第十讲、恒定磁场(Ⅲ) §3.6、向量磁位 §3.8、电感
第十讲、恒定磁场（Ⅲ） §3.6、向量磁位 §3.8、电感
向量磁位 1、向量磁位的引入 V·B=0 B=V×A V×H (V×A)=8 V(V·A)-V2A=d 取规范:V·A=0 A VA=-A6→{V2A,=-6,(10.1) ①、对于全空间区域求解,边界在无穷远,设边界处的向量磁位为零, 媒质的磁导率为μ,上式的解为 πμ4上4 dhv'(10.2) 1 ds(10.3) ldl
一、向量磁位 1、向量磁位的引入 B B A Ñ × = 0 Þ = Ñ ´ 0 ( ) ( ) 2 Ñ × = Ñ Ñ × - Ñ = Ñ ´ = Þ Ñ ´ Ñ ´ = A A A H c A c 取规范： md d d ①、对于全空间区域求解，边界在无穷远，设边界处的向量磁位为零， 媒质的磁导率为μ，上式的解为 (10.1) 2 2 2 2 ï î ï í ì Ñ = - Ñ = - Ñ = - Ñ = - Þ z z y y x x A A A A md md md md (10 .2) ' 4 ' 4 ' 4 ' ' ' ï ï ï î ï ï ï í ì = = = Þ ò ò ò v z z v y y v x x dv r A dv r A dv r A d p m d p m d p m ' (10 .3) ' 4 ' ' 4 ' ò ò ò ò ï ï ï î ï ï ï í ì Þ = = v l s v r Idl ds r k dv r r dq v A d p m p m
②、对于空间存在不同媒质,应该分域解关于向量磁位的泊松方程 在分界面上利用向量位的边界条件进行连接,向量位的边界条件为 A= 4 (V×A1) (V×A2)1=K(10 对于平行平面场 A 10A a A K(10.5) 问题:如何从(10.4)导出(10.5)? 注意:(1)、规范的物理含义在于标量磁位的不确定性 V×A=V×(A+Vp)=V×A 令:V·A 这种‘截取’称为库仑规范。截取并非惟一,在近代物理学中,为满 足相对论条件,取 lorentz gauge;规范的更深刻的含义在于矛盾的 普遍性寓于矛盾的特殊性之中,例如,时间的长河无边无际,要度量 时间,必须截断;惯性系里认识速度,必须选一个参考系,诸如此类。 在这种截断下所得的向量磁位的计算公式,可以验证能够满足库仑规 范条件 VA A 4兀 这一分析方法,在当代数学、物理中得到广泛的运用
②、对于空间存在不同媒质，应该分域解关于向量磁位的泊松方程， 在分界面上利用向量位的边界条件进行连接，向量位的边界条件为 ï î ï í ì Ñ ´ - Ñ ´ = = A A K A A t t ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 1 1 2 m m (10.4) 对于平行平面场 ï î ï í ì = ¶ ¶ - ¶ ¶ = K n A n A A A 2 2 1 1 1 2 1 1 m m (10.5) 问题：如何从（10.4）导出（10.5）？ 注意：（1）、规范的物理含义在于标量磁位的不确定性 Ñ ´ A = Ñ ´ A + Ñ = Ñ ´ A¢ ( f ) Ñ × A = 0 令： 这种‘截取’称为库仑规范。截取并非惟一，在近代物理学中，为满 足相对论条件，取 lorrentz gauge；规范的更深刻的含义在于矛盾的 普遍性寓于矛盾的特殊性之中，例如，时间的长河无边无际，要度量 时间，必须截断；惯性系里认识速度，必须选一个参考系，诸如此类。 在这种截断下所得的向量磁位的计算公式，可以验证能够满足库仑规 范条件 0 4 2 Ñ × = Û = ¢ Ñ = - ò A dv r A A d p md m 这一分析方法，在当代数学、物理中得到广泛的运用
(2)、利用向量磁位的计算确实比直接求解毕一沙定律简单 (3)、向量磁位只是一个辅助函数,并无物理意义 (4)、在边界条件:为什么在边界上向量磁位连续? 若不连续,由于B=V×A,故B将是无限大,不合理;另外磁感应强度 的法向连续,也要求n·[V×(A1-A)]=0,在边界上任意点都相同,要 求A=A2 磁通的向量磁位计算 p=B·d=V×Ad=1A:a (10.6) 3、向量磁位的算例 例10-1、空气中有一长度为L、截面为S、位于Z轴的短铜线,若电 流密度为大小8,方向沿轴向上,设电流密度均匀分布,求距铜线较 远处(r>L)处的磁感强度 解;分析,求B,可先求A Z 4兀 B=V×A k A Sdy 6·d 4兀r 4汇r°2 k ldl k x 4r°2 4兀r 图10.1电流元的磁场
