圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 §53导体、绝缘体和半导体的能带论解释 问题的提出:所有固体都包含大量的电子,但电子的导电性却相差非常大。 导体的电阻率:p~10-9.cm 半导体的电阻率:p~10-2-10°g2·cm 绝缘体的电阻率:p~101-102g2.cm 对于一些金属,特鲁特关于导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功,但对于其它一些固 体却不是这样。导体、半导体和绝缘体的区别在哪里?电子的能带理论给予很好的解释。 1.满带中的电子对导电的贡献 能带中电子的能量是波矢k的偶函数:En(k)=E、(-k) 波矢为k的电子的速度:W(k)=VAE 波矢为-k的电子的速度:W(-k)=VE,v(k)=-VE v(k)=-(-k)--波矢为k的状态和波矢为-k的状态中电子的速度大小相等、方向相反。 1)在无外场时:波矢为k的状态和波矢为-k的状态中电子的速度大小相等、方向相反,每个电子 产生的电流:-qv,对电流的贡献相互抵消。 在热平衡状态下,电子占据波矢为k的状态和占据波矢为-k的状态的几率相等。所以晶体中的满 带在无外场作用时,不会产生电流。如图XCH00500800所示。 XCH00500800 E(k) XCHO05 (08 E(k) a k k REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 §5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 V 问题的提出：所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却相差非常大。 导体的电阻率： ⋅ cm − ρ Ω6 ~ 10 半导体的电阻率： − ⋅ cm − ρ Ω 2 9 ~ 10 10 绝缘体的电阻率： ρ − Ω ⋅ cm 14 22 ~ 10 10 对于一些金属，特鲁特关于导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功，但对于其它一些固 体却不是这样。导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？电子的能带理论给予很好的解释。 1. 满带中的电子对导电的贡献 能带中电子的能量是波矢 k K 的偶函数： E (k ) E ( k ) n s K K = − 波矢为 k K 的电子的速度： v k = ∇kE = K K 1 ( ) 波矢为 k K − 的电子的速度： v −k = ∇−kE = K K 1 ( ) ， v k = − ∇kE = K K 1 ( ) v(k ) v( k ) K K K K = − − —— 波矢为 k 的状态和波矢为 K k K − 的状态中电子的速度大小相等、方向相反。 1) 在无外场时：波矢为k K 的状态和波矢为 k K − 的状态中电子的速度大小相等、方向相反，每个电子 产生的电流： − qv ，对电流的贡献相互抵消。 K 在热平衡状态下，电子占据波矢为 k 的状态和占据波矢为 K k K − 的状态的几率相等。所以晶体中的满 带在无外场作用时，不会产生电流。如图 XCH005_008_00 所示。 REVISED TIME: 05-4-28 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 2)在有外场E作用时 电子受到的作用力:F=-q 电子动量的变什小F,你 有外场时,所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中,电子的运 动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时,满带中的电子不产生宏观的电流。 如图XCH005008所示。 2.导带中的电子对导电的贡献 )无外场存在时:虽然只有部分状态被电子填充,但是波矢为k的状态和波矢为-k的状态中电子 的速度大小相等、方向相反,对电流的贡献相互抵消。在热平衡状态下,电子占据波矢为k的状态 和占据波矢为-k的状态的几率相等。 晶体导带中的电子在无外场作用时,不产生电流。如图XCH005009所示 Without E XCH005009 With e XCH005010 k 2)在有外场E作用时 导带中部分状态被电子填充,外加电场的作用使布里渊区的状态分布发生变化。 =-qE可以看出所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。由于能带是不满 dt 带,逆电场方向上运动的电子较多,因此产生电流。