第十三讲、射变场之一 §5-1、电磁感应定律 §5-2、全电流定律; §5-3、电磁场的基本方程组; §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理
第十三讲、时变场之一 §5-1、电磁感应定律 §5-2、全电流定律； §5-3、电磁场的基本方程组； §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理
电磁感应定律(磁生’电) 1、法拉第电磁感应定律(磁“生’电) ①、法拉第电磁感应定律概念表述:通过某 闭合回路的磁链发生变化时,闭合回路 定产生感生电动势,感生电动势所产生的感 生电流的磁链的方向总是障碍原磁链的变化。 问题:感生电流是如何产生的? ②、感生电场:电荷能够运动,空间一定有 电场,这种电场称为感生电场。感生电场图51法拉第电磁感应定律 遍布空间。 问题:感生电场大小、方向以及在空间的分布如何? 2、法拉第电磁感应定律的定量表述: BdS B ds lt →Ea ds-∫B 8=fed B aB →V×E +V×(v×B (5.1 t 第一种情况:空间磁场随时间变化, 则在变化的磁场周围产生一种特殊 物质,这种特殊物质能够对电荷有 力的作用,称为感生电场 aB V×E (52) 图52变化磁场周围产生电场
一、电磁感应定律（磁‘生’电） 1、 法拉第电磁感应定律（磁‘生’电） ①、法拉第电磁感应定律概念表述：通过某 一闭合回路的磁链发生变化时，闭合回路一 定产生感生电动势，感生电动势所产生的感 生电流的磁链的方向总是障碍原磁链的变化。 问题：感生电流是如何产生的？ ②、感生电场：电荷能够运动，空间一定有 电场，这种电场称为感生电场。感生电场 遍布空间。 问题：感生电场大小、方向以及在空间的分布如何？ 2、法拉第电磁感应定律的定量表述： 第一种情况：空间磁场随时间变化， 则在变化的磁场周围产生一种特殊 物质，这种特殊物质能够对电荷有 力的作用,称为感生电场 (5.2) t B Ei ¶ ¶ Ñ´ = - (v B) (5.1) t B E t dS dS B t B dt d B dS Edl Edl dt d B dS dt d i S S S i i S +Ñ´ ´ ¶ ¶ ÞÑ´ = - ¶ ¶ × - × ¶ ¶ = - × Þ =- ï ï î ï ï í ì = × =- Y = - ò ò ò ò ò ò e e Y n i 图 5.1 法拉第电磁感应定律 t B ¶ ¶ 图 5.2 变化磁场周围产生电场
注意: ①、感应电场不同与静电场 ②、上式推导中,楞次定律所表达的为左手法则,它的意义类比于电流 周围的磁场。 第二种情况:闭合回路动,空间磁场恒定。在磁场中放置一个闭合回 路,当闭合回路所包围的面积发生变化时(可以是膨胀,也可以是收 缩),在回路面积变化处存在一种特殊物质,这种特殊物质能够对电 荷有力的作用,也称为感生电场。 此长度为d E B (5.3) 注意:上述又可表达为只要导线运动, 那么在导线的运动处就“切割了磁 力线,也就意味着在“切割处导线有此比长度为v△t 感生电场 图53导线切割磁力线产生磁场 问题:(53)式如何推出来的? 第三种种情况:若空间存在的磁场也随时间变化,在磁场中的闭合回 路面积也在变化,那么在回路面积变化处存在的感生电场是上述两种 情况之“合’。 aB V×E +V×(×B) 注意:一般,若场的物理本质特征,不考虑运动媒质,变化磁场生 电场的基本形式为 aB V×E. at
注意： ①、感应电场不同与静电场。 ②、上式推导中，楞次定律所表达的为左手法则，它的意义类比于电流 周围的磁场。 第二种情况：闭合回路动，空间磁场恒定。在磁场中放置一个闭合回 路，当闭合回路所包围的面积发生变化时（可以是膨胀，也可以是收 缩），在回路面积变化处存在一种特殊物质，这种特殊物质能够对电 荷有力的作用,也称为感生电场。 （5.3） 注意：上述又可表达为只要导线运动， 那么在导线的运动处就‘切割’了磁 力线，也就意味着在‘切割’处导线有 感生电场。 问题：（5.3）式如何推出来的？ 第三种种情况：若空间存在的磁场也随时间变化，在磁场中的闭合回 路面积也在变化，那么在回路面积变化处存在的感生电场是上述两种 情况之‘合’。 v B） t B Ei +Ñ´ ´ ¶ ¶ Ñ´ = - ( 注意： 一般，若场的物理本质特征，不考虑运动媒质，变化磁场 生 电场的基本形式为： t B Ei ¶ ¶ Ñ´ = - Ei v B = ´ 此长度为 dl 此长度为 v△t 图 5.3 导线切割磁力线产生磁场
