圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 §54在恒定磁场中电子的运动导体 1.恒定磁场中的准经典运动 ()s1 V,E(k) 恒定磁场中电子运动的基本方程: v(k)×B 从两个方程可以得到:1)沿磁场方向k的分量不发生变化;2)由于洛伦茲力不做功,能量E(k)不 随时间变化,电子在k空间的等能面上运动。 电子在空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线。 2.自由电子的准经典运动 自由电子的能量:E(k)=2m 将E(k)=k v(k)=,V,E(k v(k)= h 代入 得到 dk gv(k)x dt 选取B为k方向:B=(0,0,B) XCH005013 由=-9(xB得到{么=Bk dt ky duk duk d-k d*Ky=-(52k dt REVISED TIME: 05-4-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 §5.4 在恒定磁场中电子的运动导体 1. 恒定磁场中的准经典运动 恒定磁场中电子运动的基本方程： qv k B dt dk v k E k k K K K K = K = K K = − × = ∇ ( ) ( ) 1 ( ) 从两个方程可以得到：1）沿磁场方向k K 的分量不发生变化；2）由于洛伦兹力不做功，能量 E(k ) K 不 随时间变化，电子在k 空间的等能面上运动。 —— 电子在空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线。 2. 自由电子的准经典运动 自由电子的能量： m k E k 2 ( ) 2 2 K = = 将 m k E k 2 ( ) 2 2 K = = 代入 qv k B dt dk v k E k k K K K K = K = K K = − × = ∇ ( ) ( ) 1 ( ) 得到： ( ) ( ) k B m q dt dk m k v k K K K K K K = = − × = 选取 B K 为 kz 方向： B = (0, 0, B) K 由 (k B) m q dt dk K K K = − × 得到 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − 0 dt dk k m qB dt dk k m qB dt dk z x y y x ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − dt dk m qB dt d k dt dk m qB dt d k y x x y 2 2 2 2 ， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − y y x x k m qB dt d k k m qB dt d k 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) REVISED TIME: 05-4-29 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 d'k )2k=0 d'k 回转频率:n=9B k空间电子在(kxk,)平面做圆周运动,如图XCH05013所示。 ▲在实空间电子的运动 XCH005014 z↑B v(k)=÷VAE(k) 电子运动的基本方程 方 dt-q()xB 方程v(k) 分两边对时间求导:"=h级 hk dt 将h d=-q(k)x代入得到:(k)1-(k)xB dk dt 分量表示:小y 两边再对时间求导 dt B 12y 代入得到 B dv dt )2v,=0 0 dt dt )2vn=0 ygb )2y=0 0电子在z方向做匀速运动 dt REVISED TIME: 05-4-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) x x y y d k qB k dt m d k qB k dt m ⎧ + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ 0 —— 回转频率： m qB ω0 = —— k 空间电子在(kx k y ) 平面做圆周运动，如图 XCH005_013 所示。 V 在实空间电子的运动 电子运动的基本方程： 1 ( ) ( ) ( ) k v k E k dk qv k B dt = ∇ = − × K K K = K K K K = 方程 ( ) k v k m = K K K = 两边对时间求导： v k( ) dk dt m dt = K K K = 将 ( ) dk qv k B dt = − × K K K K = 代入得到： ( ) 1 [ ( ) v k qv k B dt m= − × ] K K K K K 分量表示： 0 x y y x z dv qB v dt m dv qB v dt m dv dt ⎧ = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ —— 两边再对时间求导 得到： 2 2 2 2 x y y x d v qB dv dt m dt d v qB dv dt m dt ⎧ = − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ —— 将 x y y x dv qB v dt m dv qB v dt m ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 代入得到： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 2 2 2 y y x x v m qB dt d v v m qB dt d v —— 即 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) d x qB x dt m d y qB y dt m ⎧ 0 + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ —— 0 z dv dt = 电子在 z 方向做匀速运动 REVISED TIME: 05-4-29 - 2 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 电子在(x,y)平面做匀速圆周运动 B 回转频率:=9B如图XCHm0014所示。 3.