f0)=d5y )+←Dy>0 {2y 0 y≤0 e,-∞<x<+o,则y=x2的概率密度为 1 若f(x)= 0=分0 1 0, y≤0 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g()≤ y}中解出X从而得到与g()≤y}等价的X的不等式，例如，用X≤”二8 2 代替2X+8≤y用-√少≤X≤√少代替X2≤y这样做是为了利用已知的X的 分布，从而求出相应的概率，这是求工.ⅴ的函数的分布的一种常用方法. 例4设随机变量X的概率密度为 Zx ∫x(x)E ,0<x< 0,其他 求Y=sinX的概率密度。 解注意到0<x<π时，0<y≤1 所以y≤0时，0y)=0 y≥1时，y)=1 当0<y≤1时， F(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y) =P(0≤X≤arcsin y)+P(π-arcsiny≤x≤π) =(arcsinarcsin y 而60)-d50四，求导得 「2 f0-,0<y<1 0,其他 例5已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数，证明Y=F()服从[0,1]( ) Y f y = ( ) Y dF y dy = 1 [ ( ) ( )], 0 2 0, 0 X X f y f y y y y  + −       若 ( ) X f x = 2 2 1 2 x e  − , −   + x ,则 2 Y X = 的概率密度为 ( ) Y f y = 1 2 2 1 , 0 2 0, 0 y y e y y y  − −       从上述两例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出 X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的 X 的不等式 . 例如，用 8 2 y X −  代替 2 8 X y +  用 −   y X y 代替 2 X y  这样做是为了利用已知的 X 的 分布，从而求出相应的概率.这是求 r.v 的函数的分布的一种常用方法. 例4 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) X f x = 2 2 , 0 0, x x          其他 求 Y=sinX 的概率密度. 解 注意到 0  x  时, 0 1   y 所以 y  0 时, ( ) Y f y =0 y  1 时, ( ) Y f y =1 当 0 1   y 时, ( ) F y Y = P Y y ( )  = P X y (sin )  = P X y (0 arcsin )   + P y x ( arcsin )   −   = arcsin 2 0 y 2x dx   + 2 arcsin 2 y x dx   −   = arcsin 2 ( ) y  arcsin 2 1 ( )  y  − + − 而 ( ) Y f y = ( ) Y dF y dy ,求导得 ( ) Y f y = 2 2 , 0 1 1 0, y  y      −   其他 例 5 已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的连续函数,证明 Y=F(X)服从[0,1]