二、全电流定律(电‘生’磁) 1、问题的引入:安培环路定律的困惑 ①、安培环路定律是恒定磁场的基本程。VxH= ②上式对稳恒情况固然适用,对非稳恒情形,VV×H=V V6≠0,上式就存在问题,如何解决?由电 荷守恒定理 0→V·δ=0 V.8 dp at 来源于第二章P99(2-11) av·D D. OD dt dt aD 今V·(δ+-)=0 at 此项称为位移电流密度 2、全电流定律 该式表明:在时变电场中电 流密度散度不为零,但是它 x=8+0D(5 与位移电流所构成的全电 at 流密度的散度一定为零 理解:1)+ a D 称为全 电流一定是连续的,例如在对电 容器充电的过程中,板内并无传 导电流,但是平行板电容器内有 位移电流,故全电流是守恒的 图54全电流守恒定律
来源于第二章 P99（2-11） ( ) = 0 ¶ ¶ Þ Ñ × + t D d 此项称为位移电流密度 该式表明：在时变电场中电 流密度散度不为零，但是它 与位移电流所构成的全电 流密度的散度一定为零 二、全电流定律（电‘生’磁） 1、 问题的引入：安培环路定律的困惑 ①、安培环路定律是恒定磁场的基本方程。 ②上式对稳恒情况固然适用，对非稳恒情形， Ñ·d ¹ 0，上式就存在问题，如何解决？由电 荷守恒定理 2、全电流定律 理解：1） 称为全 电流一定是连续的，例如在对电 容器充电的过程中，板内并无传 导电流，但是平行板电容器内有 位移电流，故全电流是守恒的 0 ÞÑ× =0 ß Ñ×Ñ´ =Ñ× Ñ´ = d d d H H t D t D t ¶ ¶ = -Ñ × ¶ ¶Ñ × = - ¶ ¶ Ñ × = - r d (5.4) t D H ¶ ¶ Ñ ´ = + d t D ¶ ¶ + d ~ 图 5.4 全电流守恒定律
2)、天线原理 图55天线辐射原理 3)、位移电流是 Maxwe丨引入的,通过这一引入, Maxwe I大胆得出 法拉第电磁感应定律和全电流定律的向量方程表述,通过解这组方 程, Maxwe I大胆假设电磁波存在,意义重大 三、电磁场的基本方程组 1、基本方程组 积分方程 微分方程 Hd={5 D aD aB aB E dl →V×E: B·dS=0 V·B=0 D=p 2、本购关系 D=EE(5.5) 注意:①、传导电流(δ与运流电流(pⅵ): B=HH(5.6) 在积分方程时可以同时存在,微分方程绝 对不可能同时存在P279 yE(5.7 ②、若考虑局外场时 8=y(E+E2)(58)
2)、天线原理 3)、位移电流是 Maxwell 引入的，通过这一引入，Maxwell 大胆得出 法拉第电磁感应定律和全电流定律的向量方程表述，通过解这组方 程，Maxwell 大胆假设电磁波存在，意义重大。 三、电磁场的基本方程组 1、基本方程组 积分方程 微分方程 2、本购关系 注意：①、传导电流(δc)与运流电流(ρv)： 在积分方程时可以同时存在，微分方程绝 对不可能同时存在 P279 ②、若考虑局外场时： t B dS E t B E dl t D dS H t D H dl dS L S c S S c L ¶ ¶ × Þ Ñ´ = - ¶ ¶ × = - ¶ ¶ × Þ Ñ´ = + ¶ ¶ × = × + ò ò ò ò ò d d × = r Þ Ñ× = r × = Þ Ñ× = ò ò ò D dS dV D B dS B S V S 0 0 D E (5.5) = e B H (5.6) = m E (5.7) d = g ( ) (5.8) E Ee d = g + ~ 图 5.5 天线辐射原理
3、电磁场边值条件 fF,d=45+5→x(B2-B)=k。 aB E·al n×(E2-E1)=0 B·dS=0 n·(B2-B1)=0 D ds=l pdv n(D2-D) 理解: 1)以上边界法向从媒质1指向2 2)以上四个边界条件方程的推导 要点、难点在于前两个叉积方程, 后面两个方程可以与静电场、恒定 磁场类比。在推导前两个叉积方 图56边界条件 程过程中,利用向量恒等式: V×F·d=-F×dS 闭合饼截面积 对于第一个边界条件的推导 为△S小量 -(H2-H1)×△Sn=(6+-SMh aD →n×(H2-H)=aM+Mh 闭合饼厚度h为小小量 图57、边界条件