如图XCH005010所 ▲导体、半导体、绝缘体模型 绝缘体一一原子中的电子是满壳层分布的,价电子刚好填满了许可的能带,形成满带,导带和价 带之间存在一个很宽的禁带,在一般情况下,价带之上的能带没有电子,所以在电场的作用下没有 电流产 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 2) 在有外场 E 作用时 电子受到的作用力： F qE K K = − 电子动量的变化： F dt d k K K = = ( ) ， F dt dk K = K 1 = —— 有外场时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运 动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。 如图 XCH005_008 所示。 2. 导带中的电子对导电的贡献 1) 无外场存在时：虽然只有部分状态被电子填充，但是波矢为k K 的状态和波矢为 的状态中电子 的速度大小相等、方向相反，对电流的贡献相互抵消。在热平衡状态下，电子占据波矢为 的状态 和占据波矢为 的状态的几率相等。 k K − k K K − k —— 晶体导带中的电子在无外场作用时，不产生电流。如图 XCH005_009 所示。 2) 在有外场 E 作用时： 导带中部分状态被电子填充，外加电场的作用使布里渊区的状态分布发生变化。 从 d k ( ) qE dt = − K = K 可以看出所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。由于能带是不满 带，逆电场方向上运动的电子较多，因此产生电流。如图 XCH005_010 所示。 V 导体、半导体、绝缘体模型 绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满了许可的能带，形成满带，导带和价 带之间存在一个很宽的禁带，在一般情况下，价带之上的能带没有电子，所以在电场的作用下没有 电流产生。 REVISED TIME: 05-4-28 - 2 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 导体 在一系列能带中除了电子填充满的能带(满带)以外,还有只是部分被电子填充的能带, 后者起着导电作用。 半导体(Si:14、Ge:32)——从能带结构来 XCHOOS Conducting band 看与绝缘体的相似,但半导体禁带宽度较绝缘体 half-filled band 的窄,约为~2eV以下。所以依靠热激发即可以 E EF 将满带中的电子激发到导带中,因而具有导电能 力。理论计算和实验表明:由于热激发到导带中 的电子数目随温度按指数规律变化,所以半导体 filled band filled band illed hand 的电导率随温度的升高也按指数形式变大。导体 半导体和绝缘体的能带如图XCH005011所示。 Insulator Semiconductor Metal 由N个原胞构成的晶体,每一条能带所能容纳的电子数为2N,即为原胞数目的二倍。 原胞中只有一个价电子的固体:L(3)、Ma(11)、K(19)、Cu(29)、Ag(47) 它们只填充半条能带,一般是导体 果原胞含有偶数个价电子,这样可以填满一个能带,形成绝缘体。 但对于二价金属:Be(4)、Mg(12)、如n(30),它们原胞中有2个价电子,照此应该是绝缘 体,但它们却是导体。这是因为能带存在交迭现象。 半金属 Ⅴ族元素Bi、Sb、As具有三角晶格结构,每个原胞含有偶数个电子,但由于能带的交叠使它们具有 了金属的导电性。但由于能带交叠较小,对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属 2.近满带和空穴 满带中的少数电子受热或光激发从满带跃迁到空带中去,使原来的满带变为近满带。通常引入空穴 的概念来描述近满带的导电性。 设想近满带中只有一个k态没有电子,在电场的作用下,近满带产生的电流为近满带中所有电 子对电流的贡献,总电流:I(k) 如果在空的k中放入一个电子,近满带变为满带,总的电流为零,有 (k)+[φv(k)=0,I(k)=qi 可见近满带的总电流相当于一个带正电q的粒子,以空状态k中电子的速度v(k)所引起的。 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带（满带）以外，还有只是部分被电子填充的能带， 后者起着导电作用。 半导体（Si：14、Ge：32） —— 从能带结构来 看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体 的窄，约为 以下。