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第9期 刘宏岚等：概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ,1083 证明：根据定义4~6，非独立命题，由于将命题 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的 的逻辑运算转换为集合运算，集合运算满足所有的 例3真值相同的不同命题，逻辑运算结果的 等价定律 真值不一定相同 对于独立命题，任意的独立命题P(A,b)∈ 任两命题P(A)和Q(B),设u(P(A))=0.3, {P(x,b)lx∈X,b∈Y,Q(B,d)∈iQ(u,d)l u(Q(B)=0.5,令p=P(A),g=Q(B),有： u∈Ul,d∈V和R(C,e)∈iR(z,e))lz∈Z, 当二者属于同一关系命题集合且不相交时 e∈W,有： (P=Q,A∩B=①)，v(pAq)=v(P(A∩B)= 矛盾律：P(A,b)A一P(A,b)=P(A,b)A 0： P(A,b)=P(④，b),u(P(A,b)A一P(A,b)= 当二者属于同一关系命题集合且包含时(P= v(P,Φ，b)=0 Q,ACB),v(pAq)=v(P(AB))=0.3; 排中律：P(A,b)V一P(A,b)=P(A,b)V 当二者不属于同一关系命题集合（独立，P≠ P(A,6)=P(Q,6),v(P(A,6)VP(A,6))= Q)时，(pAq)=v(P(A)ΛQ(B)=0.5X0.3= v(P,n,b)=1; 0.15. 联词转换律：v(P(A,b)→Q(B,d)= 3.2概率逻辑与经典二值逻辑相容 v(P(A,b)VQ(B,d)); 概率逻辑与二值逻辑的明显不同在于，命题真 分配律：当P(A,b),Q(B,d),R(C,e)相互 值的取值范围即真值集己由0,1{扩大为[0,1].除 独立时，有 此之外概率逻辑仍然是用抽象的字母或这些字母通 v(P(A,6)V(Q(B,d)AR(C,e))= 过一些必要的联结词如冖、V和→等连接而成的式 v((P(A,6)V Q(B,d))A(P(A,b)V R(C,e)))= 子来表示命题及命题公式， v(P,A,b)+v(Q,B,d)Xv(R,C,e) 概率逻辑系统和经典二值逻辑在以下几个方面 v(P,A,6)Xv(Q,B,d)Xv(R,C,e), 是相容的 v(P(A,b)A(Q(B,d)VR(C,e)))= (1)联结词定义相容.在概率逻辑系统中，对 v((P(A,b)AQ(B,d))V(P(A,B)AR(C,e)))= 于所有的真值为0或1的命题，关系无论独立与否， v(P,A,b)Xv(Q,B.d)+v(P.A,6)Xv(R,C,e)- 带入定义5和定义6给出的公式，各种逻辑运算得 v(P,A,6)Xv(Q,B,d)Xv(R,C,e). 出的结果都与经典二值逻辑真值表给出的联结词定 其他情况证明略。 义相同，即对概率系统中的任意命题p、q,若v(p), 德·摩根律：当P(A,b)与Q(B,d)独立时， v(g)∈0,1l,则有： 一P(A,b)与Q(B,d)也独立，有 (p)=1-v(p); (P(A,6)V Q(B.d)))= v(pVq)=max(v(p),v(q)); P(A,6)A-Q(B,d))= v(pAq)=min(v(p),v(q)); 1-u(P,A,b)-v(Q,B,d)+ v(p-q)=max(1-v(p),v(q)) o(P,A,b)×u(Q,B,d), (2)蕴涵联结词“→”也与二值逻辑相一致，即 ((P(A,b)AQ(B.d)))= v(p→q)=u(一pVq),并且蕴涵运算也与事实相 P(A,6)V-Q(B,d))= 符.通过例2中的实例加以验证， 1-u(P,A,b)×v(Q,B,d) 事实1若命题P(石家庄，张三)：“张三明年 双重否定律、幂等律、交换律、结合律、吸收律、 12月21日中午将在石家庄”成立，则P(河北，张 同一律、零律等证明略 三)：“张三明年12月21日中午将在河北”成立，即 3概率逻辑 v(P(石家庄，张三)→P(河北，张三)=1. 令A=石家庄}，B=河北省城市}，b=张三， 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 A三B,由定义5有，P(A,b)→P(B,b)=P(A 上，研究如何用逻辑的语言来进行概率命题演算、 UB,b)=P(2,b),u(P,2,b)=1.与事实相符. 3.1概率逻辑与经典二值逻辑的区别 事实2二值逻辑中的蕴涵联结词为“善意的 在二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与 假设”，即当前件p为假时，后件q的真值无论是多 参与运算的命题的真值有关，而与命题的关系、命题 少，(p→q)=1. 的结构或内容无关.在概率逻辑中，命题之间的逻 根据定义1，当A=①时，u(P,A,b)=0,证明：根据定义4～6非独立命题由于将命题 的逻辑运算转换为集合运算集合运算满足所有的 等价定律． 