第八讲、恒定磁场(I) §3.磁感应强度 §3.2磁通连续性·安培环路定律·真空中恒定磁场的基 本方程
第八讲、恒定磁场（Ⅰ） §3.1 磁感应强度 §3.2 磁通连续性·安培环路定律·真空中恒定磁场的基 本方程
磁感应强度 1、磁场的基本概念和基本运算 A、磁场:在运动电荷周围,除了电场,还存在一种称为磁场的特 殊物质,它能够对在其中的运动电荷(电流)有力的作用。简而言 之,有两句话:运动电荷(电流)产生磁场;磁场对运动电荷有力 的作用。 B、磁场力的计算 ①、点电荷q在磁场B中的受力计算 洛仑兹力: f∫=φ×B(8. ②、空间电流分布在磁场B中的受力计算 元电流受力 df=d×B(8.2) 空间电流分布受力f=|f=|d×B ①、体电流分布受力: 6(F)dhv×B(F) ②、面密度电流分布受力: K2(F")ds×B(7) ③、线电流分布受力 a×B(7)
一、磁感应强度 1、磁场的基本概念和基本运算 A、磁场：在运动电荷周围，除了电场，还存在一种称为磁场的特 殊物质，它能够对在其中的运动电荷（电流）有力的作用。简而言 之，有两句话：运动电荷（电流）产生磁场；磁场对运动电荷有力 的作用。 B、 磁场力的计算 ①、点电荷 q 在磁场 B 中的受力计算： 洛仑兹力： ②、空间电流分布在磁场 B 中的受力计算： 元电流受力 df dqv B (8.2) = ´ f qv B (8.1) = ´ 空间电流分布受力 ①、体电流分布受力： ②、面密度电流分布受力： ③、线电流分布受力： ï î ï í ì ´ ´ ´ = = = ´ ò ò ' ( ') ( ') ' ( ') ( ') ' ( ') Idl B r K r ds B r r dv B r f df dqv B c c d
C、磁感强度的计算 ①、电流元产生的磁场:毕一沙定律: d B F d B- b ld lxr 4元 (8.3 4兀 B 0 ÷1 ldii r 4元 (8.4) =4兀×10享利米(H/m
C、磁感强度的计算 ①、电流元产生的磁场：毕—沙定律： m0 =4p´10-7 亨利/米（H/m） dB r Idl 0 2 0 ' 4 r r Id l dB = ´ p m Ä (8.3) ' 4 3 0 r Id l r dB ´ = p m dB r - r ¢ Idl Ä r r ¢ 0 3 0 ' 4 r r r r dB Id l - ¢ - ¢ = ´ p m （8.4）
②、空间电流分布产生的磁场 ldl x B-fn boK(r)dsF-pr 4丌 3(8.5) 6()ahx、F-P 注意: 1)磁场与磁铁的关系:本质相同,均为电流激发磁场 2)两个电流环之间的相互作用力 4丌 线元d2 F 线元d1 4丌 1dl×(l2dl2×)图8、两电流环间的作用力 (8.6)
②、空间电流分布产生的磁场 注意： 1）磁场与磁铁的关系：本质相同，均为电流激发磁场 2）两个电流环之间的相互作用力 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì - - ´ - - ´ - - ´ = = ò ò ò ò 3 3 3 0 ' ' ( ') ' ' ' ( ') ' ' ' ' 4 r r r r r dv r r r r K r ds r r r r Idl B dB c c d p m （8.5） ò ò ò ò ò ¢ ´ ´ ¢ ¢ ¢ = ´ ´ ¢ ¢ = ´ ´ = 1 2 0 1 2 0 0 3 1 2 2 1 2 2 3 1 2 2 3 ( ) 4 4 4 l l l l r I d l I d l r r r f I d l I d l r r df I d l I d l p m p m p m r¢ 线元 dl1 线元 dl2 I1 I2 图 8.1、两电流环间的作用力 （8.6）
2、算例 例8-1:决定真空中载电流I的有限直导线所引起的磁感应强度 解、解题分析:对于已知“源”分布,求在空间“场”分布的这一类 积分计算,解题思路可以由以下步骤来完成 step1、画出示意图,表明必要的物理量,建立坐标系 step2、给出元电流产生磁场的计算公式 step3、统一变量,确定积分上下线 a2 B的方向为指 向纸里,用符 该处线元为I 如图所示,建 号“×”表示 立坐标系 将线段剖分为一系列的线 R 元,那么,整个线段在P点所产 生的磁 磁感应强度为这一系列线元在P点 所产生磁感应强度之合 对于任意线元Id1,根据毕-沙定律 它在P点所产生的磁感应强度为 该向量为线元到场 点之间的位移 olal×F B 4丌r 2 图8.2、线段电流的磁场
