思路：可将空洞用原电荷密度（r）填平，如此大球电荷分布 对称，再反填空洞（-r），如此空洞电荷分布也对称，根据叠加原理，将 两部分电场叠加所得总电场既为原问题的解 E E E r r di E r E r 0 1 2 0 2 0 1 0 3 3 3 3 e r e r e r e r Þ = + = - = ï ï î ï ï í ì - = = 大球 小球 （ ） 小球 大球 问题：对于电场我们学习了那些基本方程？ r2 r1 r1 大球心 小球心 Þ + X d 图 4.4 带电球内空洞里的电场
五、静电场基本方程 争电场基本方程:积分形式、微分形式如下: edl= o V×E=0无旋 pD·ds=pd,V,D=P有源 d= 8E 平注1)积分方程永远成立,面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式 积分方程得出;2)微分方程成立的条件是介质连续可导; 刁题:1)求解电磁场问题,人们思维定势是:微分求解方程+边界条件, 寸于分层介质或介质不连续情况,必须分区域处理,在边界利用边界条 先行连接;2)处理边界问题的基础是静电场基本方程的积分方程 、分界面上的边值条件 边值条件 E=0,→E1=E2 (4.2a) PD.ds=g, =EE-8,En=0 (4.26 D、边界条件的推导
五、静电场基本方程 静电场基本方程：积分形式、微分形式如下： D E D d S dV D E d l E s v e r r = × = Ñ × = × = Ñ ´ = ò ò ò 有源 无旋 , 0 , 0 评注 1）积分方程永远成立，面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式 由积分方程得出；2）微分方程成立的条件是介质连续可导； 问题：1）求解电磁场问题，人们思维定势是：微分求解方程+边界条件， 对于分层介质或介质不连续情况，必须分区域处理，在边界利用边界条件 进行连接；2）处理边界问题的基础是静电场基本方程的积分方程 六、分界面上的边值条件 1、 边值条件 , (4.2 ) 0, (4.2 ) 1 1 2 2 1 2 D dS q E E b E dl E E a n n s t t × = Þ e - e = s × = Þ = ò ò ①、边界条件的推导
(4.2a)的推导 E X 任取一矩形闭合曲 线,宽为小量△L,矩 形高h为小小量 图45切向电场边界条件 ∮E·m=「E·d+Ed+「E·d+ 较之上下项,此两项为零 →手E丁Ed+E=EdEd=0 →E下△h-E:△h=E1-E2=0 →
（4.2a）的推导 t t t t E E E li E li E E E dl E dl E dl E dli E dli 1 2 1 2 0 0 Þ = Þ - = - = Þ = + = - = ×D ×D × × × × × ò ò ò ò ò 下 上 下 上 下 上 较之上下项，此两项为零 ò ò ò ò ò × = × + × + × + × = 下 上 右 左 E dl E dl E dl E dl E dl 0 任 取一矩形 闭合曲 线，宽为小量 DL，矩 形高 h 为小小量 e2 e1 E2 E1 a2 a1 图 4.5 切向电场边界条件 X
(4.2b)的推导 D 任取一薄饼状闭合曲 面,面积为小量△S, 薄饼厚度h为小小量 图46法向电场边界条件 EdS=「Eds+E6S +E·dS 较之上下项,此项为零 ∮EdS丁E6+E=E:△+EAS(- (E-E. nAS=OAS →E,n-E1 寸论:1)在电介质与电介质的情况下,分界面上不存在自由电荷: E1,=E It 2t →E1sina=E2Sin2 &,E=8E &Ecos a1=8E cos a 2 tg a1 8 → tg a2 e
（4.2b）的推导 讨论：1）在电介质与电介质的情况下，分界面上不存在自由电荷： 较之上下项，此项为零 ò ò ò ò ò E × dS = E × dS + E × dS + E × dS = sds 下 上 侧 s s Þ - = = - D = D = + = D + D - × × × × × × ò ò ò E n E n E E n S S E dS E dS E dS E Sn E S n 2 1 2 1 （ ） 上 下 （ ） 下 上 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 cos cos sin sin e e a a e e e a e a a a Þ = = Þ = = Þ = tg tg E E E E E E E E n n t t a1 a2 任取一薄饼状闭合曲 面，面积为小量DS， 薄饼厚度 h 为小小量 e2 e1 D2 D1 图 4.6 法向电场边界条件 n
