第二章蒙特卡洛方法 计算机橫拟采用的方法來看,它大政可以分为两种类型 (1)隨机模拟方法或統计试验方法,又称蒙饽卡涪⑩ Monte Car1o)方法。它是遭过不斷产生随机教序列来模拟过 程。自然界中有的过程本身就是随机的过程,物理现 象中如粒子的衰变过程、粒子在介中的輸运过程.., 菁。当瘘靈特卡涪方法也可以背助慨率模型来解决不 真接具有随杋性的确定性问瘛 2)确定性棋拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运 动方程来棋拟蕘个系统的行为。在统计物狸中称为分 子动力学( Molecular Dynamics)方法。关于分子动 力学方法觉们将在第六章中介绍。此外,近年来还发 晨了神鲶元网络方法和原胞自动机方法。 从蒙特卡洛棋拟的应用来看。该类型的疝用可以分为三种 形式: (1)直接蒙怜卡洛模拟。它采用随机教序列来棋拟复杂 随杋过程的效应。 (2)蒙怜卡洛积分。这是利用机数序列计算积分的方 法。积分數篾高,该方法的积分效率就高。 (3) Metropolis蒙饽卡洛模拟。这神拟是以所谓“马 尔科夫”( Markov)鰱的形式产生系魷的分布序列。 该方法可以们能够研究经典和量子多粒子系 统的问题
第二章 蒙特卡洛方法 计算机模拟采用的方法来看，它大致可以分为两种类型: (1) 随机模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛(Monte Carlo)方法。它是通过不断产生随机数序列来模拟过 程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现 象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程... 等。当然蒙特卡洛方法也可以借助慨率模型来解决不 直接具有随机性的确定性问题。 (2) 确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运 动方程来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分 子动力学（Molecular Dynamics）方法。关于分子动 力学方法我们将在第六章中介绍。此外, 近年来还发 展了神经元网络方法和原胞自动机方法。 从蒙特卡洛模拟的应用来看，该类型的应用可以分为三种 形式： （1） 直接蒙特卡洛模拟。它采用随机数序列来模拟复杂 随机过程的效应。 （2） 蒙特卡洛积分。这是利用随机数序列计算积分的方 法。积分维数越高，该方法的积分效率就越高。 （3） Metropolis 蒙特卡洛模拟。这种模拟是以所谓“马 尔科夫”（Markov）鏈的形式产生系统的分布序列。 该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系 统的问题
2.1蒙特卡洛方法的基础知识 基本恩 对求解问题本身就具有概率和鲩计性的情况,例如中子在介 厥中的传撸,被衰变过程,我们可以使用直接象卡洛模拟 方法。该方法是按照实际问题所篷循的概率计规谭,用电子 计犷杋选行真接的抽祥试验,嶽后讣算其統讣參。直接兮 卡洛模拟法最充分体親出象特卡洛方法无可拟的特殊性和优 越性,因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用。该方 法也就是逦常所说的“计算机实验”。 蒙特卡洛方法也可以人为地杓遭出一个合适的概率型,依 照该模型进行大量的统计实验,使它的某些统计参量正好是恃 求问题的解。这也就是所训的间接蒙彎卡洛方法。下面们举 两个最单的例子来说明间接蒙特卡洛方法应用的内酒 巴失昂( Buffon)投针实验。 该试验方泰是:在平濞臬面上划一组相距为S的平行錢, 向此梟面随意地投掷长度l=s的细针,那末从针与平行幾相交的 概率就可以得到丌的数值。 教掌统讣理论的简单地讣算 设针与平行的軎直方向的夹角为a,那么针在与平行錢 直的方向上投影的长度为 7. cosa e。对于确定的a夹肩,细针与平 行戴相交的概率为投影长度与平行戴间距之比,即=a 由于以是在0区间均訇分布的,所以kosa的平均值为 cosa 假如在N次投针中,有M次和平行线相交。当N充分大时, 相交的频数M/N就近似为细针与平行线相交的概率。因此,我 们得到