自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子的哈密顿量:=P=- 2m2m 当有磁场时:P→开+,、p=(P+q)2 2m2 如果磁场沿轴,取A=(-By,0,0),则有B=V×A (-qBy)+p2+p2] P 因为哈密顿量不含x,z,所以 p.1=0,选取波函数为(户2,p)本征态 p:]=0 p, y=hk py=hk.y 波函数:v=e:p(y),将其代入d=[(2-qBy)+p2+p] 得到:[(Mk2-qBy)2+pP2+h2k1(y)=E(y 2m. [(nk, -gBy )2+P2+hk lo(y)=Ep(y) 2m oy 2m (hk, -gBy)]0(y)=(E hk )(y) REVISED TIME: 05-4-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 —— ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 2 2 2 y m qB dt d y x m qB dt d x ，电子在(x, y) 平面做匀速圆周运动 —— 回转频率： m qB ω0 = ，如图 XCH005_014 所示。 3. 自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子的哈密顿量： 2 2 2 ∇ 2m 2m p = K H = = − 当有磁场时： p p qA， K K K → + 2 2 ( ) 2 1 2 p qA m m p K K K H = = + 如果磁场沿 z 轴，取 A = (−By, 0, 0) ，则有 K B A K K = ∇× [( ˆ ) ˆ ˆ ] 2 1 2 2 2 px qBy py pz m H = − + + ， z p i y p i x p i x y z ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ˆ = − = , ˆ = , ˆ = 因为哈密顿量不含 x,z ，所以 ，选取波函数为 本征态。 ⎩ ⎨ ⎧ = = [ ˆ ] 0 [ ˆ ] 0 z x p p H H ( ˆ , ˆ ) px pz ⎩ ⎨ ⎧ = = ψ ψ ψ ψ z z x x p k p k = = ˆ ˆ 波函数： ( ) ( ) e y i k x k z x z ψ ϕ + = ，将其代入 [( ˆ ) ˆ ˆ ] 2 1 2 2 2 px qBy py pz m H = − + + 得到： [( ) ˆ ] ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 k qBy p k y E y m = x − + y + = z ϕ = ϕ [( ) ˆ ] ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 k qBy p k y E y m = x − + y + = z ϕ = ϕ ) ( ) 2 ( ) ] ( ) ( 2 1 2 [ 2 2 2 2 2 2 y m k k qBy y E m y m z x ϕ ϕ = = = + − = − ∂ ∂ − REVISED TIME: 05-4-29 - 3 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 h20+m(9)(k,-y)1(y)=(∠E、h2k2 DO(y) 2 B 今00-m h- a- 2my+2n(y-y)p(y)=0(0) 简谐振子方程 简谐振子波函数:q(y-y)~20-nHo0(- Hno0(y-y)--多项式 相应的能量本征值:En=(n+)ha 在磁场中自由电子的波函数:v HaLO(-yo)] XCH005015 能量本征值:E=En+ 方2k2 方2k2 Landau level =(n+-)ho2m 一—根据量子理论在x-y平面内的圆周运动对应 种简谐振荡,能量是量子化的,这些量子化的能级称为 朗道能级,如图XCH005015所示。 4.晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中的运动时,其哈密顿量:∥=(p+q41)2+(F) 严格求解晶体中电子在磁场中的运动是很困难的,可以将周期性势场的影响概括为有效质量的变化, 称为有效质量近似。 哈密顿量:=(p+q)2 2m 在半导体材料中能带底和能带顶附近常常采用有效质量近似处理。对于碱金属也可以采用有效质量 近似 REVISED TIME: 05-4-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 ) ( ) 2 ( ) ( ) ] ( ) ( 2 2 [ 2 2 2 2 2 2 2 y m k k y y E m qB m qB m y z x ϕ ϕ = = = + − = − ∂ ∂ − 令 m k k E qB y m qB z x 2 , , 2 2 0 0 = = ω = = ε = − ( ) ] ( ) ( ) 2 2 [ 2 0 2 2 0 2 2 y y y y m m y + ω − ϕ = εϕ ∂ ∂ − = —— 简谐振子方程 简谐振子波函数： ( ) [ ( )] 0 0 ( ) 2 1 0 2 0 0 y y e H y y n y y − ≅ − − − ϕ ω ω [ ( )] 0 0 H y y n ω − —— 多项式 相应的能量本征值： 0 ) 2 1 ε n = (n + =ω 在磁场中自由电子的波函数： 2 0 0 1 ( ) ( ) 2 0 0 [ ( ) x z y y i k x k z n e e H y y ω ψ ω ] − − + = − 能量本征值： 2 2 2 2 0 1 ( ) 2 2 z z n k k E n m m = + ε ω = + + = = = 2 —— 根据量子理论在 x − y 平面内的圆周运动对应一 种简谐振荡，能量是量子化的，这些量子化的能级称为 朗道能级，如图 XCH005_015 所示。 4. 晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿量： ( ) ( ) 2 1 2 p qA V r m K K K H = + + 严格求解晶体中电子在磁场中的运动是很困难的，可以将周期性势场的影响概括为有效质量的变化， 称为有效质量近似。 哈密顿量： 2 ( ) 2 * 1 p qA m K K H = + 在半导体材料中能带底和能带顶附近常常采用有效质量近似处理。对于碱金属也可以采用有效质量 近似。 REVISED TIME: 05-4-29 - 4 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 采用有效质量近似后,晶体中电子在磁场中的运动变为自由电子在磁场中的运动,前面的结果中将 电子的质量m用有效质量m*代替。 回转频率.o_qB h2k2 hk 能量本征值:E=En+=(n+=)h REVISED TIME: 05-4-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 采用有效质量近似后，晶体中电子在磁场中的运动变为自由电子在磁场中的运动，前面的结果中将 电子的质量 m 用有效质量 m*代替。 回转频率： * 0 m qB ω = 能量本征值： 2 2 2 2 0 1 ( ) 2 * 2 2 * z z n k k E n m m = + ε ω = + + = = = REVISED TIME: 05-4-29 - 5 - CREATED BY XCH