（2）、利用向量磁位的计算确实比直接求解毕—沙定律简单 （3）、向量磁位只是一个辅助函数，并无物理意义 （4）、在边界条件：为什么在边界上向量磁位连续？ 若不连续，由于 B =Ñ´A,故 B 将是无限大，不合理；另外磁感应强度 的法向连续，也要求 n ·[Ñ´(A1-A2)]=0,在边界上任意点都相同，要 求 A1=A2 2、磁通的向量磁位计算 ò ò ò = × = Ñ´ × = × l s s B ds A ds A dl f （10.6） 3、向量磁位的算例 例 10-1、空气中有一长度为 L、截面为 S、位于 Z 轴的短铜线，若电 流密度为大小δ，方向沿轴向上，设电流密度均匀分布，求距铜线较 远处（r>>L）处的磁感强度 解；分析，求 B，可先求 A B A dv r A = Ñ´ = ¢ ò d p m 4 k r Idl r k ds dl r k dv r A L L L L p m p m d p m d p m 4 IL 4 4 4 2 2 2 2 = = = ¢ = × × ò ò ò - - a q I r P 图 10.1 电流元的磁场 Z X Y
B=V×A 4丌xj+h、o uIL. a az AIL yi + x 4兀 4兀 IL sin e 4兀 例10-2试分别利用安培环路定律和向量磁位的方法计算空气中细长 载流导线的磁场(设导线电流大小为I,沿Z轴放置,沿Z轴方向流 向) 线元大小为dz 解: A=Ak=21r女k= 4兀JL 4丌 R2+ 出mNR++D)-lm√R2+2-D LIR P(x, y, 0) k 2r.(VR2++L R 天2m(NR2+E+D)-mR 图102长直导线电流的磁场 B==VxA=- aAa= hol 该变换利用了如下的不定积分 OR 2TR ln(√1+x2+x) 柱坐标的旋度公式 F=r(104-04)+a(04-04)+k4t(m4)- r aa az az ar a 注意:1)A为无穷大,并不影响磁感强度;2)上式推导也可直接得出
例 10-2 试分别利用安培环路定律和向量磁位的方法计算空气中细长 载流导线的磁场（设导线电流大小为 I，沿 Z 轴放置，沿 Z 轴方向流 向） 解： 注意：1）A 为无穷大，并不影响磁感强度；2）上式推导也可直接得出 a q p m p m p m p m 2 3 3 3 sin 4 IL 4 IL ( ) 4 IL ( ) 4 IL r r y i x j i r y j r x r k z k y j x B A i = - + = ú û ù ê ë é - - + - = ´ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ ´ = Z X z R L L r Y 线元大小为 dz P(x,y,0) 图 10.2 长直导线电流的磁场 [ln( ) ln ] 2 ] ( ) [ln 4 [ln( ) ln( )] 4 4 4 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 R L L R I k R I R L L k R L L R L L I k k R z I dz k r I dz A Ak L L L L z = + + - + + = = + + - + - + = = = ò ò - - p m p m p m p m p m a p m a R I R A B A z 2 0 = ¶ ¶ = Ñ´ = - 该变换利用了如下的不定积分 ò = + + + ln( 1 ) 1 2 2 x x x dx 柱坐标的旋度公式 [ ( ) ] 1 ) ( ) 1 ( a a a a a ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ´ = z r z Ar rA r r k r A z A z A A r F r