2．1 蒙特卡洛方法的基础知识 一、 基本思想 对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，例如中子在介 质中的传播，核衰变过程等，我们可以使用直接蒙特卡洛模拟 方法。该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用电子 计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。直接蒙特 卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性和优 越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用。该方 法也就是通常所说的“计算机实验”。 蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型，依 照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待 求问题的解。这也就是所谓的间接蒙特卡洛方法。下面我们举 两个最简单的例子来说明间接蒙特卡洛方法应用的内涵。 巴夫昂(Buffon)投针实验。 该试验方案是：在平滑桌面上划一组相距为 s 的平行线， 向此桌面随意地投掷长度l = s的细针，那末从针与平行线相交的 概率就可以得到π 的数值。 数学统计理论的简单地计算： 设针与平行线的垂直方向的夹角为α，那么针在与平行线垂 直的方向上投影的长度为l ⋅ cosα 。对于确定的α夹角，细针与平 行线相交的概率为投影长度与平行线间距之比，即 α α cos cos = ⋅ s l 。 由于α 是在[0,π ]区间均匀分布的，所以 cosα 的平均值为 π α α π π 2 cos 1 0 = ∫ d . 假如在 N 次投针中，有 M 次和平行线相交。当 N 充分大时， 相交的频数M N 就近似为细针与平行线相交的概率。因此，我 们得到
2N 然而,上述批针法得到试验绪鼎的效率和拚度都很鑾 经过n次投针后得到r的肴度。 设p=2/,则针与平行相交的次数应足二项式分布, 其期望值为叩,方鑾应为m(1-p)。因而2/丌值的方鑾为 p(-p)/m,标准误差为,四-。将p=2/x的标误差改写为兀 的标凎误韁237/√n。这意咪普谜验所得的兀篁的不确定性的范 回如下: 对100次投针为,0.2374 对10,000次投针为,0.0237 对1,000,000次投针为,0.0024。 显用这种方法比用其它方法计值所引起的不确定范国要 大得多。 例:定积分讣算 f(x)x.0≤f(x)≤1 这时我们可以随机地向正方形内投成,最后统计落在曲錢下的 点数M,当总的擲点教N充分大时,M就近似于积分值I。 y=f(x)
M 2N π ≈ . 然而，上述投针法得到试验结果的效率和精度都很差。 经过 n 次投针后得到π值的精度。 设 p = 2 /π np ，则针与平行线相交的次数应满足二项式分布， 其期望值为 ，方差应为np(1− p)。因而2/π 值的方差为 p(1− p)/ n，标准误差为 ( ) n p 1− p 。将 p = 2 /π 的标准误差改写为π 的标准误差2.37 / n 。这意味着试验所得的π 值的不确定性的范 围如下： 对 100 次投针为，0.2374 对 10,000 次投针为，0.0237 对 1,000,000 次投针为，0.0024。 显然用这种方法比用其它方法计算π值所引起的不确定范围要 大得多。 例: 定积分计算 = ∫ . 1 0 I f (x)dx 0 ( ≤ f x) ≤ 1 这时我们可以随机地向正方形内投点，最后统计落在曲线下的 点数 M，当总的掷点数 N 充分大时，M N就近似等于积分值 I
蒙特卡洛方法的基本思翘 当问逦可以抽为棊个确定的教学问颋时。应当首先建立一 个恰当的概率模型,即确定某个随机事件A或随机变量X,良 得行求的解着于蘭机事件出现的概率貮随机变量的教導期望 。燚后选行拟寥验,即复多次地模拟隨机事件A或随机 变量X。最后对隨机奥验结果进行統计平均,求出A出现的频 教成Ⅹ的平均篁作为问题的近似解。这种方法也叫敵间接蒙特 卡洛拟。 二、随机变量和随机变量的分布 g <u<utd g(u)称为u的概率分布度函数,它表示随机变量u取u到 l+d之间值的概率 g()分布函数定义为 G(u)=g(kox g(u)=dG(u)/du 注宠:G(u)是一个在0区间取值的卓调邐增函数。常g(u)是 归一化的分布密度函数,因而该函数对所有的l值范國的积分 值应当为1。 三、随机变量的独立性 假如们考两个随机变量u’和ⅵ的分布,则必须引进这 两个变量的联合分布密度函数h(u1),此时带来的数学问题就更 为复杂。 在加(u;v)=p()q()这种特殊儕况下,u和v是被此独立的随 机变量。 对于个以上的变量来说,随机变量独立性的概念就更复杂 如:r和s是两个均訇分布在回区间的相互独立的随机变 量,由此我们可以构遭三个新的变量
