正在加载图片...
第9期 刘宏岚等：概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ,1081, u(P(张三，B)AP(张三，C)=0,(B∩C= (P,A,b)=v(P,A,b)=1-v(P,A, 少· b). 命题“P:张三明年12月21日中午将在石家 设D={D1,D2,,Dn}是2的一个划分，则 庄”与命题“Q:李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v(P人Q)=v(P)×v(Q) 满足之(P,D,6)=1. =1 2.2命题与联结词 P(X,6)=(P,x,6,v(P,x,6))lxEX, 在数理逻辑中，谓词用大写英文字母P、Q和 b∈Y称为关系命题集合，集合中的所有命题有相 R等表示，真值用)表示，下面给出定义在标准概 同的谓词和确定客体，不同的非确定客体，如例1 率空间(，X,v)上的原子命题的表示， 中的关系命题集合P(X,b)=张三明年12月21 定义1不能被分解成更简单的陈述句的命题 日中午将在x「x∈X,根据概率论理论，同一关系 称为原子命题·原子命题表示为： 命题集合中的命题属于非独立关系，不属于同一关 P(A,b)=(P,A,b)= 系命题集合中的命题是独立关系， (P,A,b,v(P,A,b),A∈X,b∈Y. 2.2.1原子命题之间的关系 P表示谓词(predication),如P表示：…明年l2月 下面分别讨论命题之间的非独立关系（相交、包 21日中午将在，A和b为客体，如A表示河北，b 含、相等等)和独立关系. 表示张三，P(A,b)表示命题“（张三）明年12月21 定义2（同一关系命题集合内命题关系）设 日中午将在（河北）”. P(X,b)={(P,x,b)x∈X,b∈Y为一关系命 为了进一步刻画随机命题，本系统将客体分为 题集合，任意的命题P(A,b),P(B,b)∈P(X,b), 非确定客体和确定客体，其中非确定客体相当于概 P(A,b)与P(B,b)之间是非独立的，具体关系定 率论中的随机事件，与真值的取值（概率）直接相关， 义如下： 非确定客体实质上代表的是集合，用大写英文字母 P(A,b)二P(B,b)被定义为A三B(包含关 A、B和C等表示，如例1中的C=“辽宁”={辽宁 系)： 省城市}、B=“河北”=河北省城市}等是非确定客 P(A,b)与P(B,b)不相交被定义为A∩B= 体.。由于事件未发生，不能确定命题是否为真，但可 ①（不相交关系）； 用概率论方法通过非确定客体计算命题的真值， P(A,b)=P(B,b)充分必要条件是A=B(相 命题描述的其他对象称为确定客体，如例1中 等关系) 的“张三”是确定客体，用小写英文字母a、b和c等 命题相等与真值相等是两个不同的概念，命题 表示， 的真值是命题的一个属性 客体空间是命题所表达的随机事件发生后，A 例2已知命题P(A,b)表示：b明年12月21 位置所有可能取值的集合，相当于概率论中的样本 日中午将在A.其中Ω={中国所有的城市}，非确 空间，用2表示.如例1中，到了明年12月21日中 定个体域X=2”,A∈X,确定客体域Y={人{， 午，张三一定是在中国的某一个城市，则Ω={中国 b∈Y. 的城市} 则命题P(石家庄，张三)、P(河北，张三)和P 定义中X和Y是客体的取值范围即客体域，其 (沿海城市，张三)之间的关系如下. 中X是非确定客体域，Y是确定客体域，X是Ω的 相交而不包含：P(河北，张三)与P(沿海城市， 幂集20.在例1中，2={中国所有的城市}，非确定 张三)· 个体域X=20=0,{北京{，{石家庄，…，{台北， 不相交：P(石家庄，张三)与P(沿海城市，张 河北=河北省城市，，海南={海南省城市，东 三) 北={东北地区城市，…，沿海=沿海城市}，…，中 包含：P(河北，张三)包含P(石家庄，张三) 国=中国的城市}，Y={人. 属于同一个关系命题集合的各命题之间，真值 (P,A,b)是命题P(A,b)的真值，满足： 的取值通常是有相互影响的，上例中，当命题P(石 0≤u(P,A,b)≤1，v(P,①，b)=0,v(P,2, 家庄，张三)为真时，很明显命题P(河北，张三)为 b)=1; 真，反过来不一定成立，但大多数情况下，任两命题 (P,AUB,b)=u(P,A,b)+u(P,一A∩ 的真值的取值是无关的，如命题P(石家庄，张三)、 B,b): P(石家庄，李四)，与“张三2008年奥运会将拿金v （P（张三B）∧ P（张三C））＝0（ B∩ C＝ ／○）． 