例10-3、应用向量磁位分析真空中磁z 偶极子的磁场 解:分析,求B,可先求A R 4兀JR B=V×A 线元为Idl 利用 图10.3环电流的远区磁场 ∮(xy=)=n义Vp(xy,= k×V-d 4丌 R P459之(49)式 在遥远处:A= ∠n∫ k×rds 4丌r 22Sinb=厘0加×F (10.7) 4 4丌r B=VxA= uoIS a(A sin 0)ol a(aor) 4兀 rsin e 06 ar 4x( cos Or+sin 00)\ o (108) f=r 1a(A sin 8) a(Ae rsin e aa 0A,∂(rAa)1+al1(rA9 aA r sine aa OI 00
ò = ´ Ñ¢ ds¢ R k I A 1 4 0 p m ò ò ¢ ¢ ¢ = ´Ñ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ s f(x , y ,z)dl n f(x , y ,z )ds P459 之（49）式 Y R r I P 线元为 Idl X Z 图 10.3 环电流的远区磁场 例 10-3、应用向量磁位分析真空中磁 偶极子的磁场 解：分析，求 B，可先求 A 利用 在遥远处： B A R I dl A = Ñ´ ¢ = ò p m 4 0 (10 .7 ) 4 sin 4 IS 4 I 4 I 3 0 2 0 2 0 3 0 r m r r k r d s r d s r r A k ´ = = = ´ ¢ = ´ ¢ ò ò p m qa p m p m p m (2 cos sin ) (10 .8) 4 m ( sin ) 1 ( ) sin 1 4 IS 0 0 q qq p m q q q p q m a a = + ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = Ñ ´ = r r A r r A r B A r ] ( ) [ 1 ] ( ) sin 1 [ 1 ] ( sin ) ( ) [ sin 1 q a q a q q a q q a q a q ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ ´ = r Ar r rA r r A rA r A A r F r
注意:(1)、磁偶极子、向量磁位以及磁场之关系与电偶极子、电位 以及电场强度关系类比 4丌E m×F N又2eP(2Cos67+sin06) B m(2 cos 0 r +Sin 00) 4兀 4兀 (2)、磁化强度与磁化电流体密度、面密度的关系 考虑空间一磁化媒质,若磁化强度M已知,则空间r处的向量磁位 (r)=Ho[ M(r)X(r-r'dv'= HoM()XV I A 4丌 4丌 M V×M(F)-V×( 4丌 AyxM(F)A×M”少 bo r M(r) 4兀 这两步变换利用了以下向量恒等式457页之(35)和458 页之(47) V×(hA)=hV×(A)-A×Vh V×Ad A×dS V×M=δ (10.9) IMxn=km 10.10
注意：（1）、磁偶极子、向量磁位以及磁场之关系与电偶极子、电位 以及电场强度关系类比 （2）、磁化强度与磁化电流体密度、面密度的关系 考虑空间一磁化媒质，若磁化强度 M 已知，则空间 r 处的向量磁位 ïî ï í ì ´ = Ñ ´ = Þ (10.10) (10.9) m m M n K M d m (2 cos sin ) 4 p (2 cos sin ) 4 1 q q q p m q q q pe = + = + B r E r 3 3 4 4 1 r m r A r p r ´ = × = p m pe j ò ò ò ò ò ´ ¢ ¢ - ¢ ¢ ¢ + - ¢ Ñ¢´ ¢ = ¢ - ¢ ¢ Ñ¢´ ¢ -Ñ¢´ - ¢ = ¢ - ¢ ¢ = ¢ ´ Ñ¢ - ¢ ¢ ´ - ¢ = S n ds r r M r dv r r M r dv r r M r M r r r dv r r dv M r r r M r r r A r ( ) 4 ( ) 4 )] ( ) ( ) ( 1 [ 4 1 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 0 0 0 0 3 0 p m p m p m p m p m 这两步变换利用了以下向量恒等式 457 页之（35）和 458 页之（47） ò ò Ñ ´ = - ´ Ñ ´ = Ñ ´ - ´ Ñ V S AdV A dS hA h A A h ( ) ( )