P 该向量为线元到场 点之间的位移 j1 a2 B 的方向为指 向纸里，用符 号“´”表示 ´ I a1 R j2 a 该处线元为 Idl r 图 8.2、线段电流的磁场 2、算例 例 8-1：决定真空中载电流 I 的有限直导线所引起的磁感应强度 解、解题分析：对于已知“源”分布，求在空间“场”分布的这一类 积分计算，解题思路可以由以下步骤来完成 step1、画出示意图，表明必要的物理量，建立坐标系 step2、给出元电流产生磁场的计算公式 step3、统一变量，确定积分上下线 如图所示，建 立坐标系 将线段剖分为一系列的线 元，那么，整个线段在 P 点所产 生的磁 磁感应强度为这一系列线元在 P 点 所产生磁感应强度之合 对于任意线元 Idl，根据毕-沙定律 它在 P 点所产生的磁感应强度为 2 0 4 r Idl r dB ´ = p m
总磁感应强度为 B=「dB oll×F 4T r 统一变量=zk R R R -Rcga→cz g sin d 把上式代入微元表达式得: b=dB= odk×F_ o ra2 ldzsina 4丌 4兀 uo ra2 usina (cosa, -cosa, )j 4兀a1R 4兀 A:磁感应强度大小 向上为z轴, B=5-(sinp, +sin2) 向里为y轴 4元R :方向:伸出右手,大拇指指向电流方向,I 四指的指向乃为磁感应强度的方向 φ1 磁场方向向里 图83、磁场的表示
总磁感应强度为 统一变量 把上式代入微元表达式得： ò ò ´ = = 2 0 4 r Idl r B dB p m Idl Idzk = ï ï î ï ï í ì = - = - Þ = = a a a a a d R Rctg dz tg R z R r 2 sin sin da j j R I j r Idz r Idzk r B dB (cos cos ) 4 sin 4 sin 4 4 1 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 a a p a m p m a p m p m a a a a a a = = - = ´ = = ò ò ò ò a1 ´ P j1 a2 向上为 z 轴， 向里为 y 轴 I R j2 A：磁感应强度大小： (sin sin ) 4 1 2 0 j j p m = + R I B B：方向：伸出右手，大拇指指向电流方向， 四指的指向乃为磁感应强度的方向 磁场方向向里 图 8.3、磁场的表示
磁感应强度的方向为切向 以a表示 图8.4、磁场的表示 A:磁感应强度大小: B (sin , +sin 2 )or: B= Ao/ (cos a -cos a2) 4兀R 4丌R B:方向:伸出右手,大拇指指向电流方向,四指的指向乃为磁感应强度 的方向 →B (cosa -cosa, )a(8.7) 4兀R 注意:1)B是向量,积分时处处要考虑方向 2)对于无限长直电流线,在空间某点,到导线r处上一点的磁感应强 度的大小为 (Sip,+sin) 4元R 2TR
注意：1）B 是向量，积分时处处要考虑方向 2）对于无限长直电流线，在空间某点，到导线 r 处上一点的磁感应强 度的大小为： R I R I B p m j j p m p j p j 2 (sin sin ) 4 2 , 2 0 1 2 0 1 2 = + = = = A：磁感应强度大小： (sin sin ) 4 1 2 0 j j p m = + R I B or： (cos cos ) 4 1 2 0 a a p m = - R I B B：方向：伸出右手，大拇指指向电流方向，四指的指向乃为磁感应强度 的方向 (cos cos ) (8.7) 4 1 2 0 a a a p m Þ = - R I B I r 磁感应强度的方向为切向 以a 表示 图 8.4、磁场的表示
例8-2:真空中有一载电流Ⅰ、半径为R的回路,求其轴上任意点P (x,0,0)的磁感应强度 Z dB 电流环半径为R 图85、环电流磁场的表示 解、方法1:如图8.5所示,当沿圆线元求磁场积分时,由于对称性, 只有沿Y轴方向的磁感应强度的分量相叠加,沿垂直Y轴方向的磁感 应强度相互抵消,故 diSin B=B=「dB=均 2 sine Isin t sinet dI 4兀(R+y2) 4兀(R2+y l sin 4n(+1)Sin0.2n?4 R R 2(R2 (R2+y2)22(R2+y2) x7%= (88) 2(R2+y2)2
