3.3粒子碰撞过程的相空间产生 高能物理可观测量的计犷公式 a=dsD,(P,+Ps, P,PoFL- F(A, Pip,.) 在微扰计犷和事例产生器过程中,在相空间中随机产生末 出射粒子的四动量常常会出现困难。假定对于n粒子末,它的 洛伦兹不变四动量记为p1,Pn,对应的质量为m1…,mn,则其洛仑 兹不变的相电间积元豪示为 d,(P…P)=(2)21P-2Pm(2x) (p)6(2-m) 相间体积元可按如下公式因子化 do.(p n)=nd,(Q,,…,p)n-n(PQ,p…pP) 2 其中 P 对于无质量的粒子(m m=0)的相空间体积 ∫,=(2r) 4-3n [r(n)r(n-) n粒子末庵的反应过程的全微面积分豪示可以写为 n=∫n()M() 相空间积分的友杂性主来自咆是一个高维多量积分。被积 函数中的δ函数面上看起來很简单,但是包对积分域的限制 往往很复杂。外且被积变量间也可能是相关的。 一舭栾讲。对两体末庵的效程。相空间积分还比較筒单,但
3. 3 粒子碰撞过程的相空间产生 高能物理可观测量的计算公式： ( ) ( ) , 1 1 ,..., ( ) , ,..., 8 n a b n n V A d p p p p F A p p K s = Φ + ∫ M 在微扰计算和事例产生器过程中，在相空间中随机产生末态 出射粒子的四动量常常会出现困难。假定对于 粒子末态，它的 洛伦兹不变四动量记为 ，对应的质量为 ，则其洛仑 兹不变的相空间体积元 n p pn m1 ,..., 1 d n mn ,..., Φ 表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 0 1 3 1 1 , ,..., 2 2 n n i n n i i i i i d p d P p p π δ P p θ p δ p m = = π Φ = − ∑ ∏ ) 2 2 − i . 相空间体积元可按如下公式因子化 ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 , ,..., , ,..., , , ,..., 2 n n j j n j j d P p p dQ d Q p p d P Q p p π Φ = Φ Φ − + +1 n ) ) 其中 ∑ 。 = = j i j Q p 1 对于无质量的粒子(m1 = ... = mn = 0 的相空间体积 ( ) ( ) ( ) 1 4 3 2 4 2 1 2 n n n n n d n π π ω − − − Φ = Φ = Γ Γ n − ∫ . n粒子末态的反应过程的全截面积分表示可以写为 n n ( ) ( ) V σ ρ = Φ ∫ d Φ M Φ . 相空间积分的复杂性主要来自它是一个高维多重积分。被积 函数中的δ 函数表面上看起来很简单，但是它对积分域的限制却 往往很复杂。并且被积变量间也可能是相关的。 一般来讲，对两体末态的过程，相空间积分还比较简单，但
是对三体來庵的儕况,就已经有多达4个非平腈变量,而且相空 间积分域也可能找不到简单的形式豪述出来。对这样的积分最常 用的有效办法就是采用蒙彎卡洛方法。 顺序排列油 产生n粒子相空间的方法之一是基于反友利用因子化公式, 使來忞的n粒子体系是来瓴于顺序排列的两体变。反复利用公 式(3.3.2b)我们得到 dp (P, Pu,P) 和2(n).db2(2 其中M2=q2,q=∑p和如2(=2(q,q1,P)不变质量的允许 范围在(m+…+m,)≤M2≤(M1-m)区间。在q的止坐标系中, 两粒子相空间如2(q,q1,p,)有如下表示 dp2(, q-1,P) ( do, d(cos0 其中运动学函数A(xy)宽义为 A(x,y,=)=x2+y2+2-2x-2y2-2=x 该相空间产生采用如下步躐: (1)首先,让 qi = (2)洛仑兹变换到q的舲止坐标; (3)产生两个[]区间的伪随机数512,并使9=2n5n,cos=52; (4)如贔1≥3就广生第三个伪隨机数5,并良 M=(m+…+m1)+5(M-m);
