上的均匀分布 证明：设Y的分布函数是G(y),由于0<y<1 于是对y>1,G(y)=1:对y<0,G(y)=0: 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数，其反函数F-1存在且严格递增 对0≤y≤1，G(y)=P(N≤y)=P(F()≤y)=P(X≤F-y)=F(F-y)=y 0,y<0 即Y的分布函数是Gy)={y,0≤y<1求导得Y的密度函数 1y≥1 0=0sy<1 0.其他 可见，Y服从[0,1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密 度 定理设X是一个取值于区间[a,b],具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x) 处处可导，且对于任意x,恒有g(x)>0或恒有g(x)<0,则Y=g()是一个连续 型r.v,它的概率密度为 f[h(y)h'(y),a<y<B 0)0,其他 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数， a=min g(x),B=maxg(x) 此定理的证明与前面的解题思路类似 例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-21X的概率密度. 解：在区间0，D上函数10故广2m0y=-名<0于是y在区间 (0,1)上单调下降，有反函数 x=h(y)=e 由前述定理得 e 0<e<l () dy 0. 其他 将X的概率密度∫x(x) 1,0<y<1 0,其他 代入，得 上的均匀分布 证明: 设 Y 的分布函数是 G(y), 由于 0<y<1 于是 对 y>1, G(y)=1; 对 y<0 , G(y)=0; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增. 对 0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ 1 F y( ) − ) =F( 1 F y( ) − )= y 即 Y 的分布函数是 0, 0 ( ) , 0 1 1, 1 y G y y y y    =       求导得 Y 的密度函数 ( ) Y f y = 1, 0 1 0,   y   其他 可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密 度 . 定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x) 处处可导，且 对于任意 x,恒有 g x ( ) 0  或恒有 g x ( ) 0  ，则 Y=g(X)是一个连续 型 r.v，它的概率密度为 ( ) Y f y = [ ( )] ( ), 0,  f h y h y y        其他 其中 x h y = ( ) 是 y g x = ( ) 的反函数， min ( ) a x b  g x   = , max ( ) a x b  g x   = 此定理的证明与前面的解题思路类似. 例6 设随机变量 X 在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX 的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数 lnx<0, 故 y=-2lnx>0, 2 y 0 x  = −  于是 y 在区间 (0,1)上单调下降，有反函数 2 ( ) y x h y e − = = 由前述定理得 ( ) Y f y = 2 2 2 ( ) , 0 1 0, y y y X de f e e dy − − −          其他 将 X 的概率密度 ( ) X f x = 1, 0 1 0,   y   其他 代入,得