圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 §4.8表面电子态 从理想表面模型出发,研究考察晶体表面对电子能量本征态的影响。 假设晶体表面位于=0处,有v()=/1(=)0 vaccum 电子在晶体内部的能量E0电子波函数:v=ae-,a (V。-E) h <0区域,采用近自由电子近似 电子零级波函数:k()=7e,能量本征值:Ek h2k2 在布里渊区边界:k=mx,能量发生中断,而不连续。 在第一布里渊区边界附近:k="+E,k'=k 2丌 电子的波函数:v()=e+be 或电子的波函数表示为:v(x)=av/8+bye 将波函数代入薛定谔方程:Hv(=)+Hv(=)=Ev( h d 其中:H。= REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 §4.8 表面电子态 从理想表面模型出发，研究考察晶体表面对电子能量本征态的影响。 假设晶体表面位于 z = 0 处，有 0 ( ) 0 ( ) 0 V z z Crystal V z V z Vaccum ⎛ 电子在晶体内部的能量 E 0 电子波函数： z ae α ψ − = ， 0 2 ( ) m α = − V E = z < 0 区域，采用近自由电子近似 电子零级波函数： 0 1 ( ) ikz k z L ψ = e ，能量本征值： 2 2 0 2 k k E V m = + = 在布里渊区边界： a n k π = ，能量发生中断，而不连续。 在第一布里渊区边界附近： ε π = + a k ， ε π π = − = − + a a k k 2 ' 电子的波函数： ( ) ( ) ( ) i z i a a k z ae be π π ε ε z ψ + − = + − 或电子的波函数表示为： 0 0 ' ( ) k k ψ x = + a b ψ ψ 将波函数代入薛定谔方程： 0 H z ψ( ) + = H 'ψ ψ (z) E (z) 其中： 2 2 0 2 2 d H m dz = − = ， H V ' ( = − z) V = ∆V REVISED TIME: 05-4-21 - 1 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 考虑到: (H0+8=E (H0+7)y=Ev 得到:a(E-E+△+b(E-E+△y=0 分别以v*或v*从左边乘上方程,对z积分,并利用:==0 (Er -EDa+vb=0 得到两个线性代数方程 V1=「v*(y* Va+Er -E)b=0 E V a,b有非零解,系数行列式满足 0 V E2-El 解很h+6)2+(+)2+1)+P 2 fi 将E=n(+)+ 1)+代入 (E-E)a+b=0 Va+(Ep -e)b=0 得到a/b的值,将其代入v4(=)=aea+be 得到v4(-)=bexp(-)+(-v±)2+1)exp(-1-)exp(E) 对于E为实数:v(二)=bexi=)+2(-±)y2+1)exp(-1)exp(sz)就是晶体中电子的 波函数。 在z=0的界面上:晶体界面内的波函数和界面外的波函数ψ=ae-总是满足匹配 在半无限长晶体内部的能带保持不变 在<0,如果ε为复数——E=-1q,q为正数 h2 h2 令 in(26) REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 考虑到： 0 0 0 0 0 0 ' ' ( ) ( ) k k k k k H V E H V E 0 0 k ' ψ ψ ψ ψ + = + = 得到： 0 0 0 ' ' ( ) ( ) k k k a E − + E V∆ ψ ψ + b E − + E V∆ = 0 0 k 分别以 *0 ψ k 或 *0 ψ k ' 从左边乘上方程，对 z 积分，并利用： k = = 0 得到两个线性代数方程： —— 0 1 0 1 ' ( ) ( ) k k E E a V b V a E E b − + = + − = 0 0 dz 0 0 1 ' * ( ) * k k V V V = ψ ψz ∫ a, b 有非零解，系数行列式满足： 0 1 0 1 ' 0 k k E E V V E E − = − 解得 2 2 2 1 ( ) ( 1) 2 E V V m a π = + ε ν + − ± + ν + = —— 2 ma V1 πε ν = = 将 2 2 2 1 ( ) ( 1) 2 E V V m a π = + ε ν + − ± + ν + = 0 1 0 1 ' ( ) 0 ( ) 0 k k E E a V b V a E E b 代入 − + = + − = 得到a / b 的值，将其代入 ( ) ( ) ( ) i z i a a k z ae be π π ε ε z ψ + − − = + 得到 1 2 ( ) [exp( ) ( 1) exp( )]exp( ) k V z b i z i z i z a V a π π ψ = + −ν ν ± + − ε 对于 ε 为实数： 1 2 ( ) [exp( ) ( 1) exp( )]exp( ) k V z b i z i z i z a V a π π ψ = + −ν ν ± + − ε 就是晶体中电子的 波函数。 在 z = 0 的界面上：晶体界面内的波函数和界面外的波函数 z ae α ψ − = 总是满足匹配。 —— 在半无限长晶体内部的能带保持不变 在 z < 0 ，如果 ε 为复数 —— ε = −iq ， q 为正数 令： 2 2 1 1 sin(2 ) q i i ma V ma V πε π ν = = − = − δ = = REVISED TIME: 05-4-21 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 <0的波函数W(2)=c(expl(x=±6)+exp-(z:±)}exp(q=) 相应的能量E≈A1-]+-(m+F 根据波函数和波函数一阶微分连续条件 由()=cep=+)+p(口=)e)确定a/c和q值 XCH004048 Rev(z) 再将q值带回能量表达式得到相应的能量。 Vaccum 所以对于半无限晶体,当k为实数,晶体内部能带与一般 晶体的情况一样,当k为虚数,波函数在晶体内部是衰减 的,能量本征值位于能隙之中,在这些解中有一个可以与 真空区域的波函数相匹配,表明在表面内附近很窄的区域 中有一个电子态,称为表面态。界面内外的波函数如图 XCH004048所示 REVISED TIME: 05-4-21 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 z < 0 的波函数 1 ( ) {exp[ ( )] exp[ ( )]}exp( ) k V z c i z i z qz a V a π π ψ = ± δ δ + − ± 相应的能量 2 2 2 2 2 1/ 2 1 1 [( ) ] [1 ( ) ] 2 q E q V V m a ma V π π = − ± − = = + 根据波函数和波函数一阶微分连续条件： 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ± ± − ± − z k ae z qz a i V V z a z c i α ψ δ π δ π ψ ( ) {exp[ ( )] exp[ ( )]}exp( ) 1 确定a / c 和 q 值 再将 q 值带回能量表达式得到相应的能量。 所以对于半无限晶体，当 k 为实数，晶体内部能带与一般 晶体的情况一样，当 k 为虚数，波函数在晶体内部是衰减 的，能量本征值位于能隙之中，在这些解中有一个可以与 真空区域的波函数相匹配，表明在表面内附近很窄的区域 中有一个电子态，称为表面态。界面内外的波函数如图 XCH004_048 所示。 REVISED TIME: 05-4-21 - 3 - CREATED BY XCH