圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 §47能态密度和费密面 1.能态密度函数 原子中的电子的能量是一系列分立的能级,在固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带。 能量在E~E+LE之间的能态数目4z XCH04036 能态密度函数:N(E)=lim AE→0△E dv=sdk 在k空间,根据E(k)=Cons构成的面为等能面,如图 XCH004036所示。由EndE+E围成的体积为,状态 在k空间是均匀分布的 其密度:_F 动量标度下的能态密度 (2丌) 则可以将E~E+E之间的能态数目表示为:4Z=F dk表示两个等能面间的垂直距离,显然有:aVE=E 分代入 将b=4E 「得到:42=1∫ dS\ae V,EI ds 能态密度:N(E)= (2) E 如果考虑到电子的自旋,能态密度:N(E)= vr d 4 E 1)自由电子的能态密度 电子的能量:E(丙)=方k,在k空间等能面是半径k 2me 的球面,如图XCH00404401 在球面上E=“6 在球面上为一常数。 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 §4.7 能态密度和费密面 1. 能态密度函数 原子中的电子的能量是一系列分立的能级，在固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带。 能量在 E ~ E + ∆E 之间的能态数目 ∆Z 能态密度函数： 0 ( ) lim E Z N E ∆ → E ∆ = ∆ 在 k K 空间， 根 据 构成的面为等 能面，如图 XCH004_036 所示。由 E(k ) = Cons K E and E + ∆E 围成的体积为 ∆V ，状态 在 k K 空间是均匀分布的 其密度： 3 (2π ) V ——动量标度下的能态密度 则可以将 E ~ E + ∆E 之间的能态数目表示为： ∫ = dSdk V Z 3 (2π ) ∆ dk 表示两个等能面间的垂直距离，显然有： dk ∇kE = ∆E 将 E E dk ∇k = ∆ 代入 ∫ = dSdk V Z 3 (2π ) ∆ 得到： E E V dS Z k ∆ π ∆ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ = 3 ∫ (2 ) 能态密度： ∫ ∇ = E V dS N E k 3 (2 ) ( ) π 如果考虑到电子的自旋，能态密度： ∫ ∇ = E V dS N E k 3 4 ( ) π 1) 自由电子的能态密度 电子的能量： m k E k 2 ( ) 2 2 K = = ，在 k K 空间等能面是半径 2mE k = = 的球面，如图 XCH004_044_01 在球面上 dk dE ∇kE = ， m k kE 2 = ∇ = ，在球面上为一常数。 REVISED TIME: 05-4-21 - 1 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 能态密度:N(B= XCH0404401 k V,E N(E)-4Tnk 将k )2m 方代入得到 2 31 )2E2—-能量标度下的能态密度 2)近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近。 等能面的变化 考虑第一布里渊区的等能面的情况,对于二维正方格子,波矢在接近布里渊区的A点时,能量受到 周期性的微扰而下降,等能面将向边界凸现。在A点到C点之间,等能面不再是完整的闭合面,而 是分割在各个顶点附近的曲面,如图XCHO04038。 XCH004038 XCHDD4 037 C E NE r能态密度的变化 随着k接近布里渊区,等能面不断向边界凸现,两个等能面之间的体积不断增大,能态密度较自由 电子的将显著增大。在A点到C点之间,等能面发生残缺,达到C点时,等能面缩成一个点,因此 能态密度将不断减小直到为零。如图XCH004037 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 能态密度： ∫ ∇ = E V dS N E k 3 4 ( ) π ∫ ∇ = dS E V N E k 3 4 ( ) π 2 3 2 4 4 ( ) k k V m N E π π = ⋅ = 将 2mE k = = 代入得到： 2 1 2 3 2 2 ) 2 ( (2 ) 2 ( ) E V m N E π = = ——能量标度下的能态密度 2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近。 等能面的变化 考虑第一布里渊区的等能面的情况，对于二维正方格子，波矢在接近布里渊区的 A 点时，能量受到 周期性的微扰而下降，等能面将向边界凸现。在 A 点到 C 点之间，等能面不再是完整的闭合面，而 是分割在各个顶点附近的曲面，如图 XCH004_038。 能态密度的变化 随着 k 接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度较自由 电子的将显著增大。在 A 点到 C 点之间，等能面发生残缺，达到 C 点时，等能面缩成一个点，因此 能态密度将不断减小直到为零。如图 XCH004_037。 REVISED TIME: 05-4-21 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 第二布里渊区能态密度 在E越过第一布里渊区的A点,从B点开始能态密度由零迅速增大。