第四章 习题课 n收敛,|ag=nb<号,则级数∑二n绝对收敛。 证:设zn==n|( cos p+ lsin)则 nkθ<受 因∑=n收敛,故∑|= cos收敛。 由0<cos6≤cosn 得|n| cose<=n|cosn 由比较判别法∑|= I cos 8=cosb∑|=n|收敛 〓n绝对收敛。 例:试求满足f()+cf()=0(c≠0)的中心为0的幂级数f(二),并求收敛半径R 解:令f()=∑Cn=”,则在收敛圆本R内,有 f()=∑mCn="=∑(n+1)Cm= 代入f'(=)+cf(=)=0,有 ∑(n+1)Cn:="+∑Cn"=0 C·Cn+(n+1)Cn+==0 C·Cn+(n+1)Cn+1=0(n≥0) 对于n≥1, 故第四章 习题课 例：若   n=1 n z 收敛， 2 | arg |  zn    ，则级数   n=1 n z 绝对收敛。 证：设 | | (cos sin ) n n n n z = z  + i  则 2 | |  n    因   n=1 n z 收敛，故   =1 | | cos n n n z  收敛。 由  n 0  cos  cos 得 n n n | z | cos | z | cos 由比较判别法    =  = = 1 1 | | cos cos | | n n n n z   z 收敛。 即   n=1 n z 绝对收敛。 例：试求满足 f (z) + cf (z) = 0 (c  0) 的中心为 0 的幂级数 f (z) ，并求收敛半径 R. 解：令   = = 0 ( ) n n n f z C z ，则在收敛圆|z|<R 内，有    = +  = −  = = + 0 1 1 1 ( ) ( 1) n n n n n n f z nC z n C z 代入 f (z) + cf (z) = 0, 有 ( 1) 0 0 0  + 1 +  =  =  = + n n n n n n n C z c C z ( 1) 0 ( 0) [ ( 1) ] 0 1 0 1  + + =   + + = +  =  + C C n C n C C n C z n n n n n n 对于 n  1， 0 ! ( ) C n c C n n − = 故