蒙特卡洛方法的基本思想： 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一 个恰当的概率模型，即确定某个随机事件 A 或随机变量 X，使 得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望 值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件 A 或随机 变量 X。最后对随机实验结果进行统计平均，求出 A 出现的频 数或 X 的平均值作为问题的近似解。这种方法也叫做间接蒙特 卡洛模拟。 二、 随机变量和随机变量的分布 g( ) u du = P[ ] u < u′ < u + du . g(u) u + 称为 u 的概率分布密度函数，它表示随机变量 u’取 u 到 du之间值的概率。 g(u) 分布函数定义为： G( ) u g( ) x dx . u ∫−∞ = 则 g( ) u = dG( ) u / du . 注意：G(u)是一个在[0,1]区间取值的单调递增函数。通常g(u)是 归一化的分布密度函数，因而该函数对所有的 值范围的积分 值应当为 1。 u 三、 随机变量的独立性 假如我们考虑两个随机变量 u’和 v’的分布，则必须引进这 两个变量的联合分布密度函数h(u,v)，此时带来的数学问题就更 为复杂。 在 这种特殊情况下，u’和 v’是彼此独立的随 机变量。 h( ) u,v = p(u)⋅ q(v) 对于两个以上的变量来说，随机变量独立性的概念就更复杂 了。 如: r 和 s 是两个均匀分布在[0,1]区间的相互独立的随机变 量，由此我们可以构造三个新的变量
=(r+s)mod 1 此时xy,也都是均訇分布在区间國]的随机变量,并且所有的 (xy)U=)和(x,z)组合都是独立的(括号内任一个变量值的选取 并不对括号中另一个变量的取值有影响)。但是(x,y2)中,任 意两个变量的篁可以确定出第三个变量的值。此时它们之间存 在明显的相共性 四、期值、方鑾和协方 个函数/)的数学期望值是定义为该函数的平均值 Ef)=f(uku 类似地,可以定义变量l'的期望值为u的平均值 Elu)=udG()=ug(ubu 个函教成变量的方塾 VU=EU-EUDU-EU] 方的平方根叫做祿准误。由于祿准误差与其真值有相同 的量鋼,因而它比方塾更具有物理危义 如果将求期望值和求方塾的运犷作为犷符,我们可以证明出 这些算符作用在随机交量的纜性组合式上的一些筒阜则。假 如x和y是随机变量,C是一个常薮,则 Ecx+y=cEx)+Ell V(cx+y)=cvx)+vl)+2cEy-El(x-E() 期望寶算是一个錢性算,而方鑾算普是非能性算待。 五、大数法则和中心极限定理 概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡洛方法的基础
( )mod1. , , z r s y s x r = + = = 此时 x y, ,z 也都是均匀分布在区间[0,1]的随机变量，并且所有的 和 组合都是独立的(括号内任一个变量值的选取 并不对括号中另一个变量的取值有影响)。但是( )中，任 意两个变量的值可以确定出第三个变量的值。此时它们之间存 在明显的相关性。 ( ) x, y ,(y,z) (x,z) x y, ,z 四、 期望值、方差和协方差 一个函数 f (u′)的数学期望值是定义为该函数的平均值 E{f } f ( ) u dG( ) u f (u)g(u)du ∫ ∫ = = . { } f ( ) u du b a E f b − ∫a = 1 . 类似地，可以定义变量u′的期望值为u的平均值 E{u } ( udG u) ug(u)du ∫ ∫ ′ = = . 一个函数或变量的方差: V{ }f E{ } ( ) f E{f } [f E{ }f ] dG 2 2 ∫ = − = − . 方差的平方根叫做标准误差。由于标准误差与其真值有相同 的量纲，因而它比方差更具有物理意义。 如果将求期望值和求方差的运算作为算符，我们可以证明出 这些算符作用在随机变量的线性组合式上的一些简单规则。假 如 x 和 y 是随机变量，c 是一个常数，则 E{ } cx + y = cE{x}+ E{y}. { } cx + y = c V{x}+V{y}+ 2cE{(y − E{y})(x − E{x})} 2 V . 期望值算符是一个线性算符，而方差算符是非线性算符。 五、 大数法则和中心极限定理 概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡洛方法的基础
