UNIVERSITY PHYSICS II CHAPTER 27 An introduction to Quantum mechanics 薛定谔方程及其应用 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达, “波粒二象性”—借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验,避免 借用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解 释,是建立在基本假设之上的构造性理论,其正确 性由实践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态,波函 数所遵从的方程薛定谔方程是量子力学的基本 方程。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设 之
1 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达， “波粒二象性”——借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免 借用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解 释，是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确 性由实践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函 数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本 方程。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设 之一。 薛定谔方程及其应用
薛定遇方程及其应用 维自由粒子的波动方程 由一维自由粒子波函数y(x,t)=He(kx=m E y=h 德布罗意关系 P hh =hk ih-Y=Ey 得y(x,)=e(n2x-B ar-p y in-yy h2。2y=p2y 薛定遇方程及其应用 由一维运动自由粒子能量E 得量子客体一维运动波动方程 a hay >推广1:>一维势场E P助 +V(x) . ay n ay at 2m a2+v(x)y
2 薛定谔方程及其应用 一、一维自由粒子的波动方程 ( ) 0 ( , ) i kx t x t e ω Ψ Ψ − 由一维自由粒子波函数 = k h p E h h h = = = = λ ν ω 德布罗意关系 得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = − Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 2 2 2 2 ( ) 0 ( , ) x x p x Et i p x p x i E t i x t e x h h h h 由一维运动自由粒子能量 m p E x 2 2 = 2 2 2 t 2m x i ∂ ∂ = − ∂ ∂Ψ h Ψ h 得量子客体一维运动波动方程 推广1： 一维势场 ( ) 2 2 V x m p E x = + Ψ Ψ Ψ ( ) 2 2 2 2 V x t m x i + ∂ ∂ = − ∂ ∂ h h 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 推广2 三维含时薛定谔方程 三维势场EsPx+p+P=+V(r) (r,),n22 边 0=-v2+V(r)H(r,t) 2m 其中y2_02, ax2+a2+a2-拉普拉斯算符 薛定谔方程及其应用 维定态薛定谔方程 若一维势场中,势能函数不显含时间,则 Y(x, t=y(x)f(t) 代入一维薛定谔方程得 i Ef h d-p 2m dr2 +v(x)y=Ey 可解得()=e iEt/h
3 推广2： 三维势场 ( ) 2 2 2 2 V r m p p p E x y z + + + = ( )] ( , ) 2 [ ( , ) 2 2 V r r t t m r t i Ψ Ψ = − ∇ + ∂ ∂ h h 其中 2 2 2 2 2 2 2 x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = ——拉普拉斯算符 二、三维含时薛定谔方程 薛定谔方程及其应用 三、一维定态薛定谔方程 若一维势场中，势能函数不显含时间，则 Ψ (x,t) =Ψ (x) f (t) 代入一维薛定谔方程得 Ef t f i = d d h Ψ Ψ Ψ V x E m x − + ( ) = d d 2 2 2 2 h 可解得 / h ( ) iEt f t e− = 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 概率幅为驻波 y(,, t)=y(rf(=y(x)e 概率密度 P(x,)={(x,0)2=P(x)f()2=y(x)2 不依赖于时间。 薛定谔方程及其应用 四、薛定谔方程的应用 一维无限深势阱 在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态 ◆牛顿力学 粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。 yr) yr) yy / (a)经典描述(b)量子力学描述c)概率分布函数
