第九讲、恒定礅场(Ⅱ) §3.1、媒质的磁化 §3.2、恒定磁场的基本方程·分解面的边值条件 §3.3、标量磁位
第九讲、恒定磁场（Ⅱ） §3.1、媒质的磁化 §3.2、恒定磁场的基本方程·分解面的边值条件 §3.3、标量磁位
媒质的磁化 1、材料的磁特性:磁化 A、几个相关概念 ①、磁矩 m=ⅠSn=S 环电流的面积为S (91) 电流大小为I 环电流的法向方向如图 图91力矩 注意:法向与电流环绕向满足右手螺弦法则 ②、转矩(力矩) B T=m×B(9.2) 注意: 图92转矩 1)力矩的物理意义:转矩(T)使得磁矩转向外磁感应强度(B)的 方向 转矩来源于磁矩受力的非平动性 2)转矩的大小为 TBS in0,当0=0或π时,转矩为零 3)稳定平衡与非稳定平衡:0=0,稳定平衡;0=π,非稳定平衡 璁稳定平衡 ,非稳定平衡 图93稳定平衡与非稳定平衡
一、媒质的磁化 1、材料的磁特性:磁化 A、几个相关概念 ①、磁矩 m ISn IS = ˆ = （9.1） 注意：法向与电流环绕向满足右手螺弦法则 ②、转矩（力矩） （9.2） 注意： 1）力矩的物理意义：转矩（T）使得磁矩转向外磁感应强度（B）的 方向 转矩来源于磁矩受力的非平动性 2）转矩的大小为 TBSinθ,当 θ=0 或 π 时，转矩为零 3）稳定平衡与非稳定平衡：θ=0，稳定平衡；θ=π，非稳定平衡 T m B = ´ B n ˆ 图 9.2 转矩 n ˆ 环电流的面积为 S 电流大小为 I 环电流的法向方向如图 图 9.1 力矩 稳定平衡 非稳定平衡 图 9.3 稳定平衡与非稳定平衡
4)磁化:一般顺磁物质磁化的结果使得总的磁场增强 总=B+B>B 5)物质的磁分类 顺磁性物质(一般,导磁率≥0) 反磁性物质(很少) 铁磁性物质(导磁率>>) B、磁化的描述 ①、磁化强度:为了宏观描述材料的磁化特征,引入一个称为媒质的 磁化强度的物理量。在媒质中某点,围绕该点取一小的体积元△V, 叠加出该体积元内所有的磁矩,则磁化强度为 M=I ∑m (93) △ⅴ→0△V 媒质中某点的磁化强度数值上等于在该点单位体积内的磁矩。 注意 1)磁化的意义:使原磁场增强。本质上讲使由于分子电流的磁化, 在宏观上形成体电流体分布和面电流分布 2)磁铁自身外层就是一包 络电流 :;外层形成一包 络电流 图94稳定平衡与非稳定平衡
4）磁化：一般顺磁物质磁化的结果使得总的磁场增强 5）物质的磁分类 B、磁化的描述 ①、磁化强度：为了宏观描述材料的磁化特征，引入一个称为媒质的 磁化强度的物理量。在媒质中某点，围绕该点取一小的体积元ΔV， 叠加出该体积元内所有的磁矩，则磁化强度为 （9.3） 媒质中某点的磁化强度数值上等于在该点单位体积内的磁矩。 注意 1）磁化的意义：使原磁场增强。本质上讲使由于分子电流的磁化， 在宏观上形成体电流体分布和面电流分布 2）磁铁自身外层就是一包 络电流 ï î ï í ì >> ³ 铁磁性物质（导磁率 ） 反磁性物质（很少） 顺磁性物质 一般，导磁率 0 0 ( ) m m B B0 B B0 总 = + 磁化 > v M lim v 0 D å = D ® m 外层形成一包 络电流 图 9.4 稳定平衡与非稳定平衡
2、磁化体密度与面密度 V×M=δ(9.4 公式推导见3-6节 Mx=Km(9.5)由磁化材料内部指向外部 注意: 1)、(9.4)式是严格的,可由定义直接推出,参见郭硕鸿《电动力学》 第一版第29页或梁灿彬等《电磁学》第一版第449页 2)、(9.5)式可由(1)式推出,利用向量恒等式 V×F·chv=-F×l
2、磁化体密度与面密度 ( ) ( ) î í ì ´ = Ñ ´ = - 由磁化材料内部指向外 部 公式推导见 节 M n K n M m m ˆ 9.5 ˆ 9.4 3 6 d 注意： 1）、（9.4）式是严格的，可由定义直接推出，参见郭硕鸿《电动力学》 第一版第 29 页或梁灿彬等《电磁学》第一版第 449 页 2）、（9.5）式可由（1）式推出，利用向量恒等式 F dv F ds Ñ´ × = - ´ ò ò
恒定磁场的基本方程 1、普遍形式下安培环路定律的表述 "H为磁场强度 手Fd=1 ux:媒质的相对磁导率 B H=uH μ媒质的磁导率 注:推导如下 B·d (I+ I+4aV×M·ds B 1+ M (-M)·dl 令 H·d=I 对于线性媒质M=xmH B=0(+M)=/o(1+xm)H H H 若整个空间充满导磁媒质,若材料的磁导率为μ,磁感应强度和磁场 强度分别为 例一、 ldtx r-Fr ldl r- r B K h= K(rds 4丌 4 F)dhy× 6(")dh× 3