图XCH00403901和图 XCH004_03902表示了能带重叠和不重叠两种情况下,能态密度的变化。 XCH00 039 XCH00403902 E Ec El E E Ec>EB NE Ec <EB No 3)紧束缚模型的电子能态密度 对于简单立方格子的s带 E(k)=E0-2J(cosk, a+cosk, a+cosk a) k=0附近,E(k)=Emm2m(k2+k2+k2)-一等能面为球面,与自由电子相似 k=0截面的等能面如图XCH004_040所示。 XCH004040 XCH00404 Simple cubic N(E 随着E的增大,等能面与近自由电子的情况类似。 VE=2a/,)(sink, a+sink, a+sink,a) 能态密度(函数曲线如图XCH004041所示) REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 第二布里渊区能态密度 在 E 越过第一布里渊区的 A 点，从 B 点开始能态密度由零迅速增大。图 XCH004_039_01 和图 XCH004_039_02 表示了能带重叠和不重叠两种情况下，能态密度的变化。 3) 紧束缚模型的电子能态密度 对于简单立方格子的 s 带 ( ) 2 (cos cos cos ) 0 1 E k E J k a k a k a x y z s = − + + k = 0 附近， ( ) 2 ( ) 2 2 2 * 2 min x y z k k k m E k = E + + + = ——等能面为球面，与自由电子相似 = 0 z k 截面的等能面如图 XCH004_040 所示。 随着 E 的增大，等能面与近自由电子的情况类似。 2 (sin sin sin ) ∇kE = aJ1 kxa + k ya + kza 能态密度(函数曲线如图 XCH004_041 所示)： REVISED TIME: 05-4-21 - 3 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 8Ta shi(sink, a+sink, a+sink, a) 带底E=E0-61和E=E0-2J1出现微商不连续的奇点——等能面与布里渊区相交。 X点K=(-,0,0)的能量:E=E0-2J1,其所在的等能面如图XCH004042所示 E=E0的等能面如图XCH_004043所示 XCH004042 k XCH004043 k 2.费米面 1)如果固体中有N个自由电子,按照泡利原理它们基态是由N个电子由低到高填充的N个量子态 电子的能级:E()=h 2m 则N个电子在k空间填充一个半径为kp的球,球内包xo0 k E=E 含N个状态数:N=2×D水 ∷:∷∷ 球的半径:k=2x()3()13,kp=2x(m)3 0垂 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 。垂垂 2mE 费米球:在波矢空间以kp= 为半径做出的球 面,如图XHC004044所示 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 3 1 ( ) 8 (sin sin sin ) x y V dS N E π aJ k a k a k a = + + ∫ 等能面 z 带底 E = E0 − 6J1 和 0 1 E = E − 2J 出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交。 X 点 ( , 0, 0) a K π = 的能量： E E0 2J1，其所在的等能面如图 XCH004_042 所示 X = − E = E0 的等能面如图 XCH_004_043 所示。 2. 费米面 1) 如果固体中有 N 个自由电子，按照泡利原理它们基态是由 N 个电子由低到高填充的 N 个量子态。 电子的能级： m k E k 2 ( ) 2 2 K = = 则 N 个电子在k K 空间填充一个半径为 的球，球内包 含 N 个状态数： F k 3 3 3 4 (2 ) 2 F k V N π π = × 球的半径： 1 / 3 1 / 3 ) ( ) 8 3 2 ( V N k F π = π ， 1/ 3 ) 8 3 2 ( π π n kF = 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球：在波矢空间以 2 F F mE k = = 为半径做出的球 面，如图 XHC004_044 所示。 REVISED TIME: 05-4-21 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 费米能量:E=bk2 2mE 费米球半径:kp= 费米动量:p=M,P=)2mE 费米速度 费米温度:EF=kBTF,TF 自由电子球半径Nn=3,=(3y9 14 简单计算可以得到:k1=2n(3)y0,kn=12 P4.2010° 氢原子基态玻尔半径:ao=0.529×10m 次y= 51.1e 1.5e~10e 2m (r/ao) 2)晶体中的电子 满带:电子占据了一个能带中所有的状态,称该能带为满带。 空带:没有任何电子占据(填充)的能带,称为空带 导带:一个能带中所有的状态没有被电子占满,即不满带,或说最下面的一个空带; 价带:导带以下的第一个满带,或者最上面的一个满带; 禁带:两个能带之间,不允许存在的能级宽度,称为禁带,或带隙。 