4 概率幅为驻波 / h ( , ) ( ) ( ) ( ) iEt x t x f t x e− Ψ =Ψ =Ψ 概率密度 2 2 2 P( x,t) = Ψ ( x,t) = Ψ ( x) f (t) = Ψ ( x) 不依赖于时间。 薛定谔方程及其应用 四、薛定谔方程的应用 ¾一维无限深势阱 在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态： v v ψ(x) ψ(x)⏐2 (a)经典描述 (b)量子力学描述 (c)概率分布函数 牛顿力学 粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 ◆量子力学 粒子波函数具有驻波态,可由薛定谔方程求解。 由于粒子被限制在势箱内运动,将势能函数 简化为 00<x<a V(r) a其它情况 定态薛定谔方程 d 2 (E-∞)y=0①x≤0,x≥ 解①得v=0(粒子不能逸出势阱) 薛定谔方程及其应用 2m 0<x< dx2 h2 Ey=0 2mE d'y 令k 得 +ky=0 通解:y(x)= A sin kx+ B cos kr 积分常数 因为y(0)=y(a)=0 由y()=0得B= 于是y(x)= A sin k 5
5 量子力学 粒子波函数具有驻波态，可由薛定谔方程求解。 由于粒子被限制在势箱内运动，将势能函数 简化为 ⎩ ⎨ ⎧ ∞ < < = 其它情况 x a V x 0 0 ( ) 定态薛定谔方程 ( ) 0 x ≤ 0, x ≥ a 2 d d 2 2 2 + − ∞ ψ = ψ E m x h ① 解①得 ψ = 0 （粒子不能逸出势阱） 薛定谔方程及其应用 0 0 < x < a 2 d d 2 2 2 + ψ = ψ E m x h ② 令 2 2 2 h mE k = 得 0 d d 2 2 2 + ψ = ψ k x 通解: ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx 积分常数 由 ψ（0）= 0 得 B = 0 ψ ( x) = Asin kx 因为 ψ ( 0 ) = ψ ( a ) = 0 于是 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 由va)=0得 Asina=0 n兀 k (n=1,2,3) n兀 y(x)=Asix(n=1,2,3,) 由归一化条件「v2dx=1—A y.dx=a' sin 2 nnx dr=l 2.n兀x 于是:W(x)=1-sin (n=1,2,3,) 薛定谔方程及其应用 2.n丌x-E Y(x, t) SIn eh(n=1,2,3 显然该解为驻波形式。 ◆解的物理意义 ①无限深势阱中粒子的能量量子化 由k22mE 2k、h2 kn2 nrna 得E==-2=n2E1(n=1,2,3,) 2 2ma 6
6 由 ψ(a)=0 得 Asinka=0 a n k π = (n = 1,2,3L) 由归一化条件 | | d 1 2 = ∫ ∞ − ∞ ψ x d sin d 1 2 0 * 2 ⋅ = = ∫ ∫ ∞ −∞ x a n x x A a π ψ ψ 于是： a n x a x π ψ sin 2 ( ) = (n = 1,2,3,...) x a n x A π ψ ( ) = sin (n = 1,2,3,...) a A 2 = 薛定谔方程及其应用 Et i e a n x a x t h − = ⋅ π Ψ sin 2 ( , ) (n = 1,2,3L) 显然该 解为驻波形式。 解的物理意义 ①无限深势阱中粒子的能量量子化 a n k π = 2 2 2 h mE 由 k = 得 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = = h π h 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 能量只能取一系列的分立值 E k2n2mn2=n2E1(n=1,23 2n 2ma 式中 E n 为最小能量E1也称零点能。 AE=En+I-E=(2n+1) h n 2ma n个今EE↑a↑→EE↓ n=2 m2>>h→AE→0 回到经典情况,能量连续。 薛定谔方程及其应用 ②粒子在势阱中的概率分布 经典:势阱中V=0,粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子 波函数y(x,t) 2nm。h 概率密度((x、)}=v(x)是2nm (n=1,2,3 波函数为驻波形式,势阱中不同位置强度不 等,粒子出现的概率不相同