大数法则反映了大量随机数之和的性质。 如果函数h在[区间,以均訇的概率分布密度隨机地取n 个数l,对每个u计算出函数值H(u)。大教法则告诉我们这些 函数值之和除以n所得的值将收敛于函数h的期望值,即 lim -h(u)=lim I h(udu= I 大教法则佩证了在抽取足够多的随机样本后,计算得到的积 分的兮卡涪佔计值将收筮于该积分的正确绪果。考要对收敛 的程度选行研兇。并做出各种误差佑讣,则要用到中心极限定 中心极限定理告诉我们:在冇足够大,但又有限的抽样教n 的情沉下,蒙兮卡洛佔计是如何分布的。 该定理指出:无论随机变量的分布如何,它的若干个独立随 机变量抽榉值之和总是满足正则分布(即高斯分布)。例如我们 有一个随机变量,它演足分布密度函数f(x)。如果我们将n个 满足分布鲁度函数f(x)的独立随机数相加:R=7+n2+…+mn, 则R灡足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值μ和方a2完 全确定下来,邋常用N(x,a2)来襄示 N(,a2)= ex /2σ 中心极限定理可以给出蒙特卡洛佔计值的傭。如上面公弌 右边积分的期望值为Ⅰ。公弌左边用n次抽样的象卡洛佑计 为ln,标准误鑾为σ,则当n充分大时,对任意的λ(λ>0),有 O lim Pr ob-2 ≤ln-1<A e-7/2dt=1-a 这说明:该积分的期望值与求钞卡洛佔计值之塾在范国 <1 内的概率为1-a,a称为显着水平,1-a称为量信水平。σ为 蒙特卡洛估计值的标准误差,σ2=V{}/n。a与λ的关系可以有 上面积分公式泶得。也有专冂的教学用衰可査。例如取量信水 平1-a=9,可以查2=3。这可以解释为:不式-小<3
大数法则反映了大量随机数之和的性质。 如果函数 在[ 区间，以均匀的概率分布密度随机地取 n 个数 ，对每个 计算出函数值 h a,b] ui ui ( ) h ui 。大数法则告诉我们这些 函数值之和除以 n 所得的值将收敛于函数h的期望值，即 ( ) ( ) 1 1 1 lim lim n b i n n n a i h u I h u du I →∞ n b = →∞ a ≡ = − ∑ ∫ ≡ . 大数法则保证了在抽取足够多的随机样本后，计算得到的积 分的蒙特卡洛估计值将收敛于该积分的正确结果。若要对收敛 的程度进行研究，并做出各种误差估计，则要用到中心极限定 理。 中心极限定理告诉我们：在有足够大，但又有限的抽样数 n 的情况下，蒙特卡洛估计值是如何分布的。 该定理指出：无论随机变量的分布如何，它的若干个独立随 机变量抽样值之和总是满足正则分布(即高斯分布)。例如我们 有一个随机变量η ，它满足分布密度函数 f (x)。如果我们将 个 满足分布密度函数 n f (x) 的独立随机数相加： 1 2 ... Rn n =η + + η η+ ， 则Rn满足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值µ和方差 完 全确定下来，通常用 2 σ ( ) 2 N µ,σ 来表示 ( ) ( )2 2 2 1 , exp 2 N x µ σ µ / 2 σ π = − − σ . 中心极限定理可以给出蒙特卡洛估计值的偏差。如果上面公式 右边积分的期望值为 ，公式左边用 n 次抽样的蒙特卡洛估计 值为 ，标准误差为 I n I σ ，则当 n 充分大时，对任意的λ(λ > 0)，有 ( ) ( ) 2 1 / 2 limPr 1 2 t n n f f ob I I e dt n n λ λ σ σ λ λ α π − →∞ − − ≤ − < = = − ∫ . 这说明：该积分的期望值与蒙特卡洛估计值之差在范围 ( ) n f I I n σ − < λ 内的概率为1−α ，α 称为显著水平，1−α 称为置信水平。σ 为 蒙特卡洛估计值的标准误差， V{f }/ n 2 σ = 。α 与λ 的关系可以有 上面积分公式求得。也有专门的数学用表可查。例如取置信水 平1−α = 99%，可以查得λ = 3。这可以解释为：不等式 − < 3 n I I n σ
成立的概率为99%同样1-a=95%时,λ=2。 从上面的分析看到,蒙特卡洛方法的误鎏与σ2和n有关。为 熾小误塾。就庇過选取量优的隨机变量,使其方塾最小。对 同一个问题,往往会有多个可供选择的随机变量,这时就应当 择优而用之。在方鑾固定时,增加模拟次教可以有效地魂小误 姜。如谜验次数增加100簡,度提高10。当这禅儆就增 加了计算的机时,提高了用。所以在考虎默特卡洛方法的精 确度旳。不能只是簡阜地微少方塾和增加模拟次教。还同时 兼顾计算费用,即机时耗费。常以方基和费用的乘积作为衡 量方法优劣的标准
成立的概率为99%。同样1−α = 95%时，λ = 2。 从上面的分析看到，蒙特卡洛方法的误差与 和 n 有关。为 了减小误差，就应当选取最优的随机变量，使其方差最小。对 同一个问题，往往会有多个可供选择的随机变量，这时就应当 择优而用之。在方差固定时，增加模拟次数可以有效地减小误 差。如试验次数增加 100 倍，精度提高 10 倍。当然这样做就增 加了计算的机时，提高了费用。所以在考虑蒙特卡洛方法的精 确度时，不能只是简单地减少方差和增加模拟次数，还要同时 兼顾计算费用，即机时耗费。通常以方差和费用的乘积作为衡 量方法优劣的标准。 2 σ