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带,N个电子填充这些能带中最低 的N个状态 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 费米能量： 2 2 2 F F k E m = = 费米球半径： 2 F F mE k = = 费米动量： pF kF ，K = K = 2 F F p = mE 费米速度： m p v F F K K = 费米温度： EF = kBTF ， B F F k E T = 自由电子球半径 rs ： 3 3 1 4 sr N n V = = π ， 1/ 3 ) 4 3 ( n rs π = 简单计算可以得到： 1/ 3 ) 8 3 2 ( π π n kF = ， s F r k 1.92 = m s m r a p v s F F 10 / / 4.20 6 0 = = × —— 氢原子基态玻尔半径： a m -10 0 = 0.529×10 2 2 2 F F k E m = = ， 2 0 ( / ) 51.1 r a eV E s F = —— 1.5eV ~ 10eV 2) 晶体中的电子 满带：电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带。 空带：没有任何电子占据（填充）的能带，称为空带； 导带：一个能带中所有的状态没有被电子占满，即不满带，或说最下面的一个空带； 价带：导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带； 禁带：两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为禁带，或带隙。 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带，N 个电子填充这些能带中最低 的 N 个状态。 REVISED TIME: 05-4-21 - 5 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 XCH005011 Conducting band half-filled band Er filled band filled band Insulator Semiconductor Metal 对于半导体和绝缘体 电子刚好填满最低的一系列能带,形成满带(价带),导带(最下面的空带)中没有电子。对于半导 体禁带(带隙)的宽度较小∵~leV。如图XCH005011所示 寸于绝缘体禁带(带隙)的宽度较宽:~10cV。 对于金属 电子除了填满一系列的能带形成满带,还部分填充了其它能带形成导带。 在这种情况下,电子填充的最高能级为费密能级,位于一个或几个能带范围内,因此在不同的能带 中,在k空间形成不同的费密面。 对于碱金属,具有体心立方格子,每个原胞内有一个原子,由N个原子构成的晶体,各满层电子的 能级相应地分成2N个量子态的能带,内层电子刚好填满了相应的能带。 例如n=2的能级,原子的量子态数为8,电子填充数为8个。形成晶体后相应的能带2s( 个)、2p(3个),共4个能带,每个能带所容许的量子态2N,共有8N个量子态。因此刚好可以填 充8N个电子。 XCH004045 对于ns态所对应的能带可以填充2N电子,N个原子只有N 个自由电子。因此只填充了半个能带而形成导带。所以碱金属 为典型的金属导体,对应的费米面没有与布里渊区界面相交 因而费米面接近球面。 对于二价碱土金属,最外层有2个s态电子,似乎刚好填充满 和s相应的能带。但由于与s对应的能带和上面的能带发生重 叠,2N个尚未填充满与s态对应的能带,就开始填充上面的 能带,形成两个能带都是部分填充,因此碱士金属为金属导体。 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 对于半导体和绝缘体 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带（价带），导带（最下面的空带）中没有电子。对于半导 体禁带（带隙）的宽度较小: ~1 eV。如图 XCH005_011 所示。 —— 对于绝缘体禁带（带隙）的宽度较宽: ~10 eV。 对于金属 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充了其它能带形成导带。 在这种情况下，电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能带范围内，因此在不同的能带 中，在 k 空间形成不同的费密面。 对于碱金属，具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子，由 N 个原子构成的晶体，各满层电子的 能级相应地分成 2N 个量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带。 —— 例如 的能级，原子的量子态数为 8，电子填充数为 8 个。形成晶体后相应的能带 2s（1 个）、2p（3 个），共 4 个能带，每个能带所容许的量子态 2N，共有 8N 个量子态。因此刚好可以填 充 8N 个电子。 n = 2 对于 ns 态所对应的能带可以填充 2N 电子，N 个原子只有 N 个自由电子。因此只填充了半个能带而形成导带。所以碱金属 为典型的金属导体，对应的费米面没有与布里渊区界面相交， 因而费米面接近球面。 对于二价碱土金属，最外层有 2 个 s 态电子，似乎刚好填充满 和 s 相应的能带。