Graph spectrum 引理：对于二分图G,如果a是A(G)的一个特征值，且重数为k,那么-α也是A(G)的一个特征值，重数也是k U V 证明：把A表示为U[0B1 假设()是A的一个特征向量，对应特征值为a: ()=[g81G)=a) 因此B'x=ay,By=ax。再考虑() A()g81()()-(）=-(） 因此-α也是A的特征值 最后，注意到：α的重数为k一存在k个线性无关的特征向量对应的特征值α 对每一个分别取反后依然是线性无关的，因此-α的重数也为k 8Graph spectrum 引理：对于二分图�，如果�是� � 的一个特征值，且重数为�，那么−�也是� � 的一个特征值，重数也是� 证明：把�表示为 � � � � 0 � �! 0 假设 " # 是� 的一个特征向量，对应特征值为�： �� �!� = 0 � �! 0 � � = � � � 因此 �!� = ��, �� = ��。再考虑 " $# � � −� = 0 � �! 0 � −� = −�� �!� = −�� �� = −� � −� 因此 −�也是� 的特征值 最后，注意到：�的重数为 � ⇔ 存在 �个线性无关的特征向量对应的特征值� 对每一个分别取反后依然是线性无关的，因此−�的重数也为 � 8