电感 1、磁链:磁感应线呈环状,又称之为磁链。通过环面的链与电流成 正比,比值称为电感 L 2、电感分类 图104磁链 自感: L 21 电感 互感: 12 Ml 21 注意:①M2=M2=M,推导可见P158页聂以曼公式 ②L、M、只和线圈的尺寸、匝数等有关,M还与线圈的相对位置有关
二、电感 1、磁链：磁感应线呈环状，又称之为磁链。通过环面的链与电流成 正比，比值称为电感 2、电感分类 电感 注意：① M12=M21=M，推导可见 P158 页聂以曼公式 ②L、M、只和线圈的尺寸、匝数等有关，M 还与线圈的相对位置有关 I L LI L L Y = Y = 图 10.4 磁链 自感： I LI L i i Y Y = Þ = 互感： 2 12 12 12 2 12 1 21 21 21 1 21 I M I M I M I M Y Y = Þ = Y Y = Þ = M 12 = M 21 = M
3、自感分类 A、内磁链、内自感 例10.4、设半径为R的长直导线带有均匀的电流,电流强度为I,电 流方向向上,求1)导体内部的磁通和磁链2)求出长直导线的内自 感 解: Z轴 丌R k r B STr 2丌r 2 R 2mm2公 2兀R 1)磁通 2mB3以b=1b 2兀R R d r ulL 2兀R2 4兀 2)磁链、内自感 距轴心为r处的 条形面积元宽度 2 dp.=-do 为dr 丌R2R R元r =]H=n2 图10.5内磁链、内自感 兀R22兀R2 8丌 L (10.11) 8丌
3、自感分类 A、内磁链、内自感 例 10.4、设半径为 R 的长直导线带有均匀的电流，电流强度为 I，电 流方向向上，求 1 )导体内部的磁通和磁链 2 )求出长直导线的内自 感。 解： 1）磁通 2）磁链、内自感 k R I 2 p d = r R I r R I r r r I r B 2 2 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 p m p p p m dp p m p m = = = ¢ = p m p m p m p m 2 4 2 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 IL rdr R IL d rdr R IL rLdr R I d R R F = F = = F = = ò ò (10.11) 8 2 8 2 0 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 p m p m p m p p p m p p L L I L IL rdr R IL R r d rdr R IL R r d I I d i i i R i i i i Þ = Y = Y = Y = × = F = × ¢ Y = ò ò r R L k R I 2 p d = 距轴心为 r 处的 条形面积元宽度 为 dr 图 10.5 内磁链、内自感 Z 轴
注意:①、正确理解磁链、交链、磁通三者之间的联系与区别 :磁力线形象称为磁链,因为它呈环状;交链是指磁链与电流环‘相 交’的那一部分;磁通纯粹是指通过空间某一面上的磁感应强度通量 而已。从物理本质上讲,对于计算电感来说,有用的是交链 对于线电流:dφ=1dφ (10.12) ②、一般来说,只有电流是线分布的情形,磁链才等于磁通;参考《电 磁学教学札记》张之翔、高等教育出版社、1987、北京,P159页
注意：①、正确理解磁链、交链、磁通三者之间的联系与区别 ：磁力线形象称为磁链，因为它呈环状；交链是指磁链与电流环‘相 交’的那一部分；磁通纯粹是指通过空间某一面上的磁感应强度通量 而已。从物理本质上讲，对于计算电感来说，有用的是交链。 对于线电流：dψ=1·dφ （10.12） ②、一般来说，只有电流是线分布的情形，磁链才等于磁通；参考《电 磁学教学札记》张之翔、高等教育出版社、1987、北京，P159 页 ò ò F ¢ = Y = Y = i i i i d I I I d I I L 1 1