二、恒定磁场的基本方程 1、普遍形式下安培环路定律的表述 注：推导如下 若整个空间充满导磁媒质，若材料的磁导率为 μ，磁感应强度和磁场 强度分别为 例一、 H H B H M H M H M H H dl I B r m m m m m m m c c m = = Þ = + = + = - = Þ × = ò 0 0 0 0 ( ) (1 ) 对于线性媒质 令 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì - - ´ - - ´ - - ´ = ò ò ò 3 3 3 ' ' ( ') ' ' ' ( ') ' ' ' ' 4 r r r r r dv r r r r K r ds r r r r Idl B c c d p m ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì - - ´ - - ´ - - ´ = ò ò ò 3 3 3 ' ' ( ') ' ' ' ( ') ' ' ' ' 4 1 r r r r r dv r r r r K r ds r r r r Idl H c c d p ò ò ò ò = + × Þ - × = × = + = + Ñ ´ × M dl I B I M dl B dl I I I M ds s m ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 m m m m m m H 为磁场强度 μr：媒质的相对磁导率 μ 媒质的磁导率 ò H × dl = I B rH H = m0m = m
例9-1半径为a,长度为L的圆柱被永久地磁化为 Mo=Mok (1)求沿轴各处的B和H; (2)求远离圆柱(r>L)处的磁场 (3)利用(1)的结果,求x、y方向无限展开、厚度为L的永久磁 化片所产生的B和H 解:1K=n×M=Ma dI=K·d=Ma·ca=Mc Mok Mdea dB 2(a2+(-z)2) X B uoMa2 L z (a2+(z-2) L L Z →B=4oM +Z a-+(z a-+(2+ 2 2 2)Z>L,>>a 2=
a M M0 K = n´ = 例 9-1 半径为 a，长度为 L 的圆柱被永久地磁化为 （1）求沿轴各处的 B 和 H； （2）求远离圆柱（r>>L）处的磁场 （3）利用（1）的结果，求 x、y 方向无限展开、厚度为 L 的永久磁 化片所产生的 B 和 H 解：1) dI = K×dl = M ×dz ¢ = M dz ¢ 0a a 0 ò + - ¢ + - ¢ = + - ¢ ¢ = 2 2 2 3 2 2 2 0 0 2 3 2 2 2 0 0 2 ( ( ) ) 2 ( ( ) ) L L d z a z z M a B a z z M d z a dB m m ï ï þ ï ï ý ü ï ï î ï ï í ì + + + + + - - Þ = 2 1 2 2 2 1 2 2 0 0 ) ) 2 ( ( 2 ) ) 2 ( ( 2 2 L a z Z L L a z Z L M B m 2)Z>>L, Z>>a M M k ˆ 0 = 0 Z M k 0 a X L ï ï ï þ ï ï ï ý ü ï ï ï î ï ï ï í ì + + + + - - = 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 ) 1) 2 1 1 [ ( 1 ) 1)] 2 1 1 [ ( 1 2 z z L a z z L a M B m
B )2)+ 2 2 [ z1+ [1+2 L2L2 (1-2) 3)a>>L,a>>Z B=0,→>H+M=0H=-M=Mk
3 3 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 )] 2 (1 2 2 [1 2 2 1 2 ) ] 2 1 1 ) ) ( 2 1 1 [( 2 1 2 ) 2 1 1 ) ) 1 ( 2 1 1 ( 2 1 1 (1 2 z M a L z L z L z M a z L z z L M a z z L a z z L M a B m m m m = × + - - = + - - = × ï þ ï ý ü ï î ï í ì + + - - = - ´ - 3) a >>L, a >>Z B=0, => H+M=0 H=-M =M0k