例 8-2：真空中有一载电流 I、半径为 R 的回路，求其轴上任意点 P （x，0，0）的磁感应强度 解、方法 1：如图 8.5 所示，当沿圆线元求磁场积分时，由于对称性， 只有沿 Y 轴方向的磁感应强度的分量相叠加，沿垂直 Y 轴方向的磁感 应强度相互抵消，故 (8.8) 2( ) ( ) 2( ) 2 ( ) sin 2 ( ) 2 sin 4 sin ( ) 2 sin 4 sin ( ) 2 sin 4 2 3 2 2 2 0 2 1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 j R y IR B R y IR R y R R y I R R R y I dl R y I R y Idl B Bx dB + = + = + × + × × = × + = × + = × + = = = × ò ò ò m m m q p p p m q p p m q p p m r r X y 电流环半径为 R 图 8.5、环电流磁场的表示 q q dl dB Z Y
方法2:利用解析的方式,直接实现 图86、环电流的直接计算 =IRd(j×R)=lde(j×R) B oll×rll× r Ho lde(j×R)×(y-R) 4丌 4丌 4丌 3 (R +y =.(×R)×(y-R)=o.(yR+R) 4丌 4丌 (R2+y2)2 (R2+y2)2 →B=5dB=手均边10(+8+yB=均 4‘(R2+ 22(R2+y2) 这里的变换利用了如下向量运算公式,参见P456之25 (B×C)×A=(A·B)C-(AC)B
方法 2：利用解析的方式，直接实现 这里的变换利用了如下向量运算公式，参见 P456之 2-5 B C A A B C A C B ( ´ ) ´ == ( × ) - ( × ) j R y IR R y Id R j yR B dB R y Id yR R j R y Id j R yj R R y Id j R yj R r Idl r r Idl r dB Idl IRd j R Id j R 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 0 2 3 2 2 0 3 0 2 0 ( ) 2( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 ( ) ( ) + = + + + Þ = = × + + = × + ´ ´ - = × + ´ ´ - = × ´ = × ´ = × = ´ = ´ ò ò q m p m q p q m p m q p m p m p m q q R y r dl 图 8.6、环电流的直接计算
例8-3:如图所示,y=0平面上有恒定电流密度Kk的电流片,求电流 片所产生的磁感强度 dx P(0y0,0) 图8.7、无限大电流板的磁场 解:把面电流看成是由一根根线条构成,其中在任意x处的线条所带 电流为dI=Kdx,则由于对称性,在P点所产生的磁感应强度大小 为 Kod dB=u x2cOS C 2TR b=2 dB cOS C dx=doroga=Yo da cos O B的大小、方向可以统一表示为 k >0 B k (89) V <O
例 8-3：如图所示，y=0 平面上有恒定电流密度 K0k 的电流片，求电流 片所产生的磁感强度 解：把面电流看成是由一根根线条构成，其中在任意 x 处的线条所带 电流为 dI=K0dx，则由于对称性，在 P 点所产生的磁感应强度大小 为 B 的大小、方向可以统一表示为 ï î ï í ì + = 0 2 0 2 0 0 i y k i y k B m m 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 cos 1 ( ) cos 2 cos 2 B dB K dx d Y tg Y d Y R R K dx dB m a a a a a p m p ò Þ = = - ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = ´ （8.9） P(0,y0,0) x r dx 图 8.7、无限大电流板的磁场 a a