命题“ P：张三明年12月21日中午将在石家 庄”与命题“ Q：李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v （P∧ Q）＝v （P）×v （ Q）． 2∙2 命题与联结词 在数理逻辑中谓词用大写英文字母 P、Q 和 R 等表示真值用 v 表示下面给出定义在标准概 率空间（ΩXv ）上的原子命题的表示． 定义1 不能被分解成更简单的陈述句的命题 称为原子命题．原子命题表示为： P（ Ab）＝（PAb）＝ （PAbv （PAb））A∈Xb∈ Y ． P 表示谓词（predication）如 P 表示：…明年12月 21日中午将在…．A 和b 为客体如 A 表示河北b 表示张三P（ Ab）表示命题“（张三）明年12月21 日中午将在（河北）”． 为了进一步刻画随机命题本系统将客体分为 非确定客体和确定客体其中非确定客体相当于概 率论中的随机事件与真值的取值（概率）直接相关． 非确定客体实质上代表的是集合用大写英文字母 A、B 和 C 等表示．如例1中的 C＝“辽宁”＝｛辽宁 省城市｝、B＝“河北”＝｛河北省城市｝等是非确定客 体．由于事件未发生不能确定命题是否为真但可 用概率论方法通过非确定客体计算命题的真值． 命题描述的其他对象称为确定客体．如例1中 的“张三”是确定客体用小写英文字母 a、b 和 c 等 表示． 客体空间是命题所表达的随机事件发生后A 位置所有可能取值的集合相当于概率论中的样本 空间用 Ω表示．如例1中到了明年12月21日中 午张三一定是在中国的某一个城市则 Ω＝｛中国 的城市｝． 定义中 X 和 Y 是客体的取值范围即客体域其 中 X 是非确定客体域Y 是确定客体域X 是Ω的 幂集2Ω．在例1中Ω＝｛中国所有的城市｝非确定 个体域 X＝2Ω＝｛／○｛北京｝｛石家庄｝…｛台北｝ 河北＝｛河北省城市｝…海南＝｛海南省城市｝东 北＝｛东北地区城市｝…沿海＝｛沿海城市｝…中 国＝｛中国的城市｝｝Y ＝｛人｝． v （PAb）是命题 P（ Ab）的真值满足： 0≤v （PAb）≤1v （ P／○b）＝0v （ PΩ b）＝1； v（PA ∪ Bb）＝ v （ PAb）＋ v （ P A ∩ Bb）； v （ PAb）＝ v （ P Ab）＝1－ v （ PA b）． 设 D＝｛D1D2…Dn｝是 Ω的一个划分则 满足 ∑ n i＝1 v （PDib）＝1． P（ Xb）＝｛（ Pxbv （ Pxb））｜x ∈ X｝ b∈ Y 称为关系命题集合．集合中的所有命题有相 同的谓词和确定客体不同的非确定客体．如例1 中的关系命题集合 P（ Xb）＝｛张三明年12月21 日中午将在 x｜x∈X｝．根据概率论理论同一关系 命题集合中的命题属于非独立关系不属于同一关 系命题集合中的命题是独立关系． 2∙2∙1 原子命题之间的关系 下面分别讨论命题之间的非独立关系（相交、包 含、相等等）和独立关系． 定义2 （同一关系命题集合内命题关系）设 P（ Xb）＝｛（Pxb）｜x ∈ X｝b∈ Y 为一关系命 题集合任意的命题 P（ Ab）P（Bb）∈P（ Xb） P（ Ab）与 P（ Bb）之间是非独立的具体关系定 义如下： P（ Ab）⊆ P（ Bb）被定义为 A ⊆ B（包含关 系）； P（ Ab）与 P（Bb）不相交被定义为 A ∩ B＝ ／○（不相交关系）； P（ Ab）＝P（Bb）充分必要条件是 A ＝B（相 等关系）． 命题相等与真值相等是两个不同的概念命题 的真值是命题的一个属性． 例2 已知命题 P（ Ab）表示：b 明年12月21 日中午将在 A．其中 Ω＝｛中国所有的城市｝非确 定个体域 X ＝2 ΩA ∈ X确定客体域 Y ＝｛人｝ b∈ Y ． 则命题 P（石家庄张三）、P（河北张三）和 P （沿海城市张三）之间的关系如下． 相交而不包含：P（河北张三）与 P（沿海城市 张三）． 不相交：P（石家庄张三）与 P（沿海城市张 三）． 包含：P（河北张三）包含 P（石家庄张三）． 属于同一个关系命题集合的各命题之间真值 的取值通常是有相互影响的．上例中当命题 P（石 家庄张三）为真时很明显命题 P（河北张三）为 真反过来不一定成立．但大多数情况下任两命题 的真值的取值是无关的．如命题 P（石家庄张三）、 P（石家庄李四）与“张三2008年奥运会将拿金 第9期 刘宏岚等： 概率逻辑中的命题相关性与逻辑运算 ·1081·