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,1082 北京科技大学学报 第30卷 牌”相互之间真值取值无影响 (1)P(A,b)与P(B,b)不相交时 定义3（独立命题）设P、Q是两个命题，如果 P(A,6)A P(B,6)=P(AB,6)=P(D, 具有等式v(PAQ)=v(P)Xv(Q),则称命题P、 b),u(P,0,b)=0: Q相互独立. P(A,6)V P(B,6)=P(AUB,6),(P,AU 容易证明： B,6)=v(P,A,b)+v(P,B,6). ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立； 如例2中，v(P(石家庄，张三)八P(北京，张 ②若命题P与Q相互独立，则P与门Q、一P 三)=0，与事实相符，张三不能同时出现在两地、 与Q、一P与Q也相互独立， (2)P(A,b)与P(B,b)包含（即P(A,b)三 2.2.2联结词（逻辑运算） P(B,b)或P(B,b)三P(A,b)时. 在二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与 P(A,6)AP(B,6)=P(AB,6),v(P, 参与运算的命题的真值有关，而与命题的关系、命题 AnB,b)=min(v(P,A,6),v(P,B,6)); 的结构或内容无关，在概率逻辑中，命题之间的逻 P(A,b)V P(B,6)=P(AUB,b),v(P, 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的，依据以 AUB,b)=max(v(P,A,6),v(P,B,b)). 上对关系的讨论，重新分析命题的逻辑运算 这正是上ukasiew icz系统和Zadeh系统给出的 定义4（联结词）设P、Q为任意命题，联结词 相应A、V联结词的定义 的定义如下，] (3)对于联结词“→”. u(冖P)=1-u(P),从语义上一个命题有且仅 当P(A,b)三P(B,b)时，P(A,b)→P(B,b)= 有一个反命题： P(AUB,b)=P(Q,b),v(P,Q,6)=1.A= (P一Q)=v(P)一(PAQ)=v(Q)- 石家庄，B=河北，也就是例2中讨论的石家庄三 (PAQ); 河北省城市的情况，当P(石家庄，张三)为真时， (PVQ)=v(P)+v(Q)-v(PAQ); P(河北，张三)为真，与事实相符. u(P→Q)=v(PVQ) 当A=D时，P(A,b)→P(B,b)=P(7AU 根据是否属于同一个关系命题集合（即是否独 B,b)=P(2,b),v(P,2,b)=1.即二值逻辑中 立)，对原子命题之间的逻辑运算分别进行详细的讨 “善意的假设”，当前件为假时，后件的真值无论是多 论 少，v(P(B,b)→P(A,b))=1,与经典二值逻辑相 定义5（非独立命题的逻辑运算）关系命题集 容 合P(X,b)=i(P,x,b,u(P,x,b)lx∈X},b∈ 定义6（独立命题的逻辑运算）不属于同一关 Y中，任意的命题P(A,b)与P(B,b)之间的逻辑 系命题集合的独立命题P(A,b)与Q(B,)之间 运算如下 的逻辑运算定义如下， 合取运算：P(A,b)AP(B,b)=P(A∩B,b); 合取运算：u(P(A,b)AQ(B,d))=v(P,A, 析取运算：P(A,b)VP(B,b)=P(AUB,b): b)Xv(Q,B,d); 取反运算：P(A,b)=P(A,b),v(P,A, 析取运算：v(P(A,b)VQ(B,d)=v(P,A, b)十v(P,A,b)=1,一个命题有且仅有一个反 b)+v(Q,B,d)-v(P,A,6)Xv(Q,B,d); 命题； 取反运算：(P,A,b,(P,A,b))=(P,A, 蕴涵运算：P(A,b)→P(B,b)=一P(A,b)V b,v(P,A,b)),v(P,A,b)+v(P,A,b)=1, P(B,b)=P(口AUB,b) 一个命题有且仅有一个反命题，且互为否定的两个 任取P(x1,b),P(x2,b),…,P(xm,b)∈ 命题属于同一个关系命题集合； P(X,b),f(P(x1,b),P(x2b)…,P(xn,b)是 蕴涵运算：v(P(A,b)→Q(B,d))=v(P 由V、A和一等构成的逻辑复合运算，∫是相应的经 (A,6)V(Q,B,d))=1-v(P,A,6)+v(P,A, 典集合运算、∩和一，则有： b)Xv(Q,B,d). f(P(x1,b),P(x2,b),…,P(xm,b)= 2.2.3逻辑运算的性质 P(f(x1,x2,…,xm),b) 原子命题之间的逻辑运算满足所有的等价定 即通过非确定客体的集合运算，实现非独立命题的 律：对合律、幂等律、结合律、交换律、分配律、吸收 逻辑运算， 律、德·摩根律、矛盾律、排中律、同一律、零律、联词 讨论一些特殊情况的运算公式， 转换律等.