)在导体与电介质的情况下,分界面上存在自由电荷,以1表示导体, 支示电介质 E 2 t 0 D 0 E D 2 2 2、边界条件的电位表示 介质与介质: 2 (2 ( 8 O图47、内为导体,法向方向 an an 是由内指向外部电介子 I导体与介质: 1=q p2 e2 on --O (3.5)
2）在导体与电介质的情况下，分界面上存在自由电荷，以 1 表示导体，2 表示电介质 （4.3） ②、边界条件的电位表示 Ⅰ介质与介质： Ⅱ导体与介质： s j e j j = - ¶ ¶ = n 2 n 2 1 2 （3.5） s e s = = = = = n n t t n E D E E D 2 2 1 2 1 , 0 , 0 n + 图 4.7、内为导体，法向方向 是由内指向外部电介子 e s j e j e j j = - ¶ ¶ - ¶ ¶ = n n n 1n 1 2 2 1 2
七、泊松方程、拉普拉斯方程 方程及其意义 V·D=p,→V·E=Q 白松方程: V×E=0.→E=-V →q 王无源区,方程称为拉普拉斯方程 2 (46) 主意:1)着眼于解标量方程,电场可以通过电位与电场的关系确定 )泊松方程或拉普拉斯方程是着眼于有限域问题。 )微分方程+边值问题是电磁场问题的一般方法。 )边界处理是解决问题的关键 、边界条件分类 、以r表示边界,则 第一类边界条件 p r= given 第二类: 々= given 第三类: rI= given r2= given 第三类又称为混合边 界条件: 其中:T1+T2=T
e r j j e r r Þ Ñ = - Ñ ´ = Þ = -Ñ Ñ × = Þ Ñ × = 2 0, , E E D E G + G = G = = ¶ ¶ = ¶ ¶ = G G G G 1 2 1 2 其中： 第三类又称为混合边 界条件： 第三类： ， 第二类： 第一类边界条件 given given n given n given j j j 七、泊松方程、拉普拉斯方程 1、 方程及其意义 泊松方程： 在无源区，方程称为拉普拉斯方程 0 2 Ñ j = （4.6） 注意：1）着眼于解标量方程，电场可以通过电位与电场的关系确定。 2）泊松方程或拉普拉斯方程是着眼于有限域问题。 3）微分方程+边值问题是电磁场问题的一般方法。 4）边界处理是解决问题的关键. 2、边界条件分类 Ⅰ、以G表示边界，则
I、解的惟一性定理 专述:方程确定和边界(第一、第三类)确定,方程可以惟一确定;方程 角定和边界(第二类)确定,方程可以确定到与真解相差一个常数; 列4-3如图所示:平行板电容器面积为S由两层介质构成,介电常数分另 为E1、E2,两极板电压为U,两层介质的厚度分别为d1、d2,忽略边缘效应 求出两层介质中的1)电位分布。2)电场分布。3)该电容器的电容。 浑:1)在平行板电容器内部无电荷分布, 十 则用求解电位的拉普拉斯方程+边界条件 求解 0→q=C1x+C x=d1+d2 X 这样求解有无问题? x 0 Dx+D 1 0p1k=a4=92|x=d Cd, +Co=dd,+ D 021x=+2=0 →D1(d1+d2)+D0=0
Ⅱ、解的惟一性定理 表述：方程确定和边界（第一、第三类）确定，方程可以惟一确定；方程 确定和边界（第二类）确定，方程可以确定到与真解相差一个常数； 例 4-3 如图所示：平行板电容器面积为 S 由两层介质构成，介电常数分别 为e1、e2，两极板电压为 U，两层介质的厚度分别为 d1、d2，忽略边缘效应， 求出两层介质中的 1）电位分布。2）电场分布。3）该电容器的电容。 解：1）在平行板电容器内部无电荷分布， 利用求解电位的拉普拉斯方程+边界条件 求解 + X d2 d1 - U 这样求解有无问题？ ïî ï í ì = Ñ = Þ = + = + = 0 0 1 2 0 1 0 2 x d d x U C x C j j j j ï ï ï î ï ï ï í ì = Þ + + = Þ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = Þ + = + = Þ = î í ì = + = + Ñ = Þ = + = = = = = 0 ( ) 0 0 2 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 D d d D C D x x C d C D d D U C U D x D C x C x d d x d x d x d x d x j e e j e j e j j j j j j