7 为最小能量E1也称零点能。 式中 2 2 2 1 2ma E π h = E o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = = h π h 能量只能取一系列的分立值： ( ) 2 2 2 1 2 2 1 ma E En En n π h ∆ = + − = + n ↑ ⇒ ∆E ↑ a ↑ ⇒ ∆E ↓ 0 ma2 >> h2 ⇒ ∆E → 回到经典情况，能量连续。 薛定谔方程及其应用 ②粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中V = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 波函数 Et i e a n x a x t h − = π Ψ sin 2 ( , ) 概率密度 a n x a x t x π Ψ ψ 2 2 2 sin 2 | ( , ) | =| ( ) | = (n = 1,2,3,...) 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不 等，粒子出现的概率不相同。 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 (x)=12sin"c(x,)=(/3,n B SIn y(x) E,=16E e,=9E n=3 n=3 E2=4E1 2 0 薛定谔方程及其应用 (x,t) E,=16E n=4 E;=9E E 4E 2 2 x 0 两端为波节,|y2=0,粒子不能逸出势阱 阱内各位置粒子出现概率不同,Y峰值处较大 能级越高,驻波波长越短,峰值数增多 y相同,量子→经典 归一化条件,曲线下面积相等
8 Et i e a n x a x t h − = π Ψ sin 2 ( , ) a n x a x t x π Ψ ψ 2 2 2 sin 2 | ( , ) | =| ( ) | = o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x E1 2 1 E = 4E E3 = 9E1 4 1 E = 16 E Ψ ( ) x, t ( ) 2 Ψ x 薛定谔方程及其应用 两端为波节， |Ψ | 2 = 0， 粒子不能逸出势阱 归一化条件，曲线下面积相等 阱内各位置粒子出现概率不同， 2 |Ψ | 峰值处较大 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多 |Ψ | 2 相同，量子 → 经典 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x E 1 E 2 = 4 E 1 E 3 = 9 E 1 4 1 E = 16 E Ψ ( ) x , t ( ) 2 Ψ x 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 例1、粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动, 处于m=1状态,求在0~区间发现该粒子的概率 解: lY==sin2 x P=Idx=-=sin dx "sina(c a元 m1.2丌x sIn =9.08% 兀2a 薛定谔方程及其应用 势垒隧道效应 势函数: II x >x V(x) 0xx2) 得 d-y 2m +2(E-P=0(x1Sx≤ dx2 h2
9 例1、粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动， 处于n=1状态，求在 区间发现该粒子的概率 。 4 0 ~ a 解： a x a π Ψ 2 2 sin 2 | | = sin d( ) 2 2 4 0 a x a a x a a π π π ∫ = ) 9.08% 2 sin 4 1 2 ( 2 4 0 = − = a a x a πx π π P x a | | d 4 0 2 ∫ = Ψ x a x a a sin d 2 2 4 0 π ∫ = 薛定谔方程及其应用 ¾势垒 隧道效应 势函数： V ( x) = 0 x x2 0 1 2 V x ≤ x ≤ x 代入 Ψ Ψ Ψ V x E m x − + ( ) = d d 2 2 2 2 h 得 0 2 d d 2 2 2 + Ψ = Ψ h mE x (x x2) ( ) 0 x1 ≤ x ≤ x2 ( ) 2 d d 2 2 2 + − Ψ = Ψ E V m x h x E E I II III V=0 O x1 x2 V=0 V= V0 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 由薛定谔方程,解得三个区E 域方程的解 区域1(xx)V=0,解为正弦波 Y1=A sin(k,x+u V=0 A1,g1为常量 2mE x x2 区域I(x1≤xx2,≠=0,解为正弦波 I=A3 sin(k,x+p3) A3,g3为常量k1 2mE 由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零,说明粒子 出现在该两个区域的概率不为零,可以证明 粒子穿透势垒的概率 e hv2m(o-E)d 2m(V0-E)(x2-x1) e 10
10 x1 x2 由薛定谔方程，解得三个区 域方程的解： 区域I(xx2), V=0, 解为正弦波 1 2 2 h mE A k = 3, ϕ3为常量 sin( ) = 3 1 +ϕ 3 Ψ A k x ΙΙΙ 由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零，说明粒子 出现在该两个区域的概率不为零，可以证明 粒子穿透势垒的概率 2 ( )( ) 2 2 ( ) 2 0 2 1 0 m V E x x m V E d e P e − − − − − = = h h 薛定谔方程及其应用