第十四讲、射变场之三 §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理(Ⅱ) §5-6、动态位 §5-7、达朗贝尔方程的解 §5-8、电磁辐射
第十四讲、时变场之二 §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理(Ⅱ) §5-6、动态位 §5-7、达朗贝尔方程的解 §5-8、电磁辐射
一、玻印亭定理与玻印亭向量(Ⅱ) 1、玻印亭向量:S=E×H 玻印亭定理 E×HCS at 该项为沿任意该项为闭合该项为闭合该项为闭合 闭合曲面单位曲内所有外曲内单位时曲内电磁场 时间穿出的能源单位时间间导体内部能量的增加 量 提供的能量的热耗 讨论:若场能不随时间变化,且区域内无电源 「E×F,d6= 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗 若无耗, E×F,a5=0则表示流进=流出
一、玻印亭定理与玻印亭向量（Ⅱ） 1、玻印亭向量： 玻印亭定理: 讨论：若场能不随时间变化，且区域内无电源 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗。 若无耗， 则表示流进=流出。 S E H = ´ t W E H dS dV dV V c c e s V E ¶ ¶ ´ × = - - ò ò ò × g d d 2 该项为沿任意 闭合曲面单位 时间穿出的能 量 该项为闭合 曲内所有外 源单位时间 提供的能量 该项为闭合 曲内单位时 间导体内部 的热耗 该项为闭合 曲内电磁场 能量的增加 E H dS dV V c òs ò - ´ × = g d 2 - ´ × = 0 òs E H dS
2、算例 例14.1、设同轴电缆的内外导体均为完纯导体(内外半径分别为 R、R2),1)、若中间的介质也无损(γ0),始端接有电压为U的电 源,终端接有负载R,设外导体面、内导体各处均匀流动,且电流 强度为I,试计算流入图示闭合面的功率;2)、若内导体不是完纯 导体(y≠∞),情况如何? 解: 电介质内部距轴心r处的高斯面,高斯面上 电场强度大小相等,方向沿径向向外 R 分析:找出电场强度(E)、磁场强度(H)的大小及方向,进而找 出玻印亭向量S E R →S=E×H R 2T In H R 2丌 闭合曲面功率计算:图示闭合曲面包括三个部分,截面ab、截面 cd、侧面 S·dS ds+ Ls dS+S ds) S侧
2、算例 例 14.1、设同轴电缆的内外导体均为完纯导体（内外半径分别为 R1、R2）， 1）、若中间的介质也无损（g=0），始端接有电压为 U 的电 源，终端接有负载 R，设外导体面、内导体各处均匀流动，且电流 强度为 I，试计算流入图示闭合面的功率；2）、若内导体不是完纯 导体（g≠∞），情况如何？ 解： 分析：找出电场强度（E）、磁场强度（H）的大小及方向，进而找 出玻印亭向量 S 闭合曲面功率计算：图示闭合曲面包括三个部分，截面 ab、截面 cd、侧面 ï ï î ï ï í ì = Þ = ´ = = a p p r I H i r R R U S E H r r R R U E 1 2 1 2 ln 1 ln 2 1 2 1 2 ( ) ò ò ò ò - × = - × + × + × Sab S Scd S dS S dS S dS S dS 侧 U b c a d R X 电介质内部距轴心 r 处的高斯面，高斯面上 电场强度大小相等，方向沿径向向外
2丌rcr=U RR 2 S·dS=「2 2丌rcr U Scd R 2丌lr Ror R ds=o S侧 2)若导体非完纯导体,电场就会有一个切向分量,玻印亭向量就 有一个指向径向的分量。根据S=ExH=1/(ymr2)×1/(2mr),所以闭 合曲面电流密度积分等于侧面积分为2丌rLS=1/yxL/πrx×12=R12 电场强度方向沿电流方向,磁感应强度方向为角向 R X 问题:如何求解麦克思韦方程组( Maxwell equations)?
ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï í ì - × = - × = × = - - × = × = ò ò ò ò ò 0 2 1 2 ln 2 1 2 ln 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 S侧 R Scd R R Sab R S d S rdr UI r R R UI S d S rdr UI r R R UI S d S p p p p 2）若导体非完纯导体，电场就会有一个切向分量，玻印亭向量就 有一个指向径向的分量。根据 S=EχH=I/(gπr 2 )´I/(2πr),所以闭 合曲面电流密度积分等于侧面积分为 2πrLS=1/g´L/πr 2 ´ I2 =R I2 问题：如何求解麦克思韦方程组（Maxwell Equations）？ U a d R X 电场强度方向沿电流方向，磁感应强度方向为角向
动态位 B=V×A (14.1) 1、动态位 E+aq Vo (14 (4)V.B=0→B=V×A B aA (1)V×E=--→V×(E+-)=0→E+ at a (3)V.D=p→V·(--Vq) a aD A 取规范: a p q ula (洛仑兹条件) 右式称为非齐次的波动方程或称为动态位的达朗贝尔方程 ⅴA-10=。其中c称为真空中的电磁波传播速度(光速 =3×103 4丌×10 10 8 36丌
二、动态位 1、动态位 （3）、（2）式可以进一步写成 取规范： （洛仑兹条件） 右式称为非齐次的波动方程或称为动态位的达朗贝尔方程 (14.2) (14.1) j = -Ñ ¶ ¶ + = Ñ´ t A E B A t t A A t D H t A D t A E t A E t B E B B A ¶ -Ñ ¶ ¶ ¶ - ÞÑ´ Ñ´ = - ¶ ¶ Ñ´ = + -Ñ = ¶ ¶ Ñ× = Þ Ñ× - =-Ñ ¶ ¶ = Þ + ¶ ¶ ÞÑ´ + ¶ ¶ Ñ´ =- Ñ× = Þ =Ñ´ ( ) (2) ( ) (3) ( ) (1) ( ) 0 (4) 0 e j d m d e r r j j ( ) (2) (3) 2 2 2 2 Ñ ¢ ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ Ñ× -Ñ = - Ñ× = - ¢ ¶ ¶ Ñ + md me me j e r j t t A A A A t = 0 ¶ ¶ Ñ× + t A j me (14.3) 2 2 2 c t A A me md = - ¶ ¶ Ñ - (14.4) 2 2 2 e j r j me = - ¶ ¶ Ñ - t c t A c A md =- ¶ ¶ Ñ - 2 2 2 2 1 e j r j =- ¶ ¶ Ñ - 2 2 2 2 1 c t 其中 c 称为真空中的电磁波传播速度（光速） 8 0 0 7 9 3 10 10 36 1 4 10 1 1 = ´ ´ ´ = = - - p p m e c
2、无限域的电磁场方程组的解(达朗贝尔方程的解) →9(x,y,) P(x',y 4丌E 0 1a(ro) a(ro )1o(r) →P=F(t--)+F2(t+ ar F(t--)F2(t → C-,对于源激发场只保留第一项 P(x,y,z →0(x,y,2) 4 在全空间达朗贝尔方程的解: A(xy-)4(x)y,=2t cd(145) 4丌 P(x q(x,y,=)= (146 4丌E 注意:1)、波动方程解的时间宗量为:(t-r/)是标志波动性的重 要特征;波动的本质在于该时间宗量,(14.5)、(14.6)又分别称为 向量和标量推迟位,c为传播速度;2)、t土r/分别表示电磁波的传 播方向为由激励源向外扩散波或由其他处源传播的行波
2、无限域的电磁场方程组的解（达朗贝尔方程的解） 在全空间达朗贝尔方程的解： 注意：1）、波动方程解的时间宗量为：（t - r/v）是标志波动性的重 要特征；波动的本质在于该时间宗量，（14.5）、（14.6）又分别称为 向量和标量推迟位，c 为传播速度；2）、t±r/v 分别表示电磁波的传 播方向为由激励源向外扩散波或由其他处源传播的行波。 (14.5) ( , , , ) 4 ( , , ) ò¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - = V c dV r c r x y z t A x y z d p m (14.6) ( , , , ) 4 1 ( , , ) ò¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - = V c dV r c r x y z t x y z r pe j ï ï ï ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï ï ï ï í ì ¢ ¢ ¢ ¢ - = - Þ = ¶ ¶ Ñ - + + - Þ = Þ = - + + ¶ ¶ = ¶ ¶ Þ ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = Þ ¶ ¶ Ñ - ¢ ¢ ¢ ¢ Ñ = - Þ = ò ò ¢ ¢ V c V c dV r c r x y z t x y z c t r c r F t r c r F t c r F t c r r F t t r r c r r c t r r r r c t r r dV r x y z x y z ( , , , ) 4 1 ( , , ) 1 , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 1 ( , , ) 4 1 ( , , ) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r pe j e j r j j j j j j j j j j r pe j e r j 对于源激发场只保留第一项
