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,1080 北京科技大学学报 第30卷 数模型，但都还不完善，如：逻辑模型无法解决条件 系，8)，本文在逻辑框架内探讨概率命题的关系与 推理问题，可能世界模型超出了逻辑框架的范畴，条 逻辑运算，即各种逻辑联结词特别是条件联结词的 件事件概率的概率测度不再是标准概率测度等6]， 定义与实现以及逻辑运算的性质， 1.1标准概率逻辑模型 如陈述句“硬币抛出去将正面朝上”以及著名的 标准概率逻辑模型是指在标准概率空间上建立 J.Lukasiewicz命题“明年12月21日中午，我将在 的一种标准概率逻辑体系.其中卡尔纳普(Carnap) 华沙”，从概率论的角度，它们是两个随机事件； 概率逻辑和波普尔(Popper)概率逻辑是这种模型的 从逻辑学的角度，就是真值v∈[0,1]的两个命题 两个典型代表[门. (表达判断的、有唯一确定真值的陈述句)· Popper概率逻辑包括Popper先验概率和 2.1原子命题之间的内在联系对逻辑运算的影响 Popper条件概率.Popper先验概率是由Popper于 原子命题本身是有内部结构即组成成分的，命 1938年提出的先验概率函数来定义的，该函数的基 题的内部结构决定了命题的真值、命题之间的关系 本性质包括非负性、正规性、可加性、交换律、结合律 以及命题之间的逻辑运算等，命题间的关系与概率 和幂等律等.Popper先验概率函数的这些基本性质 论中事件间的关系一样3.门，存在两类不同的关系， 通常被看做是先验概率函数的标准公理系统， 即独立关系和非独立关系，其中非独立关系包括不 Popper条件概率是由Popper本人基于概率逻 相交（不相容）、包含、相等等关系，为了说明情况， 辑的自主性描述，分别于1955年和1959年提出的 本文举例如下， 条件概率函数来定义的，条件概率是一个二元函 例1设命题P(张三，某地区)表示“（张三）明 数，是通过两个先验概率函数的商的形式给出的，条 年12月21日中午将在（某地区）”，A表示石家庄， 件概率函数的基本性质包括非负性、正规性、可加 B表示河北，C表示辽宁，D表示中国. 性、乘法律、左交换律和右交换律等. 四个命题P(张三，A)、P(张三，B)、P(张三， Carnap概率逻辑也包括Carna即先验概率和 C)和P(张三，D)是相互关联的，如果命题P(张 Carnap条件概率，Carnap先验概率由Carnap(1950 三，A)为真，则P(张三，B)、P(张三，D)为真，P 年)函数所描述，是在Popper先验概率函数标准公 (张三，C)为假.若命题P(张三，B)为真，则P(张 理系统的基础上，增加了限制条件：如果P(α)=0， 三，C)为假，P(张三，D)为真，P(张三，A)可能为 那么a是逻辑假，Carna即p条件概率由Carnap 真，也可能为假 (1952年)函数描述，讨论了条件概率的一些性质. 可以这样理解，这里的A={石家庄市{，B= 1.2传统标准概率逻辑模型的简单分析 {河北省城市，C={辽宁省城市，D={中国的城 标准概率逻辑模型是一种在逻辑框架内解决概 市，有A三B三D,C三D,B∩C=⑦.因为客体 率逻辑不确定性推理的方法，经典二值逻辑定义了 A、B、C和D之间有相互关系，导致命题之间有相 蕴涵联结词“→”，b→a台bVa,可直接用于推理. 互联系 传统标准概率逻辑系统一般都是给出了与经典逻辑 若假设张三明年12月21日中午就在国内，则 对应的三个独立算子一、八和V,但对经典逻辑中的 有真值v(P(张三，D)=1.若张三是等概率地出 蕴涵算子→却未明确定义，而是通过条件概率来处 现在各个城市，可以计算。(P(张三，4》=。 理的，条件概率不适用于逻辑运算与推理 条件概率P(a|b)与逻辑蕴涵b→a是不一致 (P(张三，)=B(P(张三，C)=其 的.P(ab)=P(aAb)/P(b),P(b→a)= 中A表示集合A中元素的个数，考虑到命题之间 P(一bVa).可以证明P(b→a)≥P(ab),其中 的关系，所以有： 当且仅当P(b)=1或P(a|b)=1时，P(b→a)= v(P(张三，A)VP(张三，B))=max(o(P(张 P(ab)[6]. 三，A),(P(张三，B))=v(P(张三，B)), 2概率命题的相关性与逻辑运算 (A=B): v(P(张三，A)AP(张三，B)=min(v(P(张 按照Carnap的观点，概率应分为两大类：一类 三，A)),（P(张三，B))=（P(张三，A), 是逻辑概率，是指概率的逻辑解释；另一类是统计概 (A=B); 率，是指概率的频率解释，概率逻辑就是指概率的 v(P(张三，B)VP(张三，C))=v(P(张三， 逻辑解释，它是在概率空间上定义的一个逻辑体 A)十u(P(张三，B),(B∩C=①；数模型但都还不完善如：逻辑模型无法解决条件 推理问题可能世界模型超出了逻辑框架的范畴条 件事件概率的概率测度不再是标准概率测度等［6］． 