是对三体末态的情况，就已经有多达 4 个非平庸变量，而且相空 间积分域也可能找不到简单的形式表述出来。对这样的积分最常 用的有效办法就是采用蒙特卡洛方法。 一、 顺序排列法 产生 粒子相空间的方法之一是基于反复利用因子化公式， 使末态的 粒子体系是来源于顺序排列的两体衰变。反复利用公 式(3.3.2b)我们得到 n n ( ) ( ) ..... ( )..... (2) 2 1 , ,..., 2 2 2 2 2 dΦn P p1 pn = n−2 dM n−1 dM dΦ n dΦ π ， 其中Mi 2 = qi 2 ， ∑ 和 = = i j i j q p 1 ( ) ( ) d qi qi pi d i , , Φ2 = Φ2 −1 。不变质量的允许 范围在( ) ( ) 2 Mi+1 − mi+1 qi ) 2 2 i ≤ Mi ≤ (qi qi , , Φ2 −1 m1 + ... + m pi 区间。在 的静止坐标系中， 两粒子相空间d 有如下表示 ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i d d q q q m d q q p ϕ θ λ π cos 8 , , 2 1 , , 2 2 2 1 2 2 1 2 − Φ − = 其中运动学函数λ ( x, , y z)定义为 ( ) 2 2 2 λ x, y z, = x + y + z −−− 2xy 2yz 2zx 该相空间产生采用如下步骤： (1) 首先，让i = n，qi = P和 2 Mi i = q ； (2) 洛仑兹变换到qi的静止坐标； (3) 产生两个[0,1]区间的伪随机数 1, i i2 ξ ξ ，并使 1 2 ϕi i = πξ ，cosθi i2 = ξ ； (4) 如 果 i ≥ 3 就产生第三个伪随机数 i3 ξ ，并使 Mi i − − 1 1 = + ( ) m m ...+ 1 +ξi3 (Mi − mi) ；
5)取 la(m:, Mi=, m; 并且问同( n8 sin, sine, cos9,s),进一步量 风=(+m,叫, (6)变换回到原来的洛仑兹系统; (7)将1→}-1。如果1≥2,则回到第(2)步,反之,则置p=9; 该方法产生随机事例的权量为 W=(2) (M,M2,m2) 二、RAMB0算法 RAMB0子程序就是一个能够在相空间中产生非加权事例的程 序。RAMB0算法就是通过4n个[区间均訇分布的伪隨机数,产 生质心系能量为√P2情祝下n个末庵粒子的四动量。对无质量的末 粒子,粒子四动量是以均訇权量产生,们首先讨论这种情况。 取P=(0,0.0,0)为类时四矢量。心系能量为m的n个无质量粒 子的相间体积为 )a|P-∑nTa0(m)l(m) 为推导RAMB0算法,我仉先来考寨如下定义的量 R量可以看作是指述n个无质量粒子四动量q"系鴕,该四动量不
(5) 取 ( ) 2 2 2 1 , , 2 i i i i i M M m p M λ − ′ = G 并且 ( ) sin sin ,sin cos ,cos i i i i i i p p θ ϕ θ ϕ θi ′ ′ = ⋅ G G ，进一步置 ( ) 2 2 , i i i i p′ ′ = + p m p G ′ G ， ( ) 2 2 1 1 , i i i q p − − M i ′ = + ′ ′ − p G G ； (6) 变换回到原来的洛仑兹系统； (7) 将i i ⇒ −1。如果i ≥ 2，则回到第（2）步，反之，则置 1 1 p = q ； 该方法产生随机事例的权重为 ( ) ( ) 2 2 2 4 3 1 1 2 2 , , 1 2 2 n n i i i n n i i M M m W M M λ π − − − = = ∏ . 二、 RAMBO 算法 RAMBO 子程序就是一个能够在相空间中产生非加权事例的程 序。RAMBO 算法就是通过4n个[0,1]区间均匀分布的伪随机数，产 生质心系能量为 2 P 情况下 个末态粒子的四动量。