对于独立命题任意的独立命题 P（ Ab）∈ ｛P（ xb）｜x∈X｝b∈ Y Q（Bd）∈｛Q（ ud））｜ u∈ U｝d∈ V 和 R（ Ce）∈｛R（ z e））｜z ∈ Z｝ e∈ W有： 矛盾律：P（ Ab）∧ P（ Ab）＝ P（ Ab）∧ P（ Ab）＝P（Φb）v （P（ Ab）∧ P（ Ab））＝ v （PΦb）＝0； 排中律：P（ Ab）∨ P（ Ab）＝ P（ Ab）∨ P（ Ab）＝P（Ωb）v （P（ Ab）∨ P（ Ab））＝ v （PΩb）＝1； 联词 转 换 律：v （ P （ Ab ） → Q （ Bd ）） ＝ v （ P（ Ab）∨ Q（Bd））； 分配律：当 P（ Ab）Q（ Bd）R（ Ce）相互 独立时有 v （P（ Ab）∨（ Q（Bd）∧ R（Ce））＝ v（（P（ Ab）∨ Q（Bd））∧（P（ Ab）∨R（Ce）））＝ v （PAb）＋v （ QBd）×v （ RCe）－ v （PAb）×v （ QBd）×v （ RCe） v （P（ Ab）∧（ Q（Bd）∨ R（Ce）））＝ v（（P（ Ab）∧ Q（Bd））∨（P（ Ab）∧R（Ce）））＝ v（PAb）×v（QBd）＋v（PAb）×v（RCe）－ v （PAb）×v （ QBd）×v （ RCe）． 其他情况证明略． 德·摩根律：当 P（ Ab）与 Q（ Bd）独立时 P（ Ab）与 Q（Bd）也独立有 v （ （P（ Ab）∨ Q（Bd）））＝ v （ P（ Ab）∧ Q（Bd））＝ 1－v （PAb）－v （ QBd）＋ v （PAb）×v （ QBd） v （ （P（ Ab）∧ Q（Bd）））＝ v （ P（ Ab）∨ Q（Bd））＝ 1－v （PAb）×v （ QBd）． 双重否定律、幂等律、交换律、结合律、吸收律、 同一律、零律等证明略． 3 概率逻辑 概率逻辑是在经典二值逻辑和概率论的基础 上研究如何用逻辑的语言来进行概率命题演算． 3∙1 概率逻辑与经典二值逻辑的区别 在二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与 参与运算的命题的真值有关而与命题的关系、命题 的结构或内容无关．在概率逻辑中命题之间的逻 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的． 例3 真值相同的不同命题逻辑运算结果的 真值不一定相同． 任两命题 P（ A）和 Q（B）设 v （P（ A ））＝0∙3 v （ Q（B））＝0∙5令 p＝P（ A）q＝ Q（B）有： 当二者属于同一关系命题集合且不相交时 （P＝ QA∩B＝／○）v （ p∧ q）＝ v （ P（ A ∩ B））＝ 0； 当二者属于同一关系命题集合且包含时（ P＝ QA⊆B）v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0∙3； 当二者不属于同一关系命题集合（独立P≠ Q）时v （ p∧q）＝v （P（ A）∧ Q（B））＝0∙5×0∙3＝ 0∙15． 3∙2 概率逻辑与经典二值逻辑相容 概率逻辑与二值逻辑的明显不同在于命题真 值的取值范围即真值集已由｛01｝扩大为［01］．除 此之外概率逻辑仍然是用抽象的字母或这些字母通 过一些必要的联结词如 、∨和→等连接而成的式 子来表示命题及命题公式． 概率逻辑系统和经典二值逻辑在以下几个方面 是相容的． （1） 联结词定义相容．在概率逻辑系统中对 于所有的真值为0或1的命题关系无论独立与否 带入定义5和定义6给出的公式各种逻辑运算得 出的结果都与经典二值逻辑真值表给出的联结词定 义相同即对概率系统中的任意命题 p、q若v （ p） v （ q）∈｛01｝则有： v （ p）＝1－v （ p）； v （ p∨q）＝max（ v （ p）v （ q））； v （ p∧q）＝min（ v （ p）v （ q））； v （ p→q）＝max（1－v （ p）v （ q））． （2） 蕴涵联结词“→”也与二值逻辑相一致即 v （ p→q）＝v （ p∨q）并且蕴涵运算也与事实相 符．通过例2中的实例加以验证． 事实1 若命题 P（石家庄张三）：“张三明年 12月21日中午将在石家庄” 成立则 P（河北张 三）：“张三明年12月21日中午将在河北”成立即 v （P（石家庄张三）→P（河北张三））＝1． 令 A＝｛石家庄｝B＝｛河北省城市｝b＝张三 A⊆B由定义5有P（ Ab）→ P（ Bb）＝ P（ A ∪Bb）＝P（Ωb）v （PΩb）＝1．与事实相符． 事实2 二值逻辑中的蕴涵联结词为“善意的 假设”即当前件 p 为假时后件 q 的真值无论是多 少v （ p→q）＝1． 根据定义 1当 A ＝／○时v （ PAb ） ＝0 第9期 刘宏岚等： 概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ·1083·