2、磁通连续性原理 B·ds=0 3、恒定磁场的基本方程积分形式、微分形式 B·ds=0→Ⅴ·B=0 (96) H·d=→V×H=a (97) 注意: ①、(9.7)式的推导,利用 ②、积分方程依然适用;微分形式固然简洁,只适用连续媒质,对于 两种媒质的交界面处,由于媒质的非连续性,导致场量的不连续,微 分形式不再适用。 ③、对于微分方程+边界,是人们处理电磁场问题的一般模式,为此, 将求解区域分区处理,在不连续的媒质交界面面处,利用边界条件进 行连接
2、磁通连续性原理 × = 0 ò B ds 3、恒定磁场的基本方程积分形式、微分形式 × = 0 Þ Ñ × = 0 ò B ds B （9.6） H c H dl I d × = Þ Ñ´ = ò （9.7） 注意： ①、（9.7）式的推导，利用 ò I = × d s c d ②、积分方程依然适用；微分形式固然简洁，只适用连续媒质，对于 两种媒质的交界面处，由于媒质的非连续性，导致场量的不连续，微 分形式不再适用。 ③、对于微分方程+边界，是人们处理电磁场问题的一般模式，为此， 将求解区域分区处理，在不连续的媒质交界面面处，利用边界条件进 行连接
分解面的边值条件 1、分界面上的边界条件表述 H H,-H1,=K (9.8) H2/红点表示表面 B (9.9) 电流方向向外 讨论:一般情况,当材料为 理想磁媒质时,表面没有传导H It 电流,上式变为 图95分解面切向场条件 (9.8) B B (9.9 H2∠该边为小量 2、方程的推证:类似于静 2 该边为小小量 电场边值条件的方法进行 推导 较之上下项,此两项为零 L 图99分解面切向场条件推导 ∮H·d=Hd+JF,d+」H,d+」H:d=0 例9-2、已知Z>0区域,un2=4;Z0区域,B是 均匀的,θ2=60°,a2=45,磁感应强度的大小为1,试求在Z0区域 的向量磁感应强度和磁场强度
三、分解面的边值条件 1、分界面上的边界条件表述 (9.9) (9.8) 2 1 2 1 n n t t B B H H K = - = 讨论：一般情况，当材料为 理想磁媒质时，表面没有传导 电流，上式变为 2、方程的推证：类似于静 电场边值条件的方法进行 推导 例 9-2、已知 Z>0 区域，μr2 =4; Z0 区域，B 是 均匀的，θ2=600 ，α2=450，磁感应强度的大小为 1，试求在 Z>0 区域 的向量磁感应强度和磁场强度。 t μ1 μ2 L 该边为小小量 该边为小量 图 9.9 分解面切向场条件推导 H2 H1 红点表示表面 电流方向向外 H1t H2t H1 H2 μ1 图 9.5 分解面切向场条件 μ2 (9.9 ) (9.8 ) 2 1 2 1 = ¢ = ¢ n n t t B B H H 较之上下项，此两项为零 ò ò ò ò ò × = × + × + × + × = 下 上 右 左 H dl H dl H dl H dl H dl 0
解、分析:求解边值问题,利用理想z 介质分解面的边界条件 H H B 2 n In 60 12 4 B I t sin 60 8u B cOs 60 2 It sin 60 B 1.cos600= B →B H 10 磁感应强度的方向 1=a2=45 0.= arcs g arct arct
解、分析：求解边值问题，利用理想 介质分解面的边界条件 磁感应强度的方向： Z 600 X Y 450 μ2 μ1 n n t t B B H H 2 1 2 1 = = 2 1 1 cos 60 8 3 sin 60 4 1 0 1 2 0 0 2 0 2 1 2 = = = = = = = · · n n t t t B B B H H m m m 4 3 2 1 8 3 45 1 1 1 0 1 2 arctg arctg H H arctg n t = = = = = q a a 7 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 1 10 32 19 , 8 19 2 1 1 cos 60 8 3 sin 60 4 · · · Þ = = = = = = = = = m p m m m B B H B B B H n n t t