3、电磁场边值条件 理解： 1）以上边界法向从媒质 1 指向 2 2）以上四个边界条件方程的推导 要点、难点在于前两个叉积方程， 后面两个方程可以与静电场、恒定 磁场类比。在推导前两个叉积方 程过程中，利用向量恒等式： 对于第一个边界条件的推导 ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 × Þ ´ - = ¶ ¶ × = - × Þ ´ - = ¶ ¶ × = × + ò ò ò ò ò dS n E E t B E dl dS n H H K t D H dl dS L S c L S S d × = r Þ × - =s × = Þ × - = ò ò ò ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1 D dS dV n D D B dS n B B S V S ò ò Ñ ´ × = - ´ V S F dV F dS h t D n H H h S h t D H H S n D ¶ ¶ Þ ´ - = D + D D ¶ ¶ - - ´D = + d d ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 n ② ① 图 5.6 边界条件 n ② ① 闭合饼厚度 h 为小小量 闭合饼截面积 为△S 小量 图 5.7、边界条件
由于任何场量对时间的变化率都不可能是无限大;在分界面上电流的 体密度与分界面的“厚度”的乘积为分界面的传导电流面密度 →n×(H2-H1)=8M=K2 注意:完纯导体(y=∞)的概念。在实际问题中,往往把良导体看 成完纯导体以简化问题的分析。由于在完纯导体内部电场为零(E1=0, why?),故时变磁场(H=0)也为零(不考虑与时间无关的常数:这里 指恒定电流场),故完纯导体内的电流(时变电流)完全沿着导体表面 流动形成面电流(时变电流),同时完纯导体表面也存在面电荷(时变 面电荷)P282 E,=0.H,=0 D,=0、B,=0 →E E1=0,B2n=B1n=0 k n×H2=kc,→n×H21=0 n·D2=o,→D2n=0 图58、良导体的边界条件
由于任何场量对时间的变化率都不可能是无限大；在分界面上电流的 体密度与分界面的“厚度”的乘积为分界面的传导电流面密度 注意：完纯导体（γ=∞）的概念。在实际问题中，往往把良导体看 成完纯导体以简化问题的分析。由于在完纯导体内部电场为零（E1=0, why?），故时变磁场（H1=0）也为零（不考虑与时间无关的常数:这里 指恒定电流场），故完纯导体内的电流(时变电流)完全沿着导体表面 流动形成面电流(时变电流)，同时完纯导体表面也存在面电荷(时变 面电荷)P282 n H H c h Kc Þ ´( 2 - 1 )=d D = × = s Þ = s ´ = Þ ´ = Þ = = = = = = Þ = = n c t t t n n n D D n H K n H E E B B E H D B 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 , , 0 0, 0 0, 0 0, 0 ① n ② ● k H t 图 5.8、良导体的边界条件
四、玻印亭定理与玻印亭向量 1、玻印亭向量:S=E×H VxEOB OB →H.V×E=-H.-=--(H·B) at 2 at V×H=0+→E.W×H=E(6+1)=E·2+0(ED)② a 20t H.VXE-EVXH=-E.(E D+H B) at 2 →V(Ex=B:-0(1ED+1B 2 E)6 玻印亭定理:6×·C=EOm、b O at 令W=[o为闭合曲面所包围体积内的电磁能量 上式即为玻印亭定理,其本质乃为能量转换与守恒定律在电磁场领域 中的集中体现 注意:1)、玻印亭向量是用来描述电磁能量传播行为的物理量:在空 间某点上玻印亭向量的方向(为该点电场强度方向与磁场强度方向的 叉积方向)即为电磁能量传播方向;玻印亭向量的大小(为该点电场 强度与磁场强度叉积的大小)为在该点沿传播方向上取单位面积、单 位时间穿出的能量