但由于与 s 对应的能带和上面的能带发生重 叠，2N 个尚未填充满与 s 态对应的能带，就开始填充上面的 能带，形成两个能带都是部分填充，因此碱土金属为金属导体。 REVISED TIME: 05-4-21 - 6 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 如图ⅹHC004_045所示。第一布里渊区中的状态尚未填满,第二布里渊区已填充电子,此时的费米 面由两部分构成 具有金刚石结构的ⅣVB族元素C、Si和Ge电子的填充 IVB原子外层有4个电子,形成晶体后成键态 Silicon 对应4个能带在下面,反键态对应4个能带在 上面。每个能带可容纳2N个电子,成键态的 4个能带刚好可以容纳8N电子。在金刚石结 构晶体中,每个原胞有两个原子,共8个电子。 所以晶体中的8N个电子全部填充在成键态的 4个能带中形成满带,反键态则是导带(空带)。 Si和Ge为半导体,金刚石为绝缘体。如图 Bonding state HC004030所示。 XCH004030 能态密度的实验结果 用X射线可以将原子内层的电子激发,因而产生空的内层能级,当外层电子(导带中的电子)跃迁 填充内层能级时发射出X射线光子。 如图XCH004_052所示,用X射线将Na原子的内层电 Sodium ERCEHHRE 子激发产生诸如ls、2s和3p等空的内层能级 Eo K表示导带中的电子到1s能级的跃迁 L表示导带中的电子到2s能级的跃迁 表示导带中的电子到2p能级的跃迁 L Lm表示导带中的电子到3s能级的跃迁 XCH004052 因为导带中电子能量从带底能量到最高能量E。,各种能 量的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子,所以发射出Ⅹ光子能量形成一个连续能量谱。发射 的X光子能量可以通过实验测得。 X光子发射强度决定于:(能态密度)×(发射几率) 根据不同固体的Ⅹ光子发射谱可以获知能态密度的信息 图XCH00405301~05是金属Na、Mg、A和非金属金刚石、硅的实验结果 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 如图 XHC004_045 所示。第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充电子，此时的费米 面由两部分构成。 具有金刚石结构的 IVB 族元素 C、Si 和 Ge 电子的填充 IVB 原子外层有 4 个电子，形成晶体后成键态 对应 4 个能带在下面，反键态对应 4 个能带在 上面。每个能带可容纳 2N 个电子，成键态的 4 个能带刚好可以容纳 8N 电子。在金刚石结 构晶体中，每个原胞有两个原子，共 8 个电子。 所以晶体中的 8N 个电子全部填充在成键态的 4个能带中形成满带，反键态则是导带（空带）。 Si 和 Ge 为半导体，金刚石为绝缘体。如图 XHC004_030 所示。 —— 能态密度的实验结果 用 X 射线可以将原子内层的电子激发，因而产生空的内层能级，当外层电子（导带中的电子）跃迁 填充内层能级时发射出 X 射线光子。 如图 XCH004_052 所示，用 X 射线将 Na 原子的内层电 子激发产生诸如 1s、2s 和 3p 等空的内层能级。 —— K 表示导带中的电子到 1s 能级的跃迁 —— LI表示导带中的电子到 2s能级的跃迁 —— LII表示导带中的电子到 2p能级的跃迁 —— LIII表示导带中的电子到 3s能级的跃迁 因为导带中电子能量从带底能量到最高能量 ，各种能 量的电子均可发生跃迁产生不同能量的 X 光子，所以发射出 X 光子能量形成一个连续能量谱。发射 的 X 光子能量可以通过实验测得。 E0 X 光子发射强度决定于：（能态密度）×（发射几率） —— 根据不同固体的 X 光子发射谱可以获知能态密度的信息 —— 图 XCH004_053_01~05 是金属 Na、Mg、Al 和非金属金刚石、硅的实验结果。 REVISED TIME: 05-4-21 - 7 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 一在低能量区域 金属Na、Mg、A和非金属金刚石、硅的X光子发射能量逐渐上升的——反映了电子的能量从带 底逐渐增大,其能态密度逐渐增大的规律。 XCH0405301 Sodium l Magnesium L3 Aluminium L3 Graphite k XCH00405304 Silicon L2 XCH004053 0 在高能量的一端 金属Na、Mg、A的Ⅹ光子发射谱陡然下降——反映了导带未被电子填充满,最高能量的电子对 应的能态密度最大 非金属金刚石、硅的X光子发射谱逐渐下降——反映了电子填充了导带中所有的状态,即满带。 而在满带顶对应的布里渊区附近,电子的能态密度逐渐降为零。 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 —— 在低能量区域 金属 Na、Mg、Al 和非金属金刚石、硅的 X 光子发射能量逐渐上升的 —— 反映了电子的能量从带 底逐渐增大，其能态密度逐渐增大的规律。 —— 在高能量的一端 金属 Na、Mg、Al 的 X 光子发射谱陡然下降 —— 反映了导带未被电子填充满，最高能量的电子对 应的能态密度最大。 非金属金刚石、硅的 X 光子发射谱逐渐下降 —— 反映了电子填充了导带中所有的状态，即满带。 而在满带顶对应的布里渊区附近，电子的能态密度逐渐降为零。 REVISED TIME: 05-4-21 - 8 - CREATED BY XCH