所以依靠热激发即可以 将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能 力。理论计算和实验表明：由于热激发到导带中 的电子数目随温度按指数规律变化，所以半导体 的电导率随温度的升高也按指数形式变大。导体、 半导体和绝缘体的能带如图 XCH005_011 所示。 ~ 2 eV —— 由 N 个原胞构成的晶体，每一条能带所能容纳的电子数为 2N，即为原胞数目的二倍。 原胞中只有一个价电子的固体：Li（3）、Na（11）、K（19）、Cu（29）、Ag（47） —— 它们只填充半条能带，一般是导体。 —— 如果原胞含有偶数个价电子，这样可以填满一个能带，形成绝缘体。 —— 但对于二价金属：Be（4）、Mg（12）、Zn（30），它们原胞中有 2 个价电子，照此应该是绝缘 体，但它们却是导体。这是因为能带存在交迭现象。 V 半金属 V 族元素 Bi、Sb、As 具有三角晶格结构，每个原胞含有偶数个电子，但由于能带的交叠使它们具有 了金属的导电性。但由于能带交叠较小，对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属。 2. 近满带和空穴 满带中的少数电子受热或光激发从满带跃迁到空带中去，使原来的满带变为近满带。通常引入空穴 的概念来描述近满带的导电性。 K —— 设想近满带中只有一个k 态没有电子，在电场的作用下，近满带产生的电流为近满带中所有电 子对电流的贡献，总电流： K I(k ) —— 如果在空的 k 中放入一个电子，近满带变为满带，总的电流为零，有 K I(k ) +[−qv(k )] = 0 K K K ， I( ) k q = v(k ) K K K 可见近满带的总电流相当于一个带正电 q 的粒子，以空状态 k K 中电子的速度 v(k ) 所引起的。 K K REVISED TIME: 05-4-28 - 3 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 在电磁场作用下,满带不产生电流,有I(k)+[-qyv(k)=0 两边对时间微分得到 d =q元v(k) 外加电磁场作用于空状态k中电子的洛伦兹力:-q{E+[v(k)×B} 电子加速度:m*V(k)=-q{E+[v(k)×B]} 空状态k在满带顶附近,电子的有效质量 所以a(k)=9(E+[()xB dl(k) q qE+{q(k)×B]} dt !×(y)+yy E+[qyv(k)×B]一—正电荷q在电磁场中受到的力 在外电磁场中,近满带电流的变化如同一个带正电q,具有正质量m*的粒子。 结论 满带顶附近有空状态k时,整个能带中的电流以及电流在外电磁场中的变化相当于一个 带正电q,具有正质量m、速度(k)的粒子,这样一个假想的粒子称为空穴。 固体中导带底部少量电子引起的导电一—电子导电性 固体中满带顶部缺少一些电子引起的导电——空穴导电性 若将满带中的少量电子激发到导带中,产生的本征导电就是由相冋数目的电子和空穴构成的混 合导电性。 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 在电磁场作用下，满带不产生电流，有 I(k ) +[−qv(k )] = 0 K K K 两边对时间微分得到 ( ) ( ) v k dt d q dt dI k K K K = 外加电磁场作用于空状态 k 中电子的洛伦兹力： K q{E [v(k ) B]} K K K K − + × 电子加速度： * v(k ) q{E [v(k ) B]} dt d m K K K K K K = − + × m* < 0 —— 空状态 k 在满带顶附近，电子的有效质量 K 所以 { [ ( ) ]} * ( ) 2 E v k B m q dt dI k K K K K K = − + × ， { [ ( ) ]} * ( ) qE qv k B m q dt dI k K K K K K = − + × ( ) { [ ( ) * dI k q qE qv k B dt m = + × K K K K K ]} qE [qv(k ) B] K K K K + × —— 正电荷 q 在电磁场中受到的力 —— 在外电磁场中，近满带电流的变化如同一个带正电 q ，具有正质量 m* 的粒子。 结论 空穴 —— 满带顶附近有空状态k K 时，整个能带中的电流以及电流在外电磁场中的变化相当于一个 带正电 q ，具有正质量 m* 、速度 v(k ) K K 的粒子，这样一个假想的粒子称为空穴。 固体中导带底部少量电子引起的导电 —— 电子导电性 固体中满带顶部缺少一些电子引起的导电 —— 空穴导电性 —— 若将满带中的少量电子激发到导带中，产生的本征导电就是由相同数目的电子和空穴构成的混 合导电性。 REVISED TIME: 05-4-28 - 4 - CREATED BY XCH