对无质量的末 态粒子，粒子四动量是以均匀权重产生，我们首先讨论这种情况。 n 取Pµ = (ω,0,0,0)为类时四矢量。质心系能量为ω 的 个无质量粒 子的相空间体积为 n ( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 0 3 1 1 2 2 n n i n i i i d p π δ P p θ p δ p = = π Φ = − ∫ ∑ ∏ ) 2 i i 为推导 RAMBO 算法，我们先来考察如下定义的量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 0 0 2 3 1 0 2 2 2 n n n i n i i i i d q 2 R π θ f q q δ q π xf x dx π ∞ − = = = ∫ ∫ ∏ . Rn 量可以看作是描述n个无质量粒子四动量 i qµ 系统，该四动量不
曼动量守恒限制,但其出现具有权量∫,以保持总体积有限。四 矢量q通过下式与物理四动量相美联 p0=x(yq,+b q x(+6+a(59)b, 其中 我仉将这个变换和其逆变换表示为 做变量代换伢到 R=(2n)(P-∑p(2x)2()( P- dbd 选捍∫(x)=e,对b和x积分得到 R=d·S 其中 (P2) n 这就鲐出了换照相空间产生无质量粒子四动量p的象特卡洛犷 该法的两个步 (1)产生相互独立的n个无质量粒子四动量q,它们具有角度
受动量守恒限制，但其出现具有权重 f ，以保持总体积有限。四 矢量 i qµ 通过下式与物理四动量相关联： + a ( G = ( 2 R i i δ ) 2 γ f ) 2 2 3 1 2 2 2 2 n n S P π n n − = Γ Γ − Γ Γ + 1 n ( ) 0 0 i i i p = x qγ + b ⋅ q G G ， ( ) ) 0 i i i i p = + x q bq b ⋅q b G G G G G G ， 其中 1 n i i Q q µ µ = = ∑ ， 2 M = Q ， 1 b Q M = − G ， 0 2 1 Q b M γ = = + G ， 1 1 a γ = + ， x M ω= . 我们将这个变换和其逆变换表示为 i ( ， b p xH q µ µ = G i) ( 1 i i b q H x µ µ − G p ) . 做变量代换得到 ( ) ( ) ( ) ) 4 4 4 0 3 1 1 2 2 n n i n i i i d p π δ P p θ p p = = π = − ∫ ∑ ∏ ⋅ ( ) ( 2 0 3 2 1 1 1 n b i n i P f H p d bd x x − + = ⋅ ∏ G x 选择 ( ) x x e− = ，对b 和 G x积分得到 Rn n n = Φ ⋅ S 其中 ( ) ( ) ( . 这就给出了按照相空间产生无质量粒子四动量 i pµ 的蒙特卡洛算 法。 该算法的两个步骤： (1) 产生相互独立的n个无质量粒子四动量 i qµ ，它们具有角度
各向同性分布,能量q服从分布密度函数g(q)=qe。利用4n↑ [0.区间均勻分布的伪隨机数5,则可以换以下公式得到换要 求分布的四动量q。 q=-ln(5254), q=q-c2cosm,q"=q√-可sing,9=qg (2)将四矢量q变换为四矢量p" 这样得到的每个事例部有相同的权,该权量于 W=( 02m/r(n)r(n-1)I 有质量粒子的相空间袍造可以从无质量枘开始产生。后 再变换到求的有质量袍造。 (1)让p为一组无质量粒子的动量。我们又从无质量粒子相空 间开始计箕 (2)利用下式将p变换到四动量k k.=5P 其中为如下方程的根: O=∑m+(2) (3.3.22) 它的邀变换,即将k“变换到四动量p可以得到:
各向同性分布，能量qi 0服从分布密度函数g q( )i 0 = qi 0 e−qi 。利用4n个 [0,1]区间均匀分布的伪随机数 i ξ ，则可以按以下公式得到按要 求分布的四动量qi µ 。 −1 2 i = −ln (ξi3 4 ξi ) os i x ϕ = − z 0 i i q = q c i pµ ( ) 1 π ω − n − ( ) { } 2 n i i i p P p θ ( 2 ζ ( )2 2 0 1 2 i i c = ξ ， 2 ϕi = πξi ， 0 q ， 0 2 1 c i i i q q = − c ， 0 2 1 sin y i i i q q c ϕi， i . (2) 将四矢量 i qµ 变换为四矢量 。 这样得到的每个事例都有相同的权重，该权重等于 ( ) ( ) 4 3 2 4 0 2 1 2 n n n W n − π − = Γ Γ 有质量粒子的相空间构造可以从无质量构造开始产生，然后 再变换到要求的有质量构造。 步骤： （1）让 i pµ 为 一组无质量粒子的动量。我们又从无质量粒子相空 间开始计算 ( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 0 3 1 1 2 2 n n i i i d p π δ p δ p = = π Φ = ∫ −∑ ∏ ) . （2）利用下式将 i pµ 变换到四动量 i k µ ： ) 2 0 2 0 i i i k m = +ζ p ， i i k p = ζ G G 其中 为如下方程的根： 1 n i i i ω m p ζ = = + ∑ . (3.3.22) 2 它的逆变换，即将ki µ 变换到四动量 i pµ 可以得到：
n=(2-m)/ =k/ 与上面相似,5为如下方程的根 (3.3.23) (3)鲶过一些数学计算后,我们得到 (0)(2x)P-∑门想 p川红k0‖红p 其中{p}和{}分别为一组可能的四动量p和k。明显地,我们可 以看到交换两组四动量{和{},相空间象管卡洛模拟权置可写 P 我们可以得到 则权宜等于 =O k 与元质量的情况比蔌,这个权不开是常数,而是在相空间中变 化的
( ) 0 02 2 i i i p k m 2 = − ζ ， i i p k = ζ G G 与上面相似，ζ 为如下方程的根： ( ) 02 2 2 1 n i i i ω k m ζ = = ∑ − . (3.3.23) （3）经过一些数学计算后，我们得到： ( ) { } ( ) ( ) 2 1 2 0 4 4 3 1 0 0 0 1 1 1 2 n n n i n i i n i i i i i i i i k k p p P k p k p π δ ζ − − = = = =1 n Φ = − ⋅ ⋅ ∫ ∑ ∑ ∏ ∑ G G ( ) ( ) ( 4 0 2 3 1 2 n i i i i d k θ δ k k m = π ⋅ − ∏ ) 2 i 其中{ p}和{k}分别为一组可能的四动量 i pµ 和 i k µ 。明显地，我们可 以看到交换两组四动量{ p}和{k}，相空间蒙特卡洛模拟权重可写 为 ( ) { } { } ( ) 1 2 2 0 3 1 0 0 0 1 1 1 , n n n i n i i i i i i i i p k p k k p k W p ζ − − = = = = ∏ ∑ ∑ G G . 我们可以得到 1 n i i ζ k ω = = ∑ G . 则权重等于 1 2 2 3 4 2 0 1 1 1 n n n n i i n m i i i i i i k k k k W k ω − − − = = = = ∑ ∑ ∏ G G G G . 与无质量的情况比较，这个权重不再是常数，而是在相空间中变 化的
在相空间中产生n个有量來走粒子的步骤: (1)产生n鲁无质量末粒子的事例; (2)数僬求解方程(3.3.23)的根; (3)利用公式(3.3.22)得到有质量粒子的动量。 这样的事例权量为 w=Wm. Wo
在相空间中产生n个有质量末态粒子的步骤： (1) 产生n各无质量末态粒子的事例； (2) 数值求解方程(3.3.23)的根； (3) 利用公式(3.3.22)得到有质量粒子的动量。 这样的事例权重为 W W= m W0 ⋅