·1126* 北京科技大学学报 第36卷 (1-B)c(t-r)-x(t-d,())]'. xF(t-d,()[-2P2+A(r2P+ P2x(t-rmn)-x(t-d,()].(15) (r-rn)2(P2+P3)A]x(t-d1(t)+ 再令A,0,同理可得 2xT(t-d (t))P2x(t-Ti)+ T-Tain 2x"(t-d,(t))Px(t-7)- (a)(a)das 2x(t-d2(t))P3x(t-d2(t))+ 2xr(t-d2())P3x(t-(r-rn)）- -r(t-d,()-x(t-(r-r)]. x(t-Tmi)(R:+P1+P2)x(t-Tmin)- P3x(t-d2(t))-x(t-(r-r))]- x(t-r)(R2+P2)x(t-)- x(t)-x(t-d()]T. P3(t)-x(t-d2())]- x(t-Tm）R3x(t-Tmm）- B:c(t-d()-x(t-(r-)]. x(t-(-7))P3x(t-(-Tm))- P3x(t-d2(t))-x(t-(r-rm))]- B:x(t-d (t))-x(t-7)]T. (1-B)x(t)-x(t-d2())]T. P2x(t-d(t))-x(t-)]- P3x(t)-x(t-d2())]. (16) (1-B)x(t-rmn)-x(t-d,()]r· P2x(t-Tn)-x(t-d())] 将式(14)~(16)代入(13)可推出 B,c(t-d(d)-x(t-(r-)]. i∈r'[PA+AP+会0.+名R-P- P3r(t-d2(t))-x(t-(r-r)]- (1-B,)x(t)-x(t-d2())]T. P+A(r2P,+(x-Tn)2(P2+P)A]x()+ P,x(t)-x(t-d2())]= 2xT()[PA+AT(TP+(T-7)2(P2+ n(t)(中-B91-(1-B）9-B293- P))A]x(t-d(t))+ (1-B2)a)n(t). 2x(t）P3x(t-d2(t)+2x(t)Px(t-rma）+ 这里中9923和9由式(12)给出， n(t)=E"(t)x(t-d ()x"(t-d (t))x"(t)x(t-7)x(t-7)x"(t--))]. 因为d(t)-d2(t)=T,所以B2=B,--clx()2,且由V函数的构造知V(x,t)≥ Tk一T血，则有 x(t)TPx()≥cIx(t)P,这里c1=入n(P),同理 T Tpin 也容易找到正常数C2和c2,使得V(x,t)≤ i≤n()[b-B4,-(（1-B)- x()2+G广1x()Pd由之前的分析知，V a---a+2]0 函数右连续，在t≠t4处完全连续，且V(x,)≤ T一Tmi limV(x,t).所以引理1中条件都满足，系统(5)在 no[b+e,- Tp一 叶" (上是全局一致指数稳定的. T-Tnin T一Tmia 注1n(t)包含七个分量，增加了新的项x(t- B（9+p3）-(（1-B）(p2+p）n(). (r-T)),包含的信息量增多，可使得到的稳定性 已知P,>0,则93≥0，p,≥0，且由假设3知Tn 条件局限性更小. ≤T≤T,可以得到 3仿真算例 ()≤n(0[0+74,- T -Tmin 考虑以下网络控制系统 B,(e,+e)-(1-B)(e,+e)]n(d)= o-0do+2m. n(t)(B中+(1-B)中)n(t) 状态反馈增益为K=-B.7511.5],则 由于0≤B,≤1，所以B1中+(1-B)中2<0等 价于中<0，中2<0，即定理1给出的线性矩阵不等 4-[8014=-[0lx,75. 式.若定理1中的线性矩阵不等式可行，则存在一 (a)对于无时滞且采样周期为常数h的网络控 个常数9>0使得≤-61m1≤ 制系统，当h<1.7时闭环系统是稳定的.定理1保 证系统稳定的采样周期为1.023，若采样周期是变北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 ( 1 － β1) ［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］T · P2［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］． ( 15) 再令 β2 = d2 ( t) τ － τmin ，同理可得 － ∫ t t －( τ－τmin) ( τ － τmin ) x ·T ( α) P3 x ·( α) dα≤ －［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］－ β2 ［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ( 1 － β2) ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］． ( 16) 将式( 14) ～ ( 16) 代入( 13) 可推出 V · ≤xT ( t [ ) PA + AT P + ∑ 2 i = 1 Qi + ∑ 3 j = 1 Ｒj － P1 － P3 + AT ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A x] ( t) + 2xT ( t) ［PA1 + AT ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A1］x( t － d1 ( t) ) + 2xT ( t) P3 x( t － d2 ( t) ) + 2xT ( t) P1 x( t － τmin ) + xT ( t － d1 ( t) ) ［－ 2P2 + AT 1 ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A1］x( t － d1 ( t) ) + 2xT ( t － d1 ( t) ) P2 x( t － τmin ) + 2xT ( t － d1 ( t) ) P2 x( t － τ) － 2xT ( t － d2 ( t) ) P3 x( t － d2 ( t) ) + 2xT ( t － d2 ( t) ) P3 x( t － ( τ － τmin ) ) － xT ( t － τmin ) ( Ｒ1 + P1 + P2 ) x( t － τmin ) － xT ( t － τ) ( Ｒ2 + P2 ) x( t － τ) － xT ( t － τmax ) Ｒ3 x( t － τmax ) － xT ( t － ( τ － τmin ) ) P3 x( t － ( τ － τmin ) ) － β1 ［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］T · P2［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］－ ( 1 － β1) ［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］T · P2［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］－ β2 ［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ( 1 － β2) ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］= ηT ( t) (  － β1φ1 － ( 1 － β1 ) φ2 － β2φ3 － ( 1 － β2 ) φ4 ) η( t) ． 这里 、φ1、φ2、φ3 和 φ4 由式( 12) 给出， η( t) =［xT ( t) xT ( t － d1 ( t) ) xT ( t － d2 ( t) ) xT ( t － τmin ) xT ( t － τ) xT ( t － τmax ) xT ( t － ( τ － τmin ) )］T ． 因 为 d1 ( t) － d2 ( t) = τk，所 以 β2 = β1 － τk － τmin τ － τmin ，则有 V · ≤ηT ( t [ )  － β1φ1 － ( 1 － β1 ) φ2 ( － β1 － τk － τmin τ － τ ) min φ3 － 1 － ( β1 + τk － τmin τ － τ ) min φ4 ] η( t) = ηT ( t [ )  + τk － τmin τ － τmin φ3 － τk － τmin τ － τmin φ4 － β1 ( φ1 + φ3 ) － ( 1 － β1 ) ( φ2 + φ4 ] ) η( t) ． 已知 P3 ＞ 0，则 φ3≥0，φ4≥0，且由假设3 知 τmin ≤τk≤τmax，可以得到 V · ( xt ) ≤ηT ( t [ )  + τmax － τmin τ － τmin φ3 － β1 ( φ1 + φ3 ) － ( 1 － β1 ) ( φ2 + φ4 ] ) η( t) = ηT ( t) ( β11 + ( 1 － β1 ) 2 ) η( t) ． 由于 0≤β1≤1，所以 β11 + ( 1 － β1 ) 2 ＜ 0 等 价于 1 ＜ 0，2 ＜ 0，即定理 1 给出的线性矩阵不等 式． 若定理 1 中的线性矩阵不等式可行，则存在一 个常 数 c3 ＞ 0 使 得 dV( xt，t) dt ≤ － c3 | η( t) | 2 ≤ － c3 | x( t) | 2 ，且 由 V 函 数 的 构 造 知 V ( xt，t) ≥ x ( t) T Px( t) ≥c1 | x( t) | 2 ，这里 c1 = λmin ( P) ，同理 也容 易 找 到 正 常 数 c2 和 c2，使 得 V ( xt，t ) ≤ c2 | x( t) | 2 + c2 ∫ t t － r | x( s) | 2 ds． 由之前的分析知，V 函数右连续，在 t≠tk 处完全连续，且 V( xtk ，tk ) ≤ lim t→t － k V( xt，t) ． 所以引理 1 中条件都满足，系统( 5) 在 l 上是全局一致指数稳定的． 注 1 η( t) 包含七个分量，增加了新的项 x( t － ( τ － τmin ) ) ，包含的信息量增多，可使得到的稳定性 条件局限性更小． 3 仿真算例 考虑以下网络控制系统 x ·( t) = 0 1 [ ] 0 － 0. 1 x( t) + 0 [ ] 0. 1 u( t) ． 状态反馈增益为 K = －［3. 75 11. 5］，则 A = 0 1 [ ] 0 － 0. 1 ，A1 = － 0 [ ] 0. 1 ×［3. 75 11. 5］． ( a) 对于无时滞且采样周期为常数 h 的网络控 制系统，当 h ＜ 1. 7 时闭环系统是稳定的． 定理 1 保 证系统稳定的采样周期为 1. 023，若采样周期是变 · 6211 ·