dV t E H dS dV dV V V c c e s V E ò ò ò ò ¶ ¶ ´ × = ×d - - w g d 2 四、玻印亭定理与玻印亭向量 1、玻印亭向量： 玻印亭定理: 令 为闭合曲面所包围体积内的电磁能量 上式即为玻印亭定理，其本质乃为能量转换与守恒定律在电磁场领域 中的集中体现 注意：1）、玻印亭向量是用来描述电磁能量传播行为的物理量：在空 间某点上玻印亭向量的方向（为该点电场强度方向与磁场强度方向的 叉积方向）即为电磁能量传播方向；玻印亭向量的大小（为该点电场 强度与磁场强度叉积的大小）为在该点沿传播方向上取单位面积、单 位时间穿出的能量。 S E H = ´ W dV òV = w (5.9) 2 t W E H dS dV dV V c c e s V E ¶ ¶ ´ × = - - ò ò ò × g d d ( ) 2 1 H B t t B H E H t B E × ¶ ¶ = - ¶ ¶ Þ ×Ñ´ = - × ¶ ¶ Ñ´ = - ( ) 2 1 ( ) E D t E t D E H E t D H c c × ¶ ¶ = × + ¶ ¶ Þ ×Ñ´ = × + ¶ ¶ Ñ´ =d + d d ) 2 1 2 1 ( E D H B t H E E H E c × + × ¶ ¶ ×Ñ´ - ×Ñ´ =- ×d - d w d g d t S E D H B t E H E c e c c E ¶ ¶ =- - ß ß ß × + × ¶ ¶ ÞÑ× ´ =- × - - ( ) ) 2 1 2 1 ( ) ( ② ①
2)、玻印亭向量的含义 「ExF△=E6-a t 该项为沿任意该项为闭合该项为闭合该项为闭合 闭合曲面单位曲内所有外曲内单位时曲内电磁场 时间穿出的能源单位时间间导体内部能量的增加 量 提供的能量的热耗 讨论:若场能不随时间变化,且区域内无电源 ExH.=/小 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗。 若无耗, 手E×F△=0则表示流进流出
2）、玻印亭向量的含义 讨论：若场能不随时间变化，且区域内无电源 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗。 若无耗， 则表示流进=流出。 t W E H dS dV dV V c c e s V E ¶ ¶ ´ × = - - ò ò ò × g d d 2 该项为沿任意 闭合曲面单位 时间穿出的能 量 该项为闭合 曲内所有外 源单位时间 提供的能量 该项为闭合 曲内单位时 间导体内部 的热耗 该项为闭合 曲内电磁场 能量的增加 E H dS dV V c òs ò - ´ × = g d 2 - ´ × = 0 òs E H dS
五、算例 例13.1均匀绕制(单位长度为N匝)的细长螺线管,螺管的半径 为a,且a<<L,设线圈中通有缓变电流i= Im sinωt求1)、螺线管 内外的磁感强度。2)、螺线管内外任意点的感应电场强度。3)、若 另外有一匝闭合导线与螺线管同轴放置,设其半径为R,内阻为r, 求闭合导线的感应电流。4)若上问中导线不闭合,求开口处电压? 解: 1)分析:忽略边缘效应,可以将螺 L 线管看成是无限长,故磁场都集中在 螺线管内部,外部没有磁场 r≥aB(1)=0 r<aH=Mh→H=Mi→B(1)= N Sino t V×E aB →∮E·d aB unloose t unto r<a E cosct 2丌r 2 B uoNlocoso t t r≥aE cost 2丌r 电场方向如右图所示
t B ¶ ¶ r t r u NI a a r u NI t r a E t u NI r r r u NI t r a E m m m m w w p p w w w w p p w w cos 2 2 cos cos 2 2 cos 2 0 2 0 0 2 0 ³ =- =- < =- =- 五、算例 例 13.1 均匀绕制（单位长度为 N 匝）的细长螺线管，螺管的半径 为 a，且 a<<L,设线圈中通有缓变电流 i =Im sinωt 求 1）、螺线管 内外的磁感强度。2）、螺线管内外任意点的感应电场强度。3）、若 另外有一匝闭合导线与螺线管同轴放置，设其半径为 R，内阻为 r， 求闭合导线的感应电流。4）、若上问中导线不闭合，求开口处电压？ 解： 1） 分析：忽略边缘效应，可以将螺 线管看成是无限长，故磁场都集中在 螺线管内部，外部没有磁场 2） 电场方向如右图所示 i i L r a Hl Nli H Ni B t u NI t r a B t ( ) m sinw ( ) 0 < = Þ = Þ = 0 ³ = ò ò ò × ¶ ¶ Þ × = - ¶ ¶ Ñ´ = - dS t B E dl t B E