2)时域与频域 时域:是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是任意形式的 频域:是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是是正弦或余弦形 式。我们知道,电磁波是由源产生的,故空间电场或磁场随时间的变 化关系也是正弦或余弦形式的,而发射源通常是以一定频率激发电磁 场的,故称为频域,参考(14.5)及(14.6)式任何一个场量(向量 或标量),在频域都可以表达成如下形式: (x,y, 2, *)=F(x, y, 2sin(ot +) F(x,y, 2, t-=F(x,y, 2)[o(t-)+(]=F(x,y, z)sin(at- Br+o) f(x,y, z, t)=f(x, y, z )sin(at+) f(,y,z,t f(x,y, =sino(t -)+o]=f(x, y, z)sin(at-Br+o) 上式中,F或∫分别表示空间任意向量或标量 3)物理量的向量表示 p=Pm sin(at Br+中)÷ p,e (Br-pe) 8m sin(ot- Br+s) δ|6e-) j(Br-中) i=Im sin(ot- Br+o,) ne P=m sin(ot-Br+Do)=0=me (Br-) (14.7) A sin(Ot-Br+φA) j(Br-φA) B= B sin(ot-Br+φg) j(Br-φB) E= E sin(Ot-βr+φg) E OF JOF (14.8) t F (Fe/) (14.9)
2）时域与频域 时域：是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是任意形式的 频域：是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是是正弦或余弦形 式。我们知道，电磁波是由源产生的，故空间电场或磁场随时间的变 化关系也是正弦或余弦形式的，而发射源通常是以一定频率激发电磁 场的，故称为频域，参考（14.5）及（14.6）式任何一个场量（向量 或标量），在频域都可以表达成如下形式： 上式中，F 或 f 分别表示空间任意向量或标量 3）物理量的向量表示 (14.7) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï í ì = ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï í ì Þ ï ï ï ï ï î ï ï ï ï ï í ì = - + = - + = - + = - + = - + = - + = - + - - - - - - - - - - - - - - E B A I j r m j r m j r m j r m j r m j r m j r m m E m B m A m m I m m E e B e A e e I e e e E B A I E E t r B B t r A A t r t r i I t r t r t r b f b f b f b f b f b f b f j d r j d r j d r j d r w b f w b f w b f j j w b f w b f d d w b f r r w b f Im( ) (14 .9 ) (14 .8 ) j t F F e j F t F w w = = ¶ ¶ ( , , , ) ( , , )sin[ ( ) ] ( , , )sin( ) ( , , , ) ( , , )sin( ) ( , , , ) ( , , )sin[ ( ) ] ( , , )sin( ) ( , , , ) ( , , )sin( ) w j w b j w j w j w b j w j - = - + = - + = + - = - + = - + = + f x y z t r c r f x y z t c r f x y z t f x y z t f x y z t F x y z t r c r F x y z t c r F x y z t F x y z t F x y z t
E=-(V+ an)=-(V0+jo4) V·A+pE 0→q (14.10) JopE V(V·A) O4) JopE 4)、波动特性的相关表征参数 j(ot-Br+φ)=j0(t--) λ=Tv TT2xf2丌 ,兀 (14.11) f Bb B β 2: β 在(14.11)式中,β称为波数,它与电磁波的波长之积为2丌 5)电尺寸。在真空中,V=3*10°m/s, 工频:f=50,λ=3*10°/50=6000km 射频频:f=100H,入=3*10/(100*10)=3m 微波:f=1GHz,λ=3*10%/(1000*10°)=0.3m 对于工频,几十公里范围内的电压或电流信号以及空间电磁波,都可 以看作处处相等的场量都可以看成由静电场和恒定磁场的规律来进 行处理。电压或电流量可以以电路分析中集中参数的方式处理;高频 情况则完全不同 工频下,一个周期T,所对 应的波长6000km 几十km范围,对应的场量 则完全看成不变的
4）、波动特性的相关表征参数 在（14.11）式中，β称为波数，它与电磁波的波长之积为 2π 5）电尺寸。在真空中，V=3*108 m/s， 对于工频，几十公里范围内的电压或电流信号以及空间电磁波，都可 以看作处处相等的场量都可以看成由静电场和恒定磁场的规律来进 行处理。电压或电流量可以以电路分析中集中参数的方式处理；高频 情况则完全不同。 ) ( ) ( 0 (14.10) ; ( ) ( ) j A j A E j A t A j A t A B A E w wme wme j j me j j w + Ñ Ñ × Þ = - Ñ × = Þ = ¶ ¶ Ñ × + = - Ñ + ¶ ¶ = Ñ ´ = - Ñ + l p b b p b p b p b w b w l b w b w w b f w 2 (14 .11) 2 2 2 ( ) ( ) = = = = = = = = - + = - Þ = or Tf T T f T f v Tv v r j t r j t 工频：f=50，λ=3*108 /50=6000km 射频频：f=100MHz，λ=3*108 /（100*106）=3m 微波：f=1GHz，λ=3*108 /（1000*106）=0.3m 工频下，一个周期 T，所对 应的波长 6000km 几十 km 范围，对应的场量 则完全看成不变的