牌”相互之间真值取值无影响． 定义3 （独立命题）设 P、Q 是两个命题如果 具有等式 v （P∧ Q）＝v （ P）×v （ Q）则称命题 P、 Q 相互独立． 容易证明： ① 不属于同一关系命题集合的命题相互独立； ② 若命题 P 与 Q 相互独立则 P 与 Q、 P 与 Q、 P 与 Q 也相互独立． 2∙2∙2 联结词（逻辑运算） 在二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与 参与运算的命题的真值有关而与命题的关系、命题 的结构或内容无关．在概率逻辑中命题之间的逻 辑运算结果是由命题及命题的关系决定的依据以 上对关系的讨论重新分析命题的逻辑运算． 定义4（联结词） 设 P、Q 为任意命题联结词 的定义如下［13］： v （ P）＝1－v （P）从语义上一个命题有且仅 有一个反命题； v （P Q）＝ v （ P）－ v （P∧ Q）＝ v （ Q）－ v （ P∧ Q）； v （P∨ Q）＝v （P）＋v （ Q）－v （P∧ Q）； v （P→ Q）＝v （ P∨ Q）． 根据是否属于同一个关系命题集合（即是否独 立）对原子命题之间的逻辑运算分别进行详细的讨 论． 定义5 （非独立命题的逻辑运算）关系命题集 合 P（ Xb）＝｛（Pxbv （ Pxb））｜x∈ X｝b∈ Y 中任意的命题 P（ Ab）与 P（ Bb）之间的逻辑 运算如下． 合取运算：P（ Ab）∧P（Bb）＝P（ A∩Bb）； 析取运算：P（ Ab）∨P（Bb）＝P（ A∪Bb）； 取反运算： P（ Ab）＝ P（ Ab）v （ PA b）＋v （P Ab）＝1一个命题有且仅有一个反 命题； 蕴涵运算：P（ Ab）→P（ Bb）＝ P（ Ab）∨ P（Bb）＝P（ A∪Bb）． 任取 P （ x1b）P （ x2b）…P （ x nb） ∈ P（ Xb）f （P（ x1b）P（ x2b）…P（ x nb））是 由∨、∧和 等构成的逻辑复合运算f 是相应的经 典集合运算∪、∩和 则有： f （P（ x1b）P（ x2b）…P（ x nb））＝ P（ f （ x1x2…x n）b）． 即通过非确定客体的集合运算实现非独立命题的 逻辑运算． 讨论一些特殊情况的运算公式． （1） P（ Ab）与 P（Bb）不相交时． P（ Ab）∧ P（ Bb）＝ P（ A ∩ Bb）＝ P（／○ b）v （P／○b）＝0； P（ Ab）∨P（Bb）＝P（ A∪Bb）v （ PA ∪ Bb）＝v （PAb）＋v （PBb）． 如例2中v （ P（石家庄张三）∧ P（北京张 三））＝0与事实相符张三不能同时出现在两地． （2） P（ Ab）与 P（ Bb）包含（即 P（ Ab）⊆ P（Bb）或 P（Bb）⊆P（ Ab））时． P（ Ab）∧ P（ Bb）＝ P（ A ∩ Bb）v （ P A∩Bb）＝min（ v （PAb）v （PBb））； P（ Ab）∨ P（ Bb）＝ P（ A ∪ Bb）v （ P A∪Bb）＝max（ v （PAb）v （PBb））． 这正是 ●ukasiewicz 系统和 Zadeh 系统给出的 相应∧、∨联结词的定义． （3） 对于联结词“→”． 当 P（ Ab）⊆P（Bb）时P（ Ab）→P（Bb）＝ P（ A∪Bb）＝P（Ωb）v （PΩb）＝1．令 A＝ 石家庄B＝河北也就是例2中讨论的｛石家庄｝⊆ ｛河北省城市｝的情况当 P（石家庄张三）为真时 P（河北张三）为真与事实相符． 当 A ＝／○时P（ Ab）→ P（ Bb）＝ P（ A ∪ Bb）＝ P（Ωb）v （ PΩb）＝1．即二值逻辑中 “善意的假设”当前件为假时后件的真值无论是多 少v （P（Bb）→P（ Ab））＝1与经典二值逻辑相 容． 定义6（独立命题的逻辑运算） 不属于同一关 系命题集合的独立命题 P（ Ab）与 Q（ Bd）之间 的逻辑运算定义如下． 合取运算：v （P（ Ab）∧ Q（ Bd））＝ v （ PA b）×v （ QBd）； 析取运算：v （P（ Ab）∨ Q（ Bd））＝ v （ PA b）＋v （ QBd）－v （PAb）×v （ QBd）； 取反运算：（PAbv （PAb））＝（ P A bv （P Ab））v （PAb）＋v （P Ab）＝1 一个命题有且仅有一个反命题且互为否定的两个 命题属于同一个关系命题集合； 蕴涵运算：v （ P（ Ab）→ Q（ Bd））＝ v （ P （ Ab）∨（ QBd））＝1－ v （ PAb）＋ v （ PA b）×v （ QBd）． 2∙2∙3 逻辑运算的性质 原子命题之间的逻辑运算满足所有的等价定 律：对合律、幂等律、结合律、交换律、分配律、吸收 律、德·摩根律、矛盾律、排中律、同一律、零律、联词 转换律等． ·1082· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