1∙1 标准概率逻辑模型 标准概率逻辑模型是指在标准概率空间上建立 的一种标准概率逻辑体系．其中卡尔纳普（Carnap） 概率逻辑和波普尔（Popper）概率逻辑是这种模型的 两个典型代表［7］． Popper 概 率 逻 辑 包 括 Popper 先 验 概 率 和 Popper条件概率．Popper 先验概率是由 Popper 于 1938年提出的先验概率函数来定义的该函数的基 本性质包括非负性、正规性、可加性、交换律、结合律 和幂等律等．Popper 先验概率函数的这些基本性质 通常被看做是先验概率函数的标准公理系统． Popper 条件概率是由 Popper 本人基于概率逻 辑的自主性描述分别于1955年和1959年提出的 条件概率函数来定义的．条件概率是一个二元函 数是通过两个先验概率函数的商的形式给出的条 件概率函数的基本性质包括非负性、正规性、可加 性、乘法律、左交换律和右交换律等． Carnap 概率逻辑也包括 Carnap 先验概率和 Carnap 条件概率．Carnap 先验概率由 Carnap（1950 年）函数所描述是在 Popper 先验概率函数标准公 理系统的基础上增加了限制条件：如果 P（ a）＝0 那么 a 是 逻 辑 假．Carnap 条 件 概 率 由 Carnap （1952年）函数描述讨论了条件概率的一些性质． 1∙2 传统标准概率逻辑模型的简单分析 标准概率逻辑模型是一种在逻辑框架内解决概 率逻辑不确定性推理的方法．经典二值逻辑定义了 蕴涵联结词“→”b→ a⇔ b∨ a可直接用于推理． 传统标准概率逻辑系统一般都是给出了与经典逻辑 对应的三个独立算子 、∧和∨但对经典逻辑中的 蕴涵算子→却未明确定义而是通过条件概率来处 理的条件概率不适用于逻辑运算与推理． 条件概率 P（ a｜b）与逻辑蕴涵 b→ a 是不一致 的．P （ a｜b） ＝ P （ a∧ b）／P （ b ）P （ b → a） ＝ P（ b∨ a）．可以证明 P（ b→ a）≥ P（ a｜b）其中 当且仅当 P（ b）＝1或 P（ a｜b）＝1时P（ b→ a）＝ P（ a｜b） ［6］． 2 概率命题的相关性与逻辑运算 按照 Carnap 的观点概率应分为两大类：一类 是逻辑概率是指概率的逻辑解释；另一类是统计概 率是指概率的频率解释．概率逻辑就是指概率的 逻辑解释它是在概率空间上定义的一个逻辑体 系［18］．本文在逻辑框架内探讨概率命题的关系与 逻辑运算即各种逻辑联结词特别是条件联结词的 定义与实现以及逻辑运算的性质． 如陈述句“硬币抛出去将正面朝上”以及著名的 J．●ukasiewicz 命题“明年12月21日中午我将在 华沙［4］ ”．从概率论的角度它们是两个随机事件； 从逻辑学的角度就是真值 ν∈［01］的两个命题 （表达判断的、有唯一确定真值的陈述句）． 2∙1 原子命题之间的内在联系对逻辑运算的影响 原子命题本身是有内部结构即组成成分的命 题的内部结构决定了命题的真值、命题之间的关系 以及命题之间的逻辑运算等．命题间的关系与概率 论中事件间的关系一样［37］存在两类不同的关系 即独立关系和非独立关系其中非独立关系包括不 相交（不相容）、包含、相等等关系．为了说明情况 本文举例如下． 例1 设命题 P（张三某地区）表示“（张三）明 年12月21日中午将在（某地区）”A 表示石家庄 B 表示河北C 表示辽宁D 表示中国． 四个命题 P（张三A）、P（张三B）、P（张三 C）和 P（张三D）是相互关联的如果命题 P（张 三A）为真则 P（张三B）、P（张三D）为真P （张三C）为假．若命题 P（张三B）为真则 P（张 三C）为假P（张三D）为真P（张三A ）可能为 真也可能为假． 可以这样理解这里的 A ＝｛石家庄市｝B＝ ｛河北省城市｝C＝｛辽宁省城市｝D＝｛中国的城 市｝有 A ⊆ B⊆ DC⊆ DB∩ C＝／○．因为客体 A、B、C 和 D 之间有相互关系导致命题之间有相 互联系． 若假设张三明年12月21日中午就在国内则 有真值 v （ P（张三D））＝1．若张三是等概率地出 现在各个城市可以计算 v （ P（张三A ））＝ ｜A｜ ｜D｜ v （P（张三B））＝ ｜B｜ ｜D｜ v （ P（张三C））＝ ｜C｜ ｜D｜ 其 中｜A｜表示集合 A 中元素的个数．考虑到命题之间 的关系所以有： v （P（张三A ）∨ P（张三B））＝max（ v （ P（张 三A ））v （ P （张三B））） ＝ v （ P （张三B）） （ A⊆B）； v （P（张三A）∧ P（张三B））＝min（ v （ P（张 三A ））v （ P （张三B））） ＝ v （ P （张三A ）） （ A⊆B）； v （ P（张三B）∨ P（张三C））＝ v （ P（张三 A））＋v （P（张三B））（B∩C＝／○）； ·1080· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