三、算例 例14.1已知自由空间中电 E=1000cs0t-B=)k 磁波的两个分量为 H=265c0s(0t-Bz) 式中f=20兆赫,B=o(εμ)2=0.42弧度米 1)写出玻印亭向量的时间函数 2)计算出玻印亭向量的平均值 3)计算流入图示平行六面体(长1米、横截面积为0.25m)体积中 的净功率流 解:由玻印亭向量的定义得 =EXH=26500s(0t-B2) 2)利用平均值的定义 sdt 2650 cOS(Ot-B2dtj 2650·(cos2(t-Bz)+1)dj 1325 3)由净功率流的定义 Sds=-(sds+Sds+Sds+「sd+「Sds+[sds 外 Sds+ Sds) 「n2650c0520(-k 前 )e2650 cos(ot-B)kdsk 2650 - (cos 2ot-cos 2(ot-0.25) 42 2650 (2sin 0. 42 sin( 2ot +2ot-2B ))=-270.17sin(2Ot-B) 2
三、算例 例 14.1 已知自由空间中电 磁波的两个分量为 式中 f=20 兆赫，β=ω(εμ) 1/2 = 0.42 弧度/米 1） 写出玻印亭向量的时间函数 2） 计算出玻印亭向量的平均值 3） 计算流入图示平行六面体（长 1 米、横截面积为 0.25m2）体积中 的净功率流 解：由玻印亭向量的定义得 1） 2）利用平均值的定义 3）由净功率流的定义 H t z i E t z k 2.65cos( ) 1000cos( ) w b w b = - = - S E H t z j 2650cos ( ) 2 = ´ = w -b 1325 (cos 2( ) 1) 2 1 2650 2650 cos ( ) 0 0 2 = × × - + = - = = ò ò ò T t z dt j T t z dt j T Sdt S T T T w b w b )) 270.17sin(2 ) 2 2 2 2 ( 2sin 0.42sin( 8 2650 (cos 2 cos 2( 0.25)) 2 1 4 2650 2650 cos ( ) 2650 cos ( ) 2 2 w b w w b w w w w b = - - + - = - = × - - = - - - - = - + - = - + + + + + ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò t t t t t tkds k t kdsk Sds Sds Sds Sds Sds Sds Sds Sds Sds 前 前 前 后 上 下 里 外 前 后 （ ） （ ） X Z Y
例14.2设由完纯导体组成的同轴电缆,其内径为R1=1mm,外径为 R2=4mm,内外导体间介质的物理参数为ur=1、ε;=225,设已知内外 导体间的电场强度为 100 sin( 10t-B:) 其中z为电缆的轴向长度,问 (1)场强的表达式是否具有波动性?说明理由 (2)决定β (3)写出磁场强度的表达式 (4)写出内导体表面的面电流密度 (5)计算0≤z≤1米中的位移电流 解:1)具有波动性,因为:电场表达式的宗量为: t- B2=O(t-o 具备波动方程的形式 2)β为 O B=0VA=0√04,EE O1、u..4:/0>10-9 2Nl08√1225 36 3×1082 3)磁场强度的表达式为 ouH =V×E=a- a 100sin(ot-B=)r t H 1 a 100sin(ot-B2 a 100sin(at-B=) dta az z 103t β100 sin(ot-Bz)a r Vu Sin(ot-Br)a=0.398 问题:为什么不采用定积分?因为定积分更合理!
例 14.2 设由完纯导体组成的同轴电缆，其内径为 R1=1mm，外径为 R2=4mm，内外导体间介质的物理参数为μr=1、εr=2.25，设已知内外 导体间的电场强度为 其中 z 为电缆的轴向长度，问 （1） 场强的表达式是否具有波动性？说明理由 （2） 决定b （3） 写出磁场强度的表达式 （4） 写出内导体表面的面电流密度 （5） 计算 0≤z≤1 米中的位移电流 解：1）具有波动性，因为：电场表达式的宗量为： 具备波动方程的形式 2）b为 3）磁场强度的表达式为 问题：为什么不采用定积分？因为定积分更合理！ w b a a m e w b a mw b a w b m a w b m w b a m ˆ ) 2 sin(10 sin( ) ˆ 0.398 100 sin( ) ˆ 100 ˆ 1 100sin( ) ˆ 1 100sin( ) 100sin( ) ˆ 8 r z t t z r t z r dt r t z z dt r t z z H r t z r z E t H - = - = - = ú û ù ê ë é - ¶ ¶ = - - ´ ¶ ¶ Þ = - - ´ ¶ ¶ = Ñ´ = ¶ ¶ - ò ò t z r r E sin( 10 ) 100 8 = - b ( ) b w w w b z t - z = t - 2 1 3 10 1 2.25 10 36 10 4 10 1 8 8 9 7 0 0 = ´ × = × × × = Þ = = Þ = = - - p w m e